凸轮机构的模糊优化设计论文正文

第 - 1 -页 共 53 页 - 1 - 1 引言 近几年来 , 对摆动滚子从动件平面凸轮机构进行普通优化设计的较多 , 并能从众多满足设计要求的可行方案中 , 选出实现设计目标的最佳方案。但由于设计中根据设计规范或经验确定的某些参数取值的不确定性 , 以及影响设计的某些因素如载荷性质、材质好坏又很难用确定的数值表示 , 这就导致了设计的模糊性。而普通优化设计均未对这些模糊因素进行分析 , 致使设计方案难以更好地符合客观实际 , 为此需建立模糊优化设计的数学模型。 1.1 本课题 的研究意义 凸轮机构广泛用于各种自动机中。例如，自动包装机自动成形机 自动装配机 自动机床纺织机械 农业机械印刷机械 自动办公设备 自动售货机陶瓷 机械加工中心换刀机构 高速压力机械 自动送料机械 食品机械 物流机械电子机械 自动化仪表服装加工机械 制革机械 玻璃机械 弹簧机械和汽车等。 凸轮机构之所以能够得到广泛的应用，是因为它具有传动 导向和控制等功能。当它作为传动机构时，可以产生复杂的运动规律；当它作为导向机构时，可使工作机械的动作端产生复杂的运动轨迹；当它作为控制机构时，可控制执行机构的工作循环。凸轮机构还具有以下优点：高速时平稳性好，重复精度高，运动特性良好，机构的构件少，体积 小，刚性大，周期控制简单，运动特性良好，机构的构件少，体积小，刚性大，周期控制简单，可靠性好，寿命长。 1.2 本课题国内外研究现状、水平和发展趋势 随着社会发展和科技进步，各种自动机正朝着高效率 高精度 自动化程度高 优良的性能价格比 寿命长 操作简单和维修方便等方向发展。为适应这种发展形式，满足自动机的要求，作为自动机核心部件的分度凸轮机构必须具有特性优良的凸轮曲线和高速 高精度性能。 由于计算机软件和数控技术的日益普及，凸轮 CAD/CAM 软件的问世，为高速高精度凸轮机构的设计 制造和检测提供了有利条件 。 凸轮曲线特性优良与否直接影响凸轮机构的精度 效率和寿命。多年来，世界上许多凸轮专家创造了数十种特性优良的凸轮曲线。这些凸轮曲线完全能够满足各种自动机的要求。其中，最常用的有修正正弦曲线 修正梯形曲线和修正等速曲线等。日本山梨大学牧野洋教授研发的三角函数通用凸轮曲线几乎包括全部凸轮曲线。西冈雅夫博士开发了代数式通用凸轮曲线。利用这些通用凸轮曲线，输入一定参数，就能得到满足工作特性要求的凸轮曲线，从而制造出满意的凸轮机构。 我国在凸轮机构研究方面历史悠久，理论较深，但在设计 制造和检测等应 第 - 2 -页 共 53 页 - 2 - 用技术方面，与美日 德等工作发达国家比较，差距较大。 第 - 3 -页 共 53 页 - 3 - 2 模 糊 优化的 数学基础 1965 年，美国控制论专家查德（ L. A. Zaden)。第一次提出了模糊集合的概念，标志着模糊学的诞生。 科学技术的发展，越来越突出这样的一种矛盾：科学的深化要求研究工作数学化、定量化；但是，科学的深化意味着对象的复杂化，复杂 化的东西又难于精确化 。计算机科学更是复杂化与精确化矛盾的焦点。科技工作者在实践中感受到有一条不相容原理：当一个系统的复杂性增大时，我们呢使它精 确化的能力将减小，在达到一定阀值以上时，复杂性与精确性将相互排斥。与复杂性紧紧相伴的，就是模糊性。 模糊数学的使命，就是解决上述矛盾，它是研究和处理模糊现象的一种新的数学方法。 “模糊”与“数学”本是对立的词，查德把两者统一在一起，当然不是让数学放弃它的严格性去迁就模糊性，而是要把数学方法打到模糊现象的禁区中去。但是，他也不把“模糊”二字看成是纯粹消极的贬义词，他认为应让数学及计算机回过头来吸取人脑在对复杂现象进行识别和判决中的特点，形成一种新的更加灵活而简捷的处理手段与方法。 模糊数 学把数学从二值逻辑的基础上转移到连续值逻辑上来，把绝对的“ 是” 、“非” 变为更加灵活的东西，在适当的限域上去相对的划分“是”与“非” 。 