例说三角形中线等分面积的应用.doc

例说三角形中线等分面积的应用图1如图1，线段AD是ABC的中线，过点A作AEBC，垂足为E，则SABDBDAE，SADCDCAE，因为BDDC，所以SABDSADC。因此，三角形的中线把ABC分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。一、求图形的面积图2例1、如图2，长方形ABCD的长为a，宽为b，E、F分别是BC和CD的中点，DE、BF交于点G，求四边形ABGD的面积.分析：因为E、F分别是BC和CD的中点，则连接CG后，可知GF、GE分别是DGC、BGC的中线，而由S=S=，可得S=S，所以DGF、CFG、CEG、BEG的面积相等，问题得解。解：连接CG，由E、F分别是BC和CD的中点，所以S=S=，从而得S=S，可得DGF、CFG、CEG、BEG的面积相等且等于=，因此S四边形=ab4=。例2、在如图3至图5中，ABC的面积为a （1）如图2, 延长ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA若ACD的面积为S1，则S1=_（用含a的代数式表示）；DEABCF图5（2）如图3，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE若DEC的面积为S2，则S2=_（用含a的代数式表示），并写出理由；ABCDE图4图3ABCD（3）在图4的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到DEF（如图6）若阴影部分的面积为S3，则S3=_（用含a的代数式表示）发现：像上面那样，将ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到DEF（如图6），此时，我们称ABC向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的DEF的面积是原来ABC面积的_倍应用：去年在面积为10m2的ABC空地上栽种了某种花卉今年准备扩大种植规模，把ABC向外进行两次扩展，第一次由ABC扩展成DEF，第二次由DEF扩展成MGH（如图5）求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？分析：从第1个图可以发现AC就是ABD的中线，第2个图通过连接DA，可得到ECD的中线DA，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。解：（1）由CD=BC，可知AC就是ABD的中线，中线AC将ABD的分成两个三角形ABC、ACD，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以S1=a；图6DEABCFHMG（2）若连接DA，则DA就是ECD的中线，中线AD将ECD分成CDA、EDA，它们的面积相等；所以S2=2a；（3）根据以上分析，可知BFD、CED、EAF面积都为2a；所以S2=6a；发现：由题意可知扩展一次后的DEF的面积是SDEF= S3+SABC=6a+a=7a；即扩展一次后的DEF的面积是原来ABC面积的7倍。应用：由以上分析可知扩展一次后S总1=7a，扩展二次后S总2=S总1=72a，扩展三次后S总3=S总2=73a，拓展区域的面积：（721）10=480（m2）说明：本题是从一个简单的图形入手，逐步向复杂的图形演变，引导我们逐步进行探索，探索出有关复杂图形的相关结论，这是我们研究数学问题的一种思想方法：从特殊到一般的思想。所以我们在平时的学习中，要注意领会数学思想和方法，使自己的思维不断升华。二、巧分三角形例3、如图7，已知ABC，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1:2:3的三个三角形.图7图8图9分析：可以把三角形先两等份，再把其中一个再两等份，所以联想到作三角形的中线。解：方法1：取BC的中点E，然后在BE上取点D，使BDBE，则AD、AE把ABC分成面积之比为1:2:3的三个三角形（如图8）.方法2：在BC边上截取DCBC，连结AD，然后取AB的中点P，连结BP、CP，则PAC、PAB、PBC的面积之比为1:2: 3（如图9）.想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是1:2:3？二、巧算式子的值图10例2 在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计了如图10所示的几何图形.请你利用这个几何图形求的值.分析：由数据的特征：后面的数为前面一个数的，联想到将三角形的面积不断的平分，所以可以构造如图10的图形进行求解。解：如图10，设大三角形的面积为1，然后不断的按顺序作出各个三角形的中线，根据