三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第五章 数列 5.5 数列的综合应用课件.ppt

5 5数列的综合应用 1 若数列 an 满足 且f 1 f 2 f n 可求 则可用累加法求数列的通项 2 若数列 an 满足 f n 且f 1 f 2 f n 可求 则可用累乘法求数列的通项 an 1 an f n c 3 解答数列应用题的步骤 1 审题 仔细阅读材料 认真理解题意 2 建模 将已知条件翻译成数学 数列 语言 将实际问题转化成数学问题 弄清该数列的结构和特征 3 求解 求出该问题的数学解 4 还原 将所求结果还原到原实际问题中 具体解题步骤用框图表示如下 4 数列应用题常见模型 1 等差模型 增加 或减少 的量是一个固定量时 该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差 2 等比模型 后一个量与前一个量的比是一个固定的数时 该模型是等比模型 这个固定的数就是公比 3 递推数列模型 题目中给出的前后两项之间的关系不固定 随项的变化而变化时 应考虑是an与an 1之间的递推关系 还是sn与sn 1之间的递推关系 5 在解决数列和不等式的有关问题时 常利用不等式的适当放缩来解答或证明 1 对的放缩 根据不同的要求 大致有三种情况 n 2 n 2 2 n 1 c c 2 对的放缩 根据不同的要求 大致有两种情况 n 1 c c 1 已知a b为不相等的两个正数 若a是a b的等差中项 正数g是a b的等比中项 则 a ab agb abag答案b由已知得a g a 0 b 0 a b ag ab 故选b c 2 已知正数组成的等差数列 an 的前20项的和为100 那么a7 a14的最大值为 a 25b 50c 100d 不存在答案a由s20 100得a1 a20 10 a7 a14 10 又a7 0 a14 0 a7 a14 25 当且仅当a7 a14 5时 等号成立 故选a c 3 已知等差数列 an 的公差d 0 且a1 a2 a9成等比数列 则 答案解析a2 a1 d a9 a1 8d a1 a2 a9成等比数列 a1 a9 即a1 a1 8d a1 d 2 得6a1d d2 d 0 d 6a1 c 4 小王每月除去所有日常开支 大约剩余a元 小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来 每月初存入银行a元 存期1年 存12次 到期取出本和息 假设一年期零存整取的月利率为r 每期存款按单利计息 那么 小王存款到期时利息为元 答案78ar解析由题意知 小王存款到期时利息为12ar 11ar 10ar 2ar ar ar 78ar元 c 5 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备m m的价值在使用过程中逐年减少 从第2年到第6年 每年初m的价值比上年初减少10万元 从第7年开始 每年初m的价值为上年初的75 则第n年初m的价值an 单元 万元 答案解析当n 6时 数列 an 是首项为120 公差为 10的等差数列 此时an 120 10 n 1 130 10n 当n 7时 数列 an 是以a6为首项 为公比的等比数列 又a6 70 所以an 70 c 6 已知数列 an bn 满足a1 an bn 1 bn 1 则b2013 答案解析由题意得bn 1 b2 a2 b3 a3 b4 a4 bn b2013 c 等差数列与等比数列的综合问题典例1 2015广东 19 14分 设数列 an 的前n项和为sn n n 已知a1 1 a2 a3 且当n 2时 4sn 2 5sn 8sn 1 sn 1 1 求a4的值 2 证明 为等比数列 3 求数列 an 的通项公式 解析 1 当n 2时 4s4 5s2 8s3 s1 即4 a1 a2 a3 a4 5 a1 a2 8 a1 a2 a3 a1 整理得a4 又a2 a3 所以a4 c 2 证明 当n 2时 有4sn 2 5sn 8sn 1 sn 1 即4sn 2 4sn sn 4sn 1 4sn 1 sn 1 所以4 sn 2 sn 1 4 sn 1 sn sn sn 1 即an 2 an 1 an n 2 经检验 当n 1时 上式成立 因为 为常数 且a2 a1 1 所以数列是以1为首项 为公比的等比数列 3 由 2 知 an 1 an n n 等式两边同乘以2n 得2nan 1 2n 1an 2 n n 又20a1 1 所以数列 2n 1an 是以1为首项 2为公差的等差数列 所以2n 1an 2n 1 即an n n 则数列 an 的通项公式为an n n 解决等差 等比数列综合问题的思想方法解决等差数列与等比数列的综合问题 关键是理清两个数列的关系 如果同一数列中部分项成等差数列 部分项成等比数列 则要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究 如果两个数列通过运算综合在一起 则要从分析运算入手 把两个数列分割开 弄清两个数列各自的特征 再进行求 解 1 1给出一个 直角三角形数阵 如下 满足每一列的数成等差数列 从第三行起每一行的数成等比数列 且每一行的公比相等 记第i行 第j列的数为ai j i j i j n 则a5 j ai 5 解析因为该数阵每行的第一个数组成以为首项 为公差的等差数列 所以ai 1 从第三行起每一行的数组成一个以为首项 为公比的等比数列 所以ai j 所以a5 j ai 5 答案 数列与不等式的综合典例2 2015浙江 20 15分 已知数列 an 满足a1 且an 1 an n n 1 证明 1 2 n n 2 设数列 的前n项和为sn 证明 n n 证明 1 由题意得an 1 an 0 即an 1 an 故an 由an 1 an 1 an 1得an 1 an 1 1 an 2 1 a1 a1 0 由0 an 得 1 2 即1 2 c 2 由题意得 an an 1 所以sn a1 an 1 由 和1 2得1 2 所以n 2n 因此 an 1 n n 由 得 n n 数列与函数 不等式的综合是高考的一个热点 这类问题把数列和不等式等知识整合在一起 形成了证明不等式 求不等式中的参数取值范围 数列中的最大 小 项 比较数列中项的大小等问题 1 数列与函数的综合问题主要有以下两类 1 已知函数条件 解决数列问题 此类问题一般利用函数的性质 图象研究数列问题 2 已知数列条件 解决函数问题 解决此类问题一般要充分利用数列的范围 公式 性质 求和方法对式子化简变形 2 数列与不等式结合 如比较大小 不等式恒成立 求参数范围等问题 需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题 2 1 2015温州二模 20 14分 已知数列 an 满足 a1 1 a2 2 且an 1 2an 3an 1 n 2 n n 1 设bn an 1 an n n 求证 bn 是等比数列 2 i 求数列 an 的通项公式 ii 求证 对于任意n n 都有 成立 解析 1 证明 由an 1 2an 3an 1 n 2 n n 得an 1 an 3 an an 1 n 2 n n 即bn 3bn 1 n 2 n n 又b1 a2 a1 3 所以 bn 是首项为3 公比为3的等比 c 数列 2 i 由 1 得an 1 an 3n 因为an 1 2an 3an 1 n 2 n n 所以an 1 3an an 3an 1 n 2 n n 又a2 3a1 2 3 1 所以 an 1 3an 是以 1为首项 1为公比的等比数列 所以an 1 3an 1 n 所以4an 3n 1 n an ii 证明 因为an 所以 则当n为偶数时 当n为奇数时 所以 logm 恒成立 试求实数m的取值范围 解析 1