模糊数学试图解决的任务是 ：一、给各门学科，尤其是给那些数学的“禁区” 如人文科学（对一个有人的智力活动参与其内的系统进行研究的科学，如经济管理、人工智能、环境科学等等），提供新的语言和工具；二、使计算机能仿效人脑对复杂系统进行识别与判断，提高自动化水平。 尽管这门学科还很不成熟，然而在国内外却受到广大科技工作者的热切关注，发展迅速。 2.1 模糊集合 2.1.1 基本概念 集合论不仅是现代数学的基础，也是模糊数学的必备知识。为了与模糊集合相区别，我们把以往接触到的集合，如 A=(2,3,4,8)称为普通集合（其全集称为论域）。 对于模糊集合中的子集，是没有明确边界的，如“身高”这个集合，一个身高 1.75m 的人既可属于也可不属于“高个”这一子集，由于没有明确的边界，我们将“高个”称为“身高”这一论域的一个“模糊子集”（或模糊集），它具有模糊性，通常用下面带波浪号的大写字母表示（本文以上面带波浪号的大写字母表 第 - 4 -页 共 53 页 - 4 - 示），如 A 、 B 等。 2.1.2 隶属度 为了表示某一元素与模糊子集的关系， Zadeh提出了“隶属度”的概念，即：对论域的每一个元素iu在闭区间 1,0 中给它一个对应的数字指标，用以表明iu对于模糊集 A 的隶属程度，并用 iA uu或Aiu表示，称元素iu对 A 的隶属度，且满足 10 iA uu。显然， iA uu值愈大，表示iu对 A 的隶属程度愈高。当 iA uu=0时，表示iu肯定不属于 A ； 当 iA uu=1时，表示iu肯定属于 A 。在这两种情况下，子集退化为普通集合。由此可见， Zadeh引入模糊子集的基本思路是：把普通集合中的绝对隶属关系加以扩充，使元素对“集合”的隶属度由只能取 0和 1这两个值，推广到可以取单位区间 1,0 中的任意一个数值，从而实现定量地刻画模糊性事物，这里，模糊度是处理问题的关键。 2.1.3 表示方法 Zadeh表示法 A =mAmAA xxx / 2211 =mi iAix1 /(xi U) 当论域 U中的元素为无穷不可数时，可记为 A =U A xx /)(（ x U ） 式中，iAi x/ 论域 U中的元素 xi与其隶属度Ai之间的对应关系，不表示“分数” ； “ +”、“ ” 模糊子集在论域 U上的整体，不表示“求和”； “ ” 各个元素与隶属度对应关系的一个总括，不表示“积分”。 向量表示法 A ),( 21 AmAA 序偶表示法 , 2211 mAmAA xxxA 例 如图， U 是给定的几个物体， 第 - 5 -页 共 53 页 - 5 - a,b,c,d,e , 对每一元素指定一个隶属程度 a 1, b 0.9, c 0.4, d 0.2, e 0. 按定义，便确定了 U的一个模糊子集A ，它表示“圆块块”这一模糊概念，采用查德的 图 1 圆块儿 记法，写为 A=1/a+0.9/b+0.4/c+0.2/d, (1.3) 不要误把上式右端当作分式求和。分母放置元素，分子放置隶属程度，“”号并无求和之意，这样记法会带来某些方便。元素 e对 A 的隶属程度为 0,(1.3)不写它。 向量表示：（ 1, 0.9, 0.4, 0.2, 0） 续偶表示； .,0,2.0,4.0,9.0,154321 xxxxx2.1.4 运算规则 设 A 、 B 、 C 、 D 为论域 U 上的模糊子集，则有如下运算规则 相等：若 A=B，则对一切 x U ,有 xuA= )( xuB包含：若 BA ，则对一切 x U ，有 xuA xuB余（补）集：若 A 与 B 互为余（补）集，则对一切 Ux ，有 xuA=1- xuB并集：若 BAC ,则对一切 Ux ，有 )(),(m ax)( xuxuxu ABc = )( xuxu BA 交集：若 D= BA ,对一切 Ux ，有 第 - 6 -页 共 53 页 - 6 - )(xuDmin )(),( xuxu BA= )( xuxu BA 其中， 和 分别表示“取大”和“取小”运算。