高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的三角函数 3.1.1 两角和与差的余弦导学案 苏教版必修4.doc

31.1两角和与差的余弦课堂导学三点剖析1.两角和与差的余弦公式的应用【例1】化简下列各式.（1）sin70cos25-sin20sin25;（2）cos(70+)cos(10+)+sin(70+)sin(170-).思路分析：从整体上观察式子的特点，区别角的异同，利用诱导公式合理转化，凑成公式形式，再利用公式解题.解：（1）原式=cos20cos25-sin20sin25=cos(20+25)=cos45=.(2)原式=cos(70+)cos(10+)+sin(70+)sin180-（10+）=cos(70+)cos(10+)+sin(70+)sin(10+)=cos（70+）-(10+)=cos60=.温馨提示 在逆用公式时，要通过诱导公式变形，使之符合公式的特征，有时还可以把三角式中的系数作为特殊值转化为特殊角.2.两角差的余弦公式的探索与证明【例2】已知sin=，cos=，求cos（-）的值.思路分析：本题要考查利用两角差的余弦公式求值.根据两角差的余弦公式知，还须求cos、sin.由条件可知，只要对、所处的象限进行讨论即可.解：sin=0，为第一、二象限角.当为第一象限角时，cos=；当为第二象限角时，cos=-.cos=0，为第一、四象限角.当为第一象限角时，sin=；当为第四象限角时，sin=-.cos（-）=coscos+sinsin，当、均为第一象限角时，cos（-）=+=；当为第一象限角，为第四象限角时，cos（-）=+（-）=；当为第二象限角，为第一象限角时，cos（-）=（-）+（-）=-；当为第二象限角，为第四象限角时，cos（-）=（-）+-=-.温馨提示 解题时，由结论出发分析题目作了哪些条件准备，还需再求什么，明确解题的目标.已知条件中给出某个角的三角函数值，但并未指出角所在的象限时，一般要进行分类讨论.3.两角和与差的余弦公式的综合应用【例3】已知cos（-）=-，sin（-）=，且（，），（0，），求cos的值.思路分析：本题主要考查角的变换及两角差的余弦公式.本题是给值求值的问题，若不考虑条件，盲目地看cos无法求.为此寻求已知条件中角-、-与欲求式中角的关系，不难发现=（-）-（-），这样将cos+的值转化为cos(-)-（-）的值，可利用两角差的余弦公式求得.解：，0，0，+.-，-，.又cos（-）=-，sin（-）=.sin（-）=，cos（-）=.cos+=cos（-）-（-）=cos（-）cos（-）+sin（-）sin（-）=（-）+=.温馨提示 像这类给值求值问题，关键是抓住已知条件中的角与所求式中角的联系，即想办法利用已知条件中角表示所求式中的角，这个过程我们称作“角的变换”.各个击破类题演练1求值.（1）cos24cos36-sin24sin36；（2）cos80cos35+cos10cos55；（3）sin100sin（-160）+cos200（-280）；（4）sin347cos148+sin77cos58.解：（1）原式=cos（24+36）=cos60=；（2）原式=cos80cos35+sin80sin35=cos（80-35）=cos45=；（3）原式=sin（180-80）sin（20-180）+cos（20+180）cos（80-360）=sin80（-sin20）+（-cos20）cos80=-sin80sin20-cos80cos20=-（cos80cos20+sin80sin20）=-cos（80-20）=-cos60=-；（4）原式=sin（-13+360）cos（180-32）+sin77cos58=sin（-13）（-cos32）+sin77cos58=-sin13（-cos32）+sin77cos58=cos77cos32+sin77sin32=cos（77-32）=cos45=.变式提升1求值.（1）cos（-15）；（2）cos75.解：（1）cos（-15）=cos15=cos（45-30）=cos45cos30+sin45sin30=；（2）cos75=cos（45+30）=cos45cos30-sin45sin30=.类题演练2已知锐角、满足sin=，cos=.（1）求cos（-）的值；（2）求+的值.解：（1）sin=，为锐角，cos=.又cos=，为锐角，sin=.cos（-）=coscos+sinsin=2+；（2）由上可知，cos（+）=coscos-sinsin=-.又（0，），（0，），+（0，）.+=.变式提升2已知sin=，cos=-，、均为第二象限角，求cos（-）、cos（+）.解：由sin=，为第二象限角，cos=又由cos=-，为第二象限角，sin=.cos（-）=coscos+sinsin=（-）（-）+=，cos（+）=coscos-sinsin=（-）（-）-=-.类题演练3已知cos=,、(0,),cos(+)=,求cos.解：cos=,(0,),sin=.又、(0,),+(0,),且cos(+)=.sin(+)=.cos=cos（+）-=coscos(+)+sinsin(+)=()+=.