2013新版第二章实数导学案.doc

北师大版八年级上册 第二章 实数【学习课题】：2.1认识无理数（1）【学习目标】：通过拼图活动感受无理数产生的实际背景和引入的必要性【学习重点】：如何说明一个数是有理数【学习难点】：对有理数不够用的理解【学习过程】：学习准备：1. 有理数的概念：-和-，统称为有理数2. 数的分类： 正整数 如- 整数 零 负整数 如- 有理数 正分数 如- 分数 负分数 如-也可以这样分类： - 如1，2.5有理数 - 新|课 | 标|第 |一| 网 - 如-2，-3.5， 练习：把下列各有理数填在相应的大括号里 12，-3，+1，-1.5，0，0.2， ， 正数： （ ） 负数：（ ）整数： （ ） 分数：（ ）正分数：（ ） 负分数：（ ）解读教材：阅读教材第21页3. 活动做两个边长为1分米的小正方形，剪一剪，拼一拼，你能得到一个大正方形吗？画出你的做法：设大正方形的边长为a分米，a满足的条件为（ ）a是整数吗？（ ），理由：-a是分数吗？（ ），理由：-a是有理数吗？（ ），理由：-总结：在现实生活中，存在着既不是整数又不是分数的数，也就是存在着不是（ ）的数即时练习： 将上述活动中的小正方形的边长变为2分米，大正方形的边长是有理数吗？为什么？ （ ）挖掘教材：xK b1.Co m注意： 本题运用了（ ）定理4.如下图，正方形ABCD的面积为|（ ） 设它的边长为b,则b满足的条件为（ ）b是有理数吗？ ( )21ABCD即时练习： 如下图，正三角形ABC的边长为2，高为h,则h满足的条件为（ ） h是有理数吗？ ( )AEDHOFBGC2ABCh反思小结：5.现实生活中，除了有理数之外，还存在着不是有理数的数，如：-，-【达标检测】：6.长、宽分别为3、2的长方形，它的对角线的长可能是整数吗？（ ） 可能是分数吗？ （ ）7.上图是4个边长为1的正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段。请写出2条长度是有理数的线段：-、-请写出2条长度不是有理数的线段：-、-8.请在方格纸上按照如下要求设计直角三角形并用字母表示：（1）使一边边长不是有理数（2）使两边边长不是有理数（3）使三边边长不是有理数【资源链接】：毕达哥拉斯学派是以古希腊哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯（约前580-约前500）为代表人物的一个学派。毕达哥拉斯学派有一个信条：一切现象都可以用有理数去描述。公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线不能用有理数来表示。这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌。据说，希伯索斯为此被投入了大海，他为发现真理而献出了宝贵的生命。但真理是不可战胜的，后来，古希腊人终于正视了希伯索斯的发现，并进一步给出了证明。新课 标第 一 网【学习课题】：2.1认识无理数（2）【学习目标】：1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想2.会判断一个数是有理数还是无理数【学习重点】：1.无理数概念的理解 2.无理数的判断【学习难点】：无理数的估算【学习过程】：学习准备：1.整数可以表示成（ ）限小数如：3可以表示成小数3.02.分数可以表示成（ ）限小数或（ ）限（ ）小数如：可以表示成小数0.5 可以表示成小数 总结： 有理数总可以表示成（ ）限小数或（ ）限（ ）小数 练习：把下列各数表示成小数2=（ ） =（ ） =（ ） =（ ）解读教材：阅读教材第34-36页3.面积为2的正方形的边长a是多少？分析：由下图可知面积为1面积为4面积为211aa22面积：1 2 4边长：( )a0，所以x= .3、思考：问题2可以归结为“已知一个数的平方,求这个数”吗？（二）、解读教材：平方根1、算术平方根概念阅读教材P26完成填空（1）已知一个正数x的平方等于a,即x2=a（a0），那么这个正数x叫做a的 ，记为“”，读作“根号a”，此符号“”读作 ，与 x的关系是 x （填 ，），即() =a.（2） “0”的算术平方根是 ，即=。（）1= ，“1”的算术平方根是 ，即=。2、求一个正数的算术平方根阅读教材26例1完成填空X k B 1 . c o m【说明】（1）的意义是什么？ = 的意义是什么？= 的意义是什么？= 计算： =_; =_; =_; =_; =_3、例题解析例：自由下落物体下落的距离s（米）与下落时间t(秒)的关系为s=4.9t.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？（1） 在此题的计算过程中我们将“t”看着整体，先求出“t”的值，再求“t”的值。（2） 在此题中“t”表示的是时间，因此“t”必须为正数。解：s=19.6代入公式s=4.9t得：19.6=4.9tt=4t=t=2答：铁球到达地面需要2秒。