除上述运算外，还有一些模糊集之间的代数运算也是常用的，这里介绍一些简单定义： (1) 代数积：记为 BA ，其隶属函数BAu规定为BAu=BAuu (2) 代数和（或上界和） ：记为 BA ，其隶属函数BAu规定为BA= )1),()(m in ( xx BA (3) 绝对差：记为 BA ，其隶属函数BA 规定为BA =BA 上述规则中任意两个模糊集之间的运算都是在论域 U 中的每一个元素对这两个模糊集 的隶属度间的运算。与普通集合一样，模糊集满足：幂等律、交换律、结合律、吸收律、分配律、复原律和对偶律，但一般互补律不成立，即 UAA ， AA ，这是模糊集和与普通集合的一个明显区别。 例 设 54321 , xxxxxU 8.0,1,6.0,2.0, 4321 xxxxA 542114.09.05.0 xxxxB 则根据上述运算规则有 54321104.08.0019.06.05.02.0 xxxxxBA =5432118.019.05.0 xxxxx 4214.06.02.0 xxxBA 542112.04.08.0 xxxxA 42132.054.01.0 xxxBA 第 - 7 -页 共 53 页 - 7 - 5432111117.0 xxxxxBA 2.1.5 水平截集 模糊集本身没有明确范围，因此只有设法将模糊集合转化为普通集合，才能应用通常的数学方法来处理，而水平截集则是在模糊集与普通 集相互转化中起着重要桥梁作用的概念。 设给定论域 U 上的模糊自集 A ，对任意 1,0 ，称普通集合 UxxuxA A , 为 A 的 水平截集或称 水平集。 例432119.075.085.0 xxxxA ，现在要了解这 4 个掘进队哪 个是“技术水平高”（ 90 分以上），哪个是“技术水平较高”（ 80 分以上），哪个是“技术水平一般”（ 70 分以上），于是： “技术水平高”的队组成的普通集合为 439.0 ,xxA “技术水平较高”的队组成的普通集合为 4318.0 , xxxA “技术水平一般”的队组成的普通集合为 43217.0 , xxxxA 这里7.08.09.0 , AAA即是 7.0,8.0,9.0 时 A 的水平截集， 称为A的（置信）水平或阀值。 不难看出， A 是模糊子集，而A是普通集合， 其直观意义是， x 隶属函数达到或超过 的就算 x 是 A 元素。取一个模糊 集 A 的 截集，实际上就是将其隶属函数按下式转换成特征函数，如图 1 第 - 8 -页 共 53 页 - 8 - 图 1 A的特征函数 xuZxxA A, xuxuXAAxA ,0,1当当 水平截集具有三个性质： (1) BABA (2) BABA (3) 若 1 、 2 1,0 ，且 21 ，则211 AA 由 (3)可见，截集水平 越小，A越大，反之亦然。 当 1 时，得到最小的水平截集 1A ，称为 A 的核； 当 0 时，得到最大的水平截集，称为 A 的支集，记为： Supp A = 0, xuUxxA(U 为论域，称 1A SuppA 为 A 的边界 。若 A 的核 1A 不是空集，则称 A 为正规模糊子集，否则称为非正规模糊子集。 从减小到 0(而未达到 0),A从核 1A 扩张为支集 SuppA ,因此普通子集族 10 A意味着是一个具有 “弹性边界”可变的、运动的集合。这样就可把一个模糊集合论的问题转化为一系列普通集合论的问题来处理，这种解法称为水平截集法。 2.2 隶属函数 2.2.1 隶属函数的地位及概念 第 - 9 -页 共 53 页 - 9 - 在模糊数学中，隶属度是建立模糊集合论的基石，隶属函数是描述模糊性的关键。