高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.2 函数及其表示复习学案 新人教A版必修1.doc

1.2 函数及其表示自主复习考点清单：函数的概念与函数的定义域；函数的表示；分段函数及映射。考点详情：重点一：函数的概念1函数的概念设是非空数集，如果按照某种对应关系，使集合中任意一个数，在集合中存在唯一确定 的数与之对应，则称为从集合到集合的一个函数，记作。函数的定义域、值域：在函数中，叫自变量，的取值范围叫函数的定义域，与的值对应的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域，显然值域是的子集。2函数的三要素：定义域、值域、对应法则3区间：区间是数学中表示“连续”的数集的一种形式。设a，b是两个实数，而且ab。我们规定：(1)满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a，b；(2)满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)；(3)满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为a，b)，(a，b。这里的实数a与b都叫做相应区间的端点其中a叫做左端点，b叫做右端点。实数集r可以用区间表示为(，)，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”。我们可以把满足xa，xa，xb，xb的实数x的集合分别表示为a，)，(a，)，(，b，(，b)。区间的几何表示如下表所示：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|axb半开半闭区间(a，bx|xa半开半闭区间a，)x|xa开区间(a，)x|xa半开半闭区间(，ax|xa开区间(，a)r开区间(，)4具体函数定义域的求法函数的定义域是自变量x的取值范围，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指使函数关系式有意义的x的取值范围，但在实际问题中，函数的定义域还要受到实际意义的制约。(1)求具体函数定义域的原则和方法主要有：若f(x)为整式，则其定义域为实数集r。若f(x)是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合。若f(x)为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合。若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集。实际问题中，定义域要受到实际意义的制约。(2)求给出解析式的函数的定义域的步骤为：列出使函数有意义的x所适合的式子(往往是一个不等式组)；解这个不等式组；把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域。例题：1. 下列函数中，与y=x相同的函数是（）ay by = lg10x cyd【答案】b【解析】对于a，与函数y=x的对应法则不同，不是同一函数；对于b，y=lg10 x =x（xr），与函数y=x的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数；对于c，与函数y=x的定义域不同，不是同一函数；对于d，与函数y=x的定义域不同，不是同一函数。2函数的定义域为（）a（-2，1） b-2，1 c（0，1） d（0，1 【答案】c重点二：函数的表示1解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式。2图象法：以自变量x的值为横坐标，与之对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点(x，f(x)，这些点组成的图形称为函数f(x)的图象，这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法。3列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量取的值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法。4函数的三种表示法的优缺点比较优点缺点联系解析法简明，全面地概括了变量间的关系。通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值。不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式来表示。解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。只能表示出自变量取较少的有限值的对应关系。图象法能形象直观地表示出函数的变化情况。只能近似地求出自变量所对应的函数值，而且有时误差较大。5函数图象的作法(1)作函数图象的常用方法：描点法：描点法是作函数图象的基本方法。根据函数解析式，列出函数中x与y的一些对应值的表，然后分别以它们为横、纵坐标，在坐标系中描出点，最后用平滑的曲线将这些点连起来，就是函数的图象，即“列表描点连线”。利用基本函数图象作出所求的图象，已学过的基本函数图象有：常数函数的图象，例如f(x)1的图象为平行于x轴的一条直线；一次函数的图象，例如f(x)3x1的图象是一条经过一、二、四象限的直线；二次函数的图象，例如f(x)2x2x1的图象是一条抛物线；反比例函数的图象，f(x)(k0，且k为常数)，当k0时，其图象是在一、三象限内，以原点为对称中心的双曲线；当k0时，其图象是在二、四象限内，以原点为对称中心的双曲线。变换作图法：1平移：yf(x)yf(xa)yf(x)yf(xa)yf(x)yf(x)byf(x)yf(x)b2对称：yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)y|f(x)|；yf(x)yf(|x|)例题：1可作为函数y=f（x）的图象的是（）a b c d【答案】d【解析】由函数的定义可知：每当给出x的一个值，则f（x）有唯一确定的实数值与之对应，只有d符合。2已知定义在上的奇函数和偶函数满足：，则（ ）abcd【答案】b重点三：分段函数1分段函数定义：有些函数在其定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几条线段。2理解分段函数时注意：(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成几个函数分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是自变量x的不同取值范围的并集，值域是每段的函数值y的取值范围的并集。3分段函数图象的作法画分段函数y(d1，d2，两两交集是空集)的图象步骤是：画函数yf1(x)的图象，再取其在区间d1上的图象，其他部分删去不要；画函数yf2(x)的图象，再取其在区间d2上的图象，其他部分删去不要；依次画下去；将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象。注意：在作每一段的图象时，先不管自变量的限制条件，作出其图象，再保留自变量限制条件内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，若端点包含在内，则用实点表示；若端点不包含在内，则用虚点表示，要保证不重不漏。4映射的概念一般地，设a，b是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个元素x，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：ab为从集合a到集合b的一个映射。5函数与映射的关系： 函数是定义域为数集的映射。例题：已知函数，若，则等于（ ）abc2d4【答案】c名师导学：1函数的定义域 2. 分段函数 巩固练习1函数的定义域为( )a(2，3)b(2，4c(2，3)(3，4d(1，3)(3，6 2. 下列函数中，与函数有相同定义域的是( )af(x)=lnx bcf(x)=|x|df(x)=ex 3小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是()abc d 4设全集为r，函数的定义域为m，则为( )a1,1b(1,1) c(,11,+)d(,1)(1,+) 5设函数若f(a)