三、挖掘教材： 一个负数有算术平方根吗？即（a0）= ？ 四、反思小结：1、什么叫着算术平方根，你记住了吗？2、“”表示什么意义？3、中的“a”取值范围？【达标检测】1、 求下列各数的算术平方根：81，36，17，0.81，10.2、 小颖家客厅是面积是64平方米，客厅地面正好由100块大小完全一样的正方形地砖铺成，每块地砖边长是多少米？解：【资源链接】“”的算数平方根因为2=4, 所以=2;3=9所以=3；等于多少？因为954, 所以23, 的值是一个大于2且小于3的无限不循环小数因此我们在计算时一般不计算出它的值,即“”的算术平方根就是“ ”。【学习课题】 2.2 平方根（二）【学习内容】 平方根【学习目标】1.平方根的概念； 2.会进行有关平方根的计算； 3.理解算术平方根与平方根的联系与区别。 【学习重点】平方根的概念和性质。【学习难点】对平方根定义的理解。【学习过程】一、课前准备：1、算术平方根的概念2、阅读教材P27-28二、解读教材：X| k |B| 1 . c |O |m（一）导入1、=4， 也就是4= 。还有其他的数的平方等于16吗？2、平方等于的数有几个？平方等于0.81的有几个？（二）平方根的有关概念请结合教材内容，完成以下内容：1.如果一个数x的平方等于a，即x=a，那么这个数x就叫做a的 或叫做 。2.求一个数a的平方根的运算，叫做 ，其中a叫做 。三、挖掘教材：议一议1.一个正数有几个平方根？因为：（1）（+4）= ，（-4）= ，“16”的平方根有 、 ；（2）（+）= ，（-）= ，“ ”的平方根有 、 ；（3）（+0.9）= ，（-0.9）= ，“0.81”的平方根有 、 ；所以： 正数a有 （几个） 平方根，一个是a的 ，另一个是“ ”，它们互为 。这两个平方根合起来可以记作“ ”，读作“ ”。2.“0”有几个平方根 -= ，+= ，因此“0”有 （几个）平方根，它是 ;3.负数有没有平方根,即一个数的平方可能为负数吗？（+2）= ，0= ，（-2）= ，其他的数呢？因此， （有或没有）一个数的平方为负数，即负数没有平方根。4.（1）（）= ；（2）（）= ；（3）（）= ；（4）对于正数a 即a0,（）= ； 四、反思拓展：1、平方根的有关概念：平方根、开平方？2、正数、0、负数关于平方根有什么性质？3、平方根与算术平方根有什么区别？填表并分析平方根与算术平方根的区别与联系 81049121（-0.25）211a（a0）361289算术平方根平方根两者的区别与联系是 【达标检测】1、求下列各数的平方根： 1.44，0，8，441，196，102、填空（1）25的平方根是 ；（2） = ； （3）()= .【资源链接】乘方的逆运算 二次乘方与开平方互为逆运算。【学习课题】 2.3 立方根【学习目标】1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。 2、能运用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方根互为逆运算。【学习重点】立方根概念的理解。【学习难点】立方根的计算。【学习过程】学习准备： = = = = = = 解读教材：1、如果一个数的立方等于，即 ，那么这个数叫做的 ，记作 。注意，根指数“3”不能省略。2、正数有 个正的立方根，零的立方根是 ，负数有 个负的立方根。3、求一个数的 的运算叫做开立方。新|课 | 标|第 |一| 网4、计算中常用的公式：= ， = 。挖掘教材：1、求下列各数的立方根。-64 0.216 0 1000 4 -9解:= = = = = = = .方法小结： （1）由于开立方运算与立方运算互为 运算，熟记常用的立方运算十分有益。 （2）中的是有理数的立方时，开立方的结果为 ，结果不带根号，当不是有理数的立方时，结果不是 ，如。2、求下列各式的值：= ， = ，= = ， = ， = 分析：用公式=或=，求解较为简便。即时练习：求下列各数的立方根。0.001 -1 8000 -512 问题思考:1、一个数总有平方根吗？总有立方根吗？2、一个正方体边长变为原来的2倍，体积变为几倍？体积变为变来的27倍，边长变为原来的几倍？1000倍呢？达标检测：一、填空：1、64的平方根是 ，立方根是 。2、-0.001的立方根是 , 25的立方根是 .3、已知一个数的立方是-0.027，则这个数为 。4、立方根等于它本身的数是 。二、判断新- 课-标- 第-一-网1、一个数的立方根有两个，它们互为相反数。 （ ）2、负数没有立方根。 （ ）3、一个数的立方根与这个数同号。 （ ） 4、如果一个数有立方根，则它一定有平方根。 （ ）5、是27的立方根。 （ ）6、=。 （ ）7、互为相反数的两数的立方根互为相反数。 （ ）三、求下列各数的立方根-0.008 100 【资源链接】1、求下列各式中的。 2、若，求的立方根。