尽管统计学为隶属函数的确定提供了较简捷和较科学的方法，但它们的确定仍然是实际工作者感到棘手的问题。一个模糊集合在给定某种特性之后，就必须建立 反映这种特性所具有的程度函数即隶属函数 。 2.2.2 隶属函数的确定 模糊性 的根源，在于客观事物的差异之间存在着中介过 渡，存在着亦此亦彼的现象。但是，在亦此亦彼之中依然存在着差异，依然可以相互比较，在上一层次中是亦此亦彼的东西，在下一层次中可能又是非此即彼的。这些便在客观上对隶属函数进行了某种限定，使得礼数函数不能主观任意地捏造，它们仍然具有一定的客观规律性。 当然，隶属函数的具体确定，确实包含着人脑的加工，其中包含某种心理过程。但是，归跟到底，心理活动也是物质性的。心理物理学的大量实验表明，人的各种感觉所反映出来的心理量与外界刺激的物理量之间保持着相当严格的定律（如伟伯定律、幂函数定律等），这些定律甚至在某些自然科学中扮 演着基础的角色。下面介绍确定隶属函数的一般原则。 (1) 隶属函数的确定过程，本质上是客观的，但又容许一定的认为技巧，有时这种人为技巧对问题的解决起决定作用。值得注意的是，人为技巧应该是合乎情理的，不能有悖于客观实际。 (2) 在某些场合隶属函数可以通过模糊统计试验加以确定。一般来说，这种方法多是较为有效的。 (3) 在某些场合，可以用概率统计的结果予以推理而确定其隶属函数。 (4) 在某些场合，可以用二元对比排序法确定隶属函数的大致形状，根据形状选用适当的隶属函数的模型。 (5) 在一定条件下，隶属函数可 以作为推理的产物。 (6) 某些模糊集合的隶属函数可以经过模糊运算求得。 (7) 在模糊数学的许多应用领域中，隶属函数可以通过“学习”而不断完善。实践效果是检验和调整隶属函数的依据。 (8) 隶属函数的确定也可以通过专家的经验来确定，目前在许多基于知识的专家系统中都是这样来确定隶属函数的。 2.3 模糊性的度量 2.3.1 模糊集合之间的距离 两个模糊集合间的相似程度可以用他们之间的距离来度量，一般用符号 d或 s 表示。 2.3.2 模糊度 一个 模糊集合 A ，其模 糊程度是可以定量描述的。 1972 年德国学者 De laca 第 - 10 -页 共 53 页 - 10 - 提出了用模糊度来刻划 论域 U 上的任意模糊集合 A 的模糊程度的定量描述方法 。模糊度 DA ,满足下列条件： (1) 当且仅当 A 为 U 上的经典集合时， AD 0； (2) 当且仅当 5.0 xu A时， AD 取最大值，即 AD ； (3) 若对任意 Ux ，有 xuA 5.0 xuB或 xuA 5.0 xu B则 AD BD (4) A 与其补集 A ，其模糊度相同 ADAD 这个定义给出了关于模糊度的四条公理。定义中的条件 (1)说明经典集合是不模糊的。条件 (2)表明当 5.0 xu A时是最模糊的，因为在相反的情况下的隶属度也是 0.5，即 5.0 xuxu AA，因而对于这两种情况不知该怎样决策才好。条件 (3)表明隶属度越靠近 0.5 越模糊，反之离 0.5 越远越清晰。条件 (4)表明 A 与其补集 A 的模糊度是相同的，即 xuA与 xuA到 0.5 的距离相等。 2.3.3 贴近度 两个模糊集之间接近程度的一种度量。 贴近度的一种形式： xuxuBA BA )( 例 321 , xxxU 3217.04.08.0 xxxA 3215.06.06.0 xxxB 5.07.06.04.06.08.0 BA = 5.04.06.0 =0.6 xuxuBA BA )( BA ， BA 分别叫做 A 与 B 的内积与外积。称 第 - 11 -页 共 53 页 - 11 - BABABA 1, 或 BABABA 121,为 A 与 B 的格贴近度。 