解析初三数学中的双动点问题.doc

解析初三数学中的双动点问题 河北省乐亭县新寨镇新寨初级中学 刘卫忠动点问题属于动态问题，所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题。 关键：动中求静。 数学思想：分类思想、 函数思想 、方程思想 、数形结合思想、 转化思想。注重对几何图形运动变化能力的考查，从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力。图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。此次，针对中考动点问题中涉及到的关于几个方面的类型，凭多年教学经验，并结合下面中考试题谈谈自己的观点和看法。希望能起到抛砖引玉的作用。专题一：利用两个动点，探究面积与时间之间的变化规律。以直角三角形为背景，综合相似三角形、三角函数、二次函数等知识，体现方程、函数和分类讨论的数学思想。例一：(2010台州)如图，RtABC中，C=90，BC=6，AC=8点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQAB于Q，交AC于点H当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动设BP的长为x，HDE的面积为y（第2例题）H（1）求证：DHQABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，HDE为等腰三角形？ 【分析】 （1）、考察点对称的知识。 （2）、三角形相似的证明方法（两角相等两三角形相似）。 （3）、分类讨论问题，点D、E位置不同时，HDE为不同的等腰三角形。【答案】解：（1）A、D关于点Q成中心对称，HQAB，=90，HD=HA，DHQABC （图2）（图1）（2）如图1，当时， ED=，QH=，此时当时，最大值如图2，当时，ED=，QH=，此时 当时，最大值y与x之间的函数解析式为y的最大值是（3）如图1，当时，若DE=DH，DH=AH=， DE=，=，显然ED=EH，HD=HE不可能； 如图2，当时，若DE=DH，=，； 若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，； 若ED=EH，则EDHHDA， 当x的值为时，HDE是等腰三角形.【涉及知识点】三角函数、二次函数、相似三角形、直角三角形【点评】本题是综合性比较强的问题，它巧妙的运用运动的观点，把相似三角形和三角函数、直角三角形、二次函数等知识结合起来，属于难度较大的问题专题二：利用坐标系工具探究坐标系中双动点问题规律。 以坐标系为背景，最大的优点就是提供了图形和点的具体位置。在坐标系中研究问题，最主要的就是搞清楚各个关键点的坐标，进而利用这些坐标确定三角形的高、底等，可很方便的求三角形的面积。当然，解决坐标系中的问题时，不要离开几何图形本身的性质及利用相似、全等、三角形函数等知识。例二：(2010淮安) 如题3(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，点C为OB的中点，点D从点O出发，沿OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度秒的速度运动一周 (1)点C坐标是( ， )，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是( ， )； (2)设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示OCD的面积S,并指出t为何值 时，S最大； (3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如题3(b)图，若点E与点D同时 出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与OCD相似(只考虑以点AO为对应顶点的情况)： 题3(a)图 题3(b)图【分析】（1）若求点的坐标，可以过该点作x轴的垂线，所以可以借助于平行线等分线段定理解决，求出D和C的坐标；（2）此问题是分类得问题，当点D在不同的边上时，三角形的面积是不同的，然后根据图形之间的关系求出函数解析式，然后根据求最值的问题解决；（3）与（2）一样，只不过借助于三角形相似来解决【答案】解：（1）C（3，4）、D（9，4）（2）当D在OA上运动时，（0t6）；当D在AB上运动时，过点O作OEAB，过点C作CFAB，垂足分别为E和F，过D作DMOA，过B作BNOA，垂足分别为M和N，如图：设D点运动的时间为t秒，所以DA=2t12，BD=222t，又因为C为OB的中点，所以BF为BOE的中位线，所以，又因为，所以，所以，因为BNOA，DMOA，所以ADMABN，所以， 所以，又因为，所以，即（6t11），所以当t=6时，OCD面积最大，为；当D在OB上运动时，O、C、D在同一直线上，S=0（11t16）.（3）设当运动t秒时，OCDADE，则，即，所以t=3.5；设当运动t秒时，OCDAED，则，即，所以，所以，（舍去），所以当t为3.5秒或秒时两三角形相似. 【涉及知识点】一次函数的最值、平面直角坐标系、相似三角形【点评】本题是综合性比较强的问题，它巧妙的运用运动的观点，把相似三角形和平面直角坐标系以及一次函数等知识结合起来，也属于难度较大的问题 课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态结合、动手操作、实验探究等方面发展，这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，从数学思想的层面来讲有(1)运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等。研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师