【学习课题】： 2.4 估算【学习目标】：能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。【学习重点】：掌握无理数估算的方法。【学习难点】：掌握无理数估算的方法，并能比较两个数的大小。【学习过程】：学习准备：（）2= （a0），（）3= （a为任意实数）解读教材：1 完成下列空格：某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米2。（1） 公园的宽大约是多少？它有1000米吗？（2） 如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？解：设公园的宽为x米，则有x2=200000 新|课 | 标|第 |一| 网 ( )2 = 160000 200000 50024402= , 4502= x 误差小于10米 注意：误差小于10米是指估算到十位。 x应为 或 。（3） 该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米2，你能估计它的半径吗？（误差小于1米）解：设圆形花圃的半径为R米，则R2=800，R2 254.7152= ，162 = R 误差小于1 注意：误差小于1是指估算到个位。 R应为 或 。练习1：下列计算结果是否正确，说明判断理由？ 0.066 96 60.4 0.6挖掘教材：2 估算下列数的大小：（1） （误差小于1）解： 93= ，103 或 。（2） （误差小于0.1）解： 32= ，42= 3.62= ，3.72= 或 。3 比较下列数的大小与7.5 X k B 1 . c o m解： （）2= ，7.52= 注意：将两数平方后比较大小 7.5 （填 或）4生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定。现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头吗？ 练习2：比较下列各组数的大小： 2.5 -1 2 反思小结：5.估算无理数的方法是： 通过平方（立方）运算采用“夹逼法”，确定其值所在的范围。 根据问题中，误差允许的范围内取出近似值。6“误差小于”与“精确到”意义不同。如：精确到1米是四舍五入到个位，答案只有一个。本章中误差小于1米，就是估算到个位，误差小于10米，就是估算到十位，答案不惟一。达标检测：1 下列各题估算结果正确的是（ ）A 0.059 B. 2.6C. 35.1 D. 299.62估算下列数的大小。（误差小于1）（误差小于0.1）（精确到个位）2 比较下列各组数的大小 与 与 扩展：1.大于-且小于的整数有 。2.比较三个数：2.45，的大小？【学习课题】 2.6 实数【学习目标】1.了解无理数和实数的意义。 2.了解实数与数轴上的点成一 一对应关系。3.掌握实数性质和实数的绝对值。【学习重点】会按两种标准对实数进行分类；会求一个实数的相反数和绝对值。【学习难点】实数的分类。【学习过程】 学习准备新 课 标 第 一 网1、 有理数包括 和 。2、任何一个有理数都可以写成 或者 小数的形式。3、任何有限小数或循环小数都是 。4、有理数的分类：（1）按定义分类: （2）按大小分类： 有理数 有理数5、无理数：无限不循环小数叫做 .无理数的小数位数是 ，而且是不 。解读教材1、（自学教科书38-39内容，并回答以下问题） （1）我们所学的数的范围扩大到了 范围。（2）_和_统称实数,数轴上的点与_一一对应.2、a是一个实数，它的相反数为 ，绝对值为 ；如果a0,那么它的倒数为 即时练习1、下列各数中:1914526，0, _是有理数, _是无理数?挖掘教材例1:把下列各数写出相应的集合内:,0.259,0,0.325325325,-4.313313331.思路点拨：无理数几种常见的类型：（1）无限不循环小数；（2）及含的数；（3）有规律但不循环的无限小数；（4）带根号但开方开不尽的方根。解：（1）正实数集合 ;（2）负实数集合 ;（3）有理数集合 ;（4）无理数集合 .例2：求下列的各数的相反数及绝对值:（1） （2）3 例3：求下列各式中的实数x （1）|x|=； （2）|x|=即时练习1、把1.414, , ， 0。分别填入相应的括号中:分数: ;整数: ;负数: ;正数: ;有理数: ;无理数: 2、下列说法中正确的有（填序号）_.（1）无限小数都是无理数; （2）无理数都是无限小数; （3）有理数都是有限小数. （4）带根号的数都是无理数.（5）不带根号的数都是有理数. （6）无理数就是开方开不尽的数.（7）开方开不尽的数是无理数. （8）数轴上所有的点都表示实数;（9）0的相反数,倒数,绝对值都是0; （10）0是最小的实数;（11）0与都是无理数. （12）实数包括有限小数和无限小数.3、 若|X-|=，则x= .4、在数轴上与原点距离为的点所表示的数是 。【反思拓展】1、无理数几种常见的类型：(1) (2) (3) (4) 2、 （）即:一个正实数的绝对值是 ；一个负实数的绝对值是 ；0的绝对值是 。