2.3.4 隶属原则 设nAAA ,., 21是 U 中的 n 个模糊子集，lx是 U 中的一个元素， 若有， )() , . . . . . ,(),(m a x21 onoooi xAxAxAxA ， （） 则认为 xo相对隶属于iA， 这就是隶属原则。 例 25.00154.082.0 ，A 58.087.05.0 ，B 以隶属原则判定，即（）式 Ax 3Bx 4 2.4 模糊矩阵与模糊关系 2.4.1 模糊关系简介 数学上讲 ，一个确切的分类，要由一个等价关系来确定。对应地。一个模糊的分类，要由一个模糊的等价关系来确定。模糊关系在模糊数学中有着基本的理论意义。 2.4.2 模糊关系 设 U 是因素 甲的状态集， V 是因素乙的状态集，若要同时考虑甲，乙两因素，则可能状态集是由 U 与 V 中任意搭配的元素对 (u,v)所构成，在数学上称它为 U 与 V 的笛卡尔乘积集，记作 VvUuvuVU ,:, . VU 是 U、 V元素之间的一种无约束的搭配，如果对这种搭配施加某种限制，这种限制便体现了 U 与 V 之间的某种特定的关系。因此，在数学上便把 U、 V 元素之间的关系定义成为 U V的一个子集，这是所熟知的事实，相应地有从 U到 V的 一个模糊关系 R 。 所谓从 U 到 V 的一个模糊关系 R ,是指 VU 的一个模糊子集。隶属程度 第 - 12 -页 共 53 页 - 12 - vuR , 表示 u与 v 具有关系 R 的程度 。当 U=V， R 称为 U上的模糊二元关系。 例 U=(1.4,1.5,1.6,1.7,1.8), V=(40,50,60,70,80), VU 的模糊子集 R 其隶属函数用矩阵表为18.02.0008.18.018.02.007.12.08.018.02.06.102.08.018.05.1002.08.014 R 表示了身长（米）体重（公斤）对应关系。 2.4.3 模糊矩阵 当 U 与 V 都是有限集合时， R 可用一矩阵表现，这样的矩阵（元素是介于0,1之间的实数），称为模糊矩阵，也 记作 R 。 设 ijrR是 mn 维模糊矩阵， jkSS 是 rm 维模糊矩阵，令 jkijik Sri （ i=1, ,n,k=1, ,n） 易见 10 iki,则称 ikiT 为 R 对 S 的复合矩阵，记作 SRT 例如4.009.03.001.04.01.01.05.02.01R 8.02.03.01.017.09.04.0S 则9.07.04.04.09.04.0 SR 矩阵的复合运算非常类似于普通矩阵乘法，只是将“”改为“ ” ，将“ ” 改为“ ” 。 2.4.4 模糊聚类 第 - 13 -页 共 53 页 - 13 - 模糊等价关系 设 R 是 U 上的一个模糊关系，其对应的模糊矩阵 R nmijr ，若满足 (1) 自反性 1ijr(i=1,2, ,n) (2) 对称性 jiij rr (I,j=1,2, ,n) (3) 传递性 RRR 则称 mnijrR 是一个模糊等价矩阵，其关系是模糊 等价关系。 由定义可见，自反性是矩阵的对角线上的元素全是，对称性是 R 为对称矩阵，而传递性不宜直接看出，需计算。一般情况下所建立的模糊关系只满足反身性和对称性条件，但可以证明这种模糊关系（ n 阶矩阵）满足下式 RRRRRR （ R n ） 其中， RR 是一个模糊等价关系，即模糊关系可通过计算改造成模糊等价关系。 模糊聚类分析 对事物 按一定要求 进行分类的数学方法叫聚类分析，它是研究分类的一种多元分析方法。在应用该方法时，关键是要把统计指标选择得合理，也就是统计指标应该有明确的实际意义，有较强的分辨力和代表性。在选定了统计指标后，进行聚类分析，大致分两步。 第一步标定工作 设 U 是需要分类的对象的全体，先建立 U 上的模糊关系 R ，当 U 为有限集时， R 是一个矩阵，这一步称为标定。实际上，标定工作是标出衡量被分类对象间相似程度的统计量ijr(i， j=1， 2， ， n)，由此得出模糊关系 R 。