等差数列知识总结与练习题.doc

2.2等差数列1.等差数列定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示. 用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：等差数列的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列3.等差中项的概念定义：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中. ，成等差数列.数列是等差数列,则.4.等差数列的前和的求和公式：5.等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，；，；（3）在等差数列中，对任意， ；（4） 在等差数列中，若，且，则；*说明：设数列是等差数列，且公差为，（）若项数为偶数，设共有项，则奇偶； ；（） 若项数为奇数，设共有项，则偶奇；.6.数列最值（1），时，有最大值；，时，有最小值.（2）最值的求法：若已知，可用二次函数最值的求法（）；若已知，则最值时的值（）可如下确定或.7.等差数列的判定方法：（1）定义法：若或(常数)是等差数列；(2) 等差中项：数列是等差数列；（3）数列是等差数列（其中是常数）；（4）数列是等差数列,（其中、是常数）.8.等差数列的证明方法：定义法：若或(常数)是等差数列等差数列练习题一、选择题1如果无穷数列an的第n项与n之间的函数关系能用一个公式an=f(n)来表示，则该函数的定义域为( ) （A）Z （B）N （C）N+ （D）N+的有限子集1,2,n2数列-1，6，-11，16，的一个通项公式为( )（A）an= 5n-4 (B) an=-5n+4 (C) an= (-1)n5n-4 (D) an=(-1)n(5n-4)3已知数列an的首项a1=1, 且an=2an-1+1（n2）,则a5为( )（A）7 （B）15 （C）30 （D）314一个等差数列的第五项a5=10，且a1+a2+a3=3，则有( )（A）a1=-2,d=3 （B）a1= 2,d=-3 （C）a1= -3,d=2 （D）a1=3, d=-25在等差数列an中，am=n, an=m(m,nN+), 则am+n=( )（A）mn （B）m-n （C）m+n （D）06已知等差数列an中，a1=-5,d=7,an695,则这个等差数列至多有( )（A）98项 （B）99项 （C）100项 （D）101项7已知等差数列bn中，d=-3,b7=10, 则b1是( )（A）-39 （B）28 （C）39 （D）328已知等差数列cn中，c10+c15=9, 则c9+c16, cn的值是( )（A）不能确定 （B）9 （C）18 （D）9在等差数列40，37，34，中第一个负数项是( )（A）第13项 （B）第14项 （C）第15项 （D）第16项10. 设数列的通项公式为，则（ ）（A）153 （B）210 （C）135 （D）120二、填空题11数列2，-4，6，-8，的一个通项公式是_。12已知数列：，则是这个数列的第_项。13数列a1=-1, an=2 an-1+1 (n2)的前四项依次是_。14等差数列an中，a15=33,a45=153,则217是这个数列的第_项。15若一个三角形的三内角成等差数列，且已知一个角为28，则其它两角度数为_。16若an为等差数列，a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根，则a5+a8=_。三、解答题17求下列各数列的一个通项公式：（1）（2）（3）18在矩形纸片内取n(nN+)个点，连同矩形的4个顶点共n+4个点，这n+4个点中无三点同在一直线上。以这些点作三角形的顶点，把矩形纸片剪成若干个三角形纸片，把这些纸片的个数记为an（1）求a1,a2。（2）求数列an的递推公式；（3） 根据递推公式写出数列an的前6项。19已知等差数列an中，a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列an的通项公式。20在等差数列an中，已知a4=70,a21=-100,（1）求首项a1与公差d，并写出通项公式；（2）an中有多少项属于区间-18，18？21已知等差数列an，求证：（1）若u+v=p+q，则au+av=ap+aq；（2）若t=7n+2(nN+)，则当n依次取1，2，3，时，所得at组成的数列也是等差数列。等差数列练习题答案一、选择题1C无穷数列从函数观点来看，定义域是N+。2D将n=1,2,3,4代入各通项公式，知D适合。3D逐项计算，a1=1,a2=21+1=3,a3=23+1=7,a4=27+1=15,a5=215+1=31.4A由 a1+4d=10， 3a1+3d=3解得a1=-2,d=3。5D由am=n,an=m,得,am+n=am+nd=n-n=0.6D由-5+7（n-1）695得n101.7Bb7=b1+(7-1)(-3)=10,b1=28.8Bc9+c16=c10+c15=9.9Ca1=40,d=-3,由an=40-3(n-1) 0解得n，nNn15.10A二、 填空题11an=(-1)n+12n 各项符号正负相间，满足(-1)n+1；各项是序号 n的2倍。127 将数列写成则2=是数列中第7项。13-1，-1，-1，-1 逐项代入计算得到。1461 由a1+14d=33及a1+44d=153得d=4，a1=-23，从-23+4(n-1)=217解得n=61.1560，92 设三角形三个内角为x-d,x,x+d,则（x-d）+x+(x+d)=180,x-d= 28,d=32,x+d=92。 163 a3+a10=3,a5+a8=a3+a10=3三、解答题17解（1）所给数列前5项分子组成奇数数列，其通项公式为2n-1，而前5项分母所组成数列的通项公式为22n,所以已知数列an的通项公式为,(2)从所给数列的前5项可知，每一项分子都是1，而分母所组成的数列为3 ，8，15，24，35，可变形为13，24，35，46，57，其通项公式为n(n+2)；各项符号是奇数项为负，偶数项为正。因此所给数列的通项公式为an=(-1)n.(3)所给数列改写成：数列分子是1，0重复变化，且奇数项为1，偶数项为0，所以可表示为；分母通项为正整数n，所以数列的通项公式为。18解（1）a1=4,a2=6(2)因为这n+4个点中无三点共线，所以每增加1个点Ai（如图，点Ai必在某一个三角形内）剪成的三角形纸层新增3个（图中的，）但减少了原来的1个，实际增加2个，所以的递推公式是an=an-1+2(n2) 。(3) a1=4,a2=a1+2=4+2=6, a3=a2+2=6+2=8 a4=a3+2=8+2=10 a5=a4+2=10+2=12 a6=a5+2=12+2=1419解：a1+a7=2a4 a1+a4+a7=3a4=15 a4=5 a2a4a6=45, a2a6=9设等差数列公差为d，则(a4-2d)(a4+2d)=9即(5-2d)(5+2d)=9 d=2当d=2时an=a4+(n-4)d=5+(n-4)2=2n-3当 d=-2 时，an=5+(-2)(n-4)=13-2n20解(1)由题意，得解得a1=100,d=-10所以通项公式是an=100-10(n-1)即an=-10n+110(2)由题意，得-18-10n+11018解得 12.8n9.2,nN+ 12n10.所以属于区间-18,18的共有3项,它们是a10,a11,a1221.解(1)设an=a1+(n-1)d,则 au=a1+(u-1)d av=a1+(v-1)d, ap=a1+(p-1)d , aq=a1+(q-1)d +，得 au+av=2a1+(u+v-2)d+，得ap+a