3、实数包括 和 。【达标检测】1、 选择题：（1）绝对值和算数平方根都等于本身的数是（ ） A.1或-1 B. 1或0 C.-1或0 D1、-1、0 （2）下列各组数中，互为相反数的是（ ） A.-2与 B.-2与 C.-2与 D.|-2|与22、-的相反数是 ，绝对值是 。3、|x-1|=,则x= .4、已知a、b是实数，且+（3b-2)=0.求实数a+b的相反数的倒数的值。【资源链接】1、若数轴上表示x的点在原点的右边，则化简|3x+|的结果是（ ）A.-4x B.4x C.1-2X D.2x2、已知：是的整数部分，是的小数部分，求的平方根。【学习课题】 2.7 二次根式（1） 【学习目标】1、理解二次根式的意义，以及它的性质 。 2、会用不等式求二次根式的被开方数中字母的取值范围。 【学习重点】1、二次根式的意义【学习难点】1、二次根式有意义的条件；2、与的区别与联系.【学习过程】学习准备1、如果，那么叫做的 。 2、一个正数有 个平方根，其中正数的正的平方根，也叫做的 ，记作 ，如：5的算数平方根记作 。解读教材1、二次根式的定义：式子()叫做二次根式。如：、等都是二次根式。理解二次根式的定义应把握两点（1）含有二次根号“”；（2）字母可以表示数也可以表示代数式，但是它们必须是非负数，否则无意义。 即时练习：（1）、判断下列根式是否是二次根式：X| k |B| 1 . c |O |m ； 分析：判定一个式子是否是二次根式，主要观察两方面，第一，被开方数是否非负；第二，是否有二次根号。2、当 时有意义；当 时无意义。 即时练习： 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1） （2） （3）解（1）：要使有意义，则X-30 即X3. （2）： （3）：3、形如b（0）的式子，也叫二次根式，它表示b与的乘积。如：2表示2，表示。特别提醒：如果b为带分数必须写成假分数的形式.如1应写成，而不能写成1.4、因为（a0）表示a的算数平方根，当然也是a的平方根，根据平方根的定义， 。所以 即时练习1、是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） （2） （3） （4）2、计算（1） （2） （3）（4） （5） 3、已知，求的平方根和立方根。【反思拓展】1、 二次根式（），它表示一个 的算数平方根，因此它一定是 ，也就是说，式子，包含两个非负数（1）被开方数 ，即；（2）本身 ，即 0 X k B 1 . c o m2、 表示的 的平方，因此只有在 时，它才有意义。而表示的是的 ，因为无论为任何实数，都是 数，所以总是有意义的。由此可见，只有当 时，才有= 。【达标检测】1、是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?（1） （2） （3） （4） （5） （6）2、计算:（1） （2） （3） （4） （5） 3、化简:4、 若求的值.【资源链接】若的小数部分为的小数部分为b，求的值。分析： 一个数的小数部分是指去掉整数部分后所余的大于0而小于1的部分.【学习课题】 2.7 二次根式（2） 【学习目标】1、理解积的算术平方根的性质，并会用这一性质化简被开方数不含分母的二次根式； 2、能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识。 3、会进行简单的二次根式的乘法运算。 【学习重点】1、非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。 2、(a0,b0) w W w .x K b 1.c o M【学习难点】理解式子 并运用它化简被开方数含字母的二次根式； 【学习过程】 学习准备（1）,（2）从计算结果中你发现了什么规律?请用式子表达出来.2、式子:对不对?不对,请说明理由.3.计算: 从计算结果中你发现了什么规律?请用式子表达出来. 解读教材1、 （1）= 成立的条件是_;=成立的条件是 。 （2） 成立的条件是_ 。2、化简（1） （2） （3） （4） （5） （6）3、计 算 （1） （2） （3） （4） （5）即时练习 1、填空: 成立的条件是_.2、化简:（1） （2） （3） 3、化简: （1） （2） （3） （4） （ ） 挖掘教材例：如果正方形的边长是,面积是,（1）如果=180,求; （2）如果=242,求;解：(1) 正方形的面积S=a, 又S=180 a=180 a=6 (2)【反思小结】http:/ /www.xk 1、=（ ），积的算数平方根，等于积中各因式的 的积。注意：a0 , b0是公式成立的条件。2、公式，将二次根式相乘转化为被开方数相乘，运算结果要尽量化简，将根号内能开得尽得因式移到根号外面。【达标检测】1、 化简: （1） （2） （3）（4） （5） （6）2、计算（1） （2） （3） （4） 3、解