1998年全国初中数学联合竞赛试卷.doc

1998年全国初中数学联合竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a、b、c都是实数，并且，那么下列式子中正确的是（）（）（）（）（）2、如果方程的两根之差是1，那么p的值为（ ）（）2（）4（）（）3、在ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BDCE，BD=4，CE=6，那么ABC的面积等于（ ）（）12（）14（）16（）184、已知，并且，那么直线一定通过第（ ）象限（）一、二（）二、三（）三、四（）一、四5、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a、b）共有（ ）（）17个（）64个（）72个（）81个二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PEBD，PFAC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=_。7、已知直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，那么OAB的面积等于_。8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为_cm。9、已知方程（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=_。10、B船在A船的西偏北450处，两船相距km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是_km。三、解答题：（每小题20分，共60分）11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FEBE，求CEF的面积。12、设抛物线的图象与x轴只有一个交点，（1）求a的值；（2）求的值。13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。1999年全国初中数学联合竞赛试卷一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、计算的值是（ ）。（A）1；（B）1；（C）2；（D）2。2、ABC的周长是24，M是AB的中点，MCMA5，则ABC的面积是（ ）。（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）。4、若函数，则当自变量取1、2、3、100这100个自然数时，函数值的和是（ ）。（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。5、如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB998，DC1001，AD1999，点P在线段AD上，则满足条件BPC90的点P的个数为（ ）。0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。6、有下列三个命题：（甲）若是不相等的无理数，则是无理数；（乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理数，则是无理数。其中正确命题的个数是（ ）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。二、填空题（本题满分28分，每小题7分）本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。1、已知且，则_。2、如图，在ABC中，B36，ACB128，CAB的平分线交BC于M，ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则ANM的最小角等于_。3、已知为整数，且满足，则_。4、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且NMBMBC，则tgABM_。一、（本题满分20分）某班参加一次智力竞赛，共三题，每题或者得满分或者得0分。其中题满分20分，题、题满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题的人数与答对题的人数之和为29，答对题的人数与答对题的人数之和为25，答对题的人数与答对题的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？二、（本题满分25分） 如图，设ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD4DC。已知圆过点C且与AC相交于F，与AN相切于AB的中点G。求证：ADBF。三、（本题满分25分） 已知为整数，方程的两根都大于1且小于0，求和的值。2000年全国初中数学联合竞赛试卷一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、计算的值是（ ）。（A）1；（B）；（C）；（D）5。2、若，则的值是（ ）。（A）；（B）；（C）5；（D）6。3、设是不相等的任意正数，又，则这两个数一定（ ）。（A）都不大于2；（B）都不小于2；（C）至少有1个大于2；（D）至少有1个小于2。4、正整数小于100，并满足等式，其中表示不超过的最大整数，这样的正整数有（ ）。（A）2个；（B）3个；（C）12个；（D）16个。5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（ ）。（A）4；（B）6；（C）；（D）。6、已知ABCD是一个半径为R的圆的内接四边形，AB12，CD6，分别延长AB和DC，它们相交于P且BP8，APD60，则R等于（ ）。（A）10；（B）；（C）；（D）14。二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、是正数，并且抛物线和都与轴有公共点，则的最小值是_。2、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果。A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1.2元，C水果价格每千克10元。某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为_元。3、实数满足和，则_。4、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PAPM的最大值和最小值分别记为和，则_。一、（本题满分20分）设是实数，二次函数的图象与轴有两个不同的交点。（1）求证：；（2）若间的距离不超过，求的最大值。二、（本题满分25分） EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为，且BEG与CFH都是锐角。已知EG，FH，四边形EFGH的面积为。（1）求证：；（2）试用表示正方形ABCD的面积。三、（本题满分25分） 设关于的二次方程 的两根都是整数，求满足条件的所有实数的值。2001年全国初中数学联合竞赛试卷一、选择题（每小题7分，共42分） 1、a，b，c为有理数，且等式成立，则2a+999b+1001c的值是（ ）1999（B）2000（C）2001（D）不能确定 2、若，且有5a2+2001a+9=0及，则的值是（ ） （A）（B）（C）（D） 3、已知在ABC中，ACB=900，ABC=150，BC=1，则AC的长为（ ） （A）（B）（C）（D） 4、如图，在ABC中，D是边AC上的一点，下面四种情况中，ABDACB不一定成立的情况是（ ） （A） （B） （C）ABD=ACB （D）5、在实数范围内，一元二次方程的根为；在ABC中，若，则ABC是锐角三角形；在ABC和中，a，b，c分别为ABC的三边，分别为的三边，若，则ABC的面积S大于的面积。以上三个命题中，假命题的个数是（ ） （A）0（B）1（C）2（D）36、某商场对顾客实行优惠，规定：如一次购物不超过200元，则不予折扣；如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；如一次购物超过500元的，其中500元按第条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ） （A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8二、填空题（每小题7分，共28分）1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，QPO=1500，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为 。 2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为 。3、已知是正整数，并且，则= 。4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 。三、解答题（共70分）1、在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。试求的值使得AD2+BE2+CF2达到最大值。（20分）证明：（1）若取任意整数时，二次函数总取整数值，那么都是整数；（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。（25分）2、如图，D，E是ABC边BC上的两点，F是BC延长线上的一点，DAE=CAF。（1）判断ABD的外接圆与AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）若ABD的外接圆的半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长。3、如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为，且BEG与CFH都是锐角。已知EG=k，FH=，四边形EFGH的面积为S。 （1）求证：sin=； （2）试用来表示正方形的面积。求所有的正整数a，b，c，使得关于x的方程， 的所有的根都是正整数。 4、在锐角ABC中，ADBC，D为垂足，DEAC，E为垂足，DFAB，F为垂足。O为ABC的外心。 求证：（1）AEFABC； （2）AOEF5、如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，直线平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。求证：PMPNPRPS2002年全国初中数学联合竞赛试卷一、选择题（本题42分，每小题7分）1、已知a=-1，b=2-，c=-2，那么a，b，c的大小关系是（ ）(A) abc(B) bac (C) cba(D)ca0 (B)M0 (C)M 0 (D)不能确定M为正、为负或为04、直角三角形BC的面积为120，且BAC=90，AD是斜边上的中线，过D作DEAB于E，连CE交AD于F，则AFE的面积为（ ） (A)18 (B)20 (C)22 (D)245、圆O1与O2圆外切于点A，两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则圆O1与圆O2的半径之比为（ ）(A)2：5 (B)1：2 (C)1：3 (D)2：36、如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数是，n+1都能表示成个k完全平方数的和，那么k的最小值为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4BAO1O2-11yOx二、填空题（每小题7分，共28分）1、已知a0，ab0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有0？请说明理由.（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有0？请说明理由.解：（1）（2）2004年全国初中数学联合竞赛试卷及参考答案（2004年4月24日上午8:30-11:00）选择题(本题满分42分,每小题7分)1.直角三角形斜边长为整数,两条直角边长是方程9x3(k+1)的两个根,则k2的值是( )(A)2 (B)4 (C)8 (D)92.(8+3)9 值是( )(A)奇数 (B)偶数 (C)有理数而不是整数 (D)无理数3.边长分别是2、5、7的三个正方体被粘合在一起，在这些用各种方式粘合在一起的立方体中，表面积最小的那个立方体的表面积是.（ ）(A)410 (B)416 (C)394 (D)402 x+yz=1 4.设有三个实数x 、y、z满足： y+zz=1 则适合条件的解组（x、y、z）有（ ） z+xy=1 (A)3组 (B) 5组 (C)7组 (D)9组 5.8a1, 则的值是( )(A)1 (B) 2 (C)8a (D)不能确定6.方程的整数解有( )(A)1组 (B)3组 (C)6组 (D)无穷多组二填空题（本题满分28分,每小题7分）1函数y=x22（2k1）x3k22k的最小值为m。则当m达到最大时x2对于1，2，3，。，9作每二个不同的数的乘积，所有这些乘积的和是 ODPEABC3如图，AB，CD是圆O的直径，且ABCD，P为CD延长线上一点，PE切圆O为E，BE交CD于F，AB=6cm,PE=4cm,则EF的长= 4用6张1x2矩形纸片将3x4的方格表完全盖住，则不同的盖法有 种。三。综合题1。有二组数：A组1，2，。，100 B组12， 22 ，32 ，。，1002若对于A组中的X，在B组中存在一个数Y，使得X+Y也是B组中的数，则称X为关联数，求A中关联数的个数2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和x轴，y轴都只有一个交点，分别为A，B。AB=3,b+2ac=0,一次函数y=x+m的图象过A点，并和二次函数的图象交于另一点D。求DAB的面积3等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，且BD=2CD，P是AD上的一点。CPD=ABC，求证：BPAD2005年全国初中数学联赛初赛试卷3月25日下午2：304:30或3月26日上午9：0011：30学校_ 考生姓名_题 号一二三四五合 计得 分评卷人复核人一、选择题（每小题7分，共计42分）1、若a、b为实数，则下列命题中正确的是（ ）（A）aba2b2 (B)aba2b2 (C)|a|ba2b2 (D)a|b|a2b22、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是（ ）（A） 0 (B) 3 (C) 22005 (D)3220053、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（ ）块。 (A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 224、在RtABC中，斜边AB=5，而直角边BC、AC之长是一元二次方程x2(2m1)x+4(m1)=0的两根，则m的值是（ ）（A）4 （B）1 （C）4或1 （D）4或15、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（ ）（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个6、如图，直线x=1是二次函数 y=ax2+bx+c的图像的对称轴，则有（ ）（A）a+b+c=0 （B）ba+c （C）c2b （D）abc0二、填空题 （每小题7分，共计28分）1、已知：x为非零实数，且 = a, 则 =_。2、已知a为实数，且使关于x的二次方程x2+a2x+a = 0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是_.3、p是o的直径AB的延长线上一点，PC与o相切于点C，APC的角平分线交AC于Q，则则PQC = _.4、对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”，例如：3=1+1+11，则3是一个“好数”，在120这20个自然数中，“好数”共有_个。三、（本题满分20分）设A、B是抛物线y=2x2+4x2上的点，原点位于线段AB的中点处。试求A、B两点的坐标。四、（本题满分25分）如图，AB是o的直径，AB=d，过A作o的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连结OC叫o于点D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。BAOEDC五、（本题满分25分）设x = a+bc ,y = a+cb ,z = b+ca ,其中a、b、c是待定的质数，如果x2 = y ,= 2,试求积abc的所