设被分类的每一对象iu，由一组数据imii xxx ,., 21表示，则ijr的计算方法与公式如下： (1) 数量积法 mkjkikij jiMxxjir1,1当当 其中 M 为一适当选择的正数，且满足 第 - 14 -页 共 53 页 - 14 - M mk jkikxx1m ax (2) 绝对值指数法 mk jkik xxij er 2(3) 主观评定法 请有经验的专家评分，一般可用百分制。将评得的总分除以 100 后，即得闭区间 1,0 的一个数。为避免主观片面，也可采用多人评分，再取平均值的方法来定出ijr。 第二步聚类 由上知， R 一般需改造成模糊等价关系。取 R 的乘幂 ,., 842 RRR 若在某一步有 nkk RRR 2 ，则 nR 便是一个模糊等价关系。 计算出 nR 后，选定适当的阀值 ,对 nR 进行截割。 根据聚类原则，即ix与jx在 水平上属同类，当 ijr时，ix与jx归为一类。由于所选的 值不同，便可对 U 进行动态聚类，得到聚类图，该方法称为模糊聚类传递包法。 例 以往对煤矿岩巷圈岩稳定性分类多采用工程类比法，该方法具有一定的主观性和片面性，为此采用模糊聚类法进行分类。通过对国外所采用过的几十个岩石分类指标的分析，选定“位移稳定时间、岩体声波速度、点荷载强度、岩块结构模糊 ”四个指标为分类指标，据此可大致确定出围岩稳定性类别。 已知某矿五条巷道 、的四个指标值，试用模糊聚类传递包法对其的稳定性进行判定。 经实际标定，该五条巷道的模糊相似矩阵为 00.138.043.041.047.038.000.139.034.041.043.039.000.148.062.041.034.048.000.147.047.041.062.047.000.1RR 的自反性和对称性是显然的，但不满足传递性条件，故需进行改造。 第 - 15 -页 共 53 页 - 15 - *2224 RRRRR ， *R 即为模糊等 价关系。 选取 值对 *R 进行截割。当 =1 时，有 10000010000010000010000011R 这时 U 被分为 ，。 当 62.0 时，有 100000100000101000100010162.0R 这时 U被分为，。 同理， 48.0 时， U被分为 ，。 47.0 时， U被分为，。 41.0 时， U被分为，。 图 2 模糊聚类图 如果欲将其分为“稳定、中等稳定，不稳定三类” ，则可取 48.0 。 第 - 16 -页 共 53 页 - 16 - 2.5 模糊综合评判 2.5.1 模糊综合评判的意义 在生产 、科研和日常生活中，人们常常需要比较各种事物，评价其优劣好坏，以作相应的处理 。例如，评价某新产品整机性能的好坏，评价某设计参数的合理程度等，以该进产品设计，提高产品质量。 由于同一事物具有多种属性，因此，在评价事物时应兼顾各个方面。特别是在生产规划、管理调度等复杂系统中，作出任何一个决策时，都必须对多个相关的因素进行综合考虑，这便是所谓的综合评判问题。若这种评判涉及模糊因素，便是模糊综合评判问题。 2.5.2 一级模糊综合评判 模糊综合 评判就是应用模糊变换原理对其考虑的事物所作的综合评判。它主要分为两步：第一步先按单个因素进行评判，第二步再按所有因素进行综合评判。 (1) 建立因素集 因素集是以影响评判对象的各种因素为元素组成的集合，通常用 U 表示，即 U=nuuu ,., 21 各元素iu代表各影响因素。这些因素通常都具有不同程度的模糊性。例如，在评判机械结构的安全系数时，其影响因素一般包括： 1u 设计水平 2u 制造水平 3u 材质好坏 4u 重要程度 5u 使用条件 6u 维修费用与灾害损失费用 上述各因素iu所组成的集合，便是评判安全系数的因素集 U=nuuu ,., 21。 (2) 建立备择集 (评判集 ) 备择集是以评判者对评判对象可能作出的各种总的评判结果为元素组成的集合，通常用 V表示，即 V= mvvv ,., 21各元素iv代表各种可能的总的评判结果。模糊综合评判的目的，就是在综合考虑所有影响因素的基础上，从备择集中得到一最佳的评判结果。例如，在评判安全系数时，备择集中的元素iv即为可能选取的各种安全系数值，评判的结果便 第 - 17 -页 共 53 页 - 17 - 是从 V中得出一个最合理的安全系数。 (3) 单因素模糊评判 首先从因素集 U中的单个因素出发进行评判，确定评判对象对备择集中各元素的隶属程度。设评判对象按因素集中第 i 个因素 iu进行评判时，对备择集中第 j个元素jv隶属程度为ijr，则按第 i个因素iu评判的结果可用模糊集合表示为 mimiii vrvrvrR .2211iR称为单因素评判集，可简单地表示为 imiii rrrR ,., 21 它是备择集 V 上的一个模糊集合。将 n 个因素的评判集组成一个总的评 判矩阵 nmnnmmn rrrrrrrrrRRRR21222211121121 R 称为单因素评判矩阵。 (4) 建立权重集 一般而言，各个因素的重要程度是不一样的。为了反映各因素的重要程度，对各个因素iu应赋予一相应的权数iw。由各权数所组成的集合 nwwwW , 21 称为因素权重集，简称为权重集。 (5) 模糊综合评判 从单因素评判矩阵 R 可以看出； R 的第 i行，反映了第 i个因素影响评判对象取各个备择元素的程度； R 的第 j列，则反映了所有因素影响评判对象取第 j个备择元素的程度。因此，可用每列元素之和 ni ijr1 j=1,2, ,m 来反映所有因素的综合影响。但是这样做并未 考虑个因素的重要程度 。如在上式的各项作用以相应因素的权数iW，便能合理地反映所有因素的综 合影响。 第 - 18 -页 共 53 页 - 18 - 因此，当权重集 W 和单因素评判矩阵 R 为已知时，便可作模糊变换来进行综合评判 RWB = nmnnmmnrrrrrrrrrwww21222211121121 , = mbbb , 21 式中，“ ”表示某种合成运算； B 称为模糊综合评判集； mjbj ,2,1 称为模糊综合评判指标，简称为评判指标。jb的含义为综合考虑所有因素的影响时，评判对象对备择集中第 j个元素的隶属度。 2.5.3 多级模糊综合评判 在 复杂系统中，由于要考虑的因素很多，各因素之间往往还有层次之分，并且许多因素还具有比较强烈的模糊性，若用一级模糊综合评判模型，则难以比较系统中事物之间的优胜劣汰次序，得不出有意义的评判结果。此时，需用多级模糊综合评判。 当因素很多时，若用一级模糊综合评判模型，则必然会遇到这样一些问题，一是权数难以较为合理地分配，二是因重 集中各权数都很小，会出现“泯没”大量单因素评判信息的情况。在实际应用中，如果遇到这种情形，可把因素集 U按某些属性分成几类，先对每一类（因素较少）作综合评判，然后再对评判结果进行“类”之间的高层次的综合评判。 (1) 将因素分类 先根据因素集中因素间的关系将 U 分成 N 类，即 U=nuuu ,., 21 (2) 一级模糊综合评判 对每个 U=nuuu ,., 21的im个因素，按一级模糊综合评判模型进 行综合 评判得 iii RWB i=1,2, ,N 式中，iW为iU上的权重集，且 imiii wwwW , 21 ；iR为对 U 的单因素评判矩阵。 第 - 19 -页 共 53 页 - 19 - (3) 二级模糊综合评判。 U的总的评价句矩阵 R 为 NBBBR 21=nn RWRWRW2211根据各类因素的重要程度，赋予每个因素类似相应的权数，设为 nwwwW , 21 则总的评判结果为 如果因素集 U 的元素非常多时，则仿照上述步骤还可进行三级甚至更多级的模糊综合评判。 第 - 20 -页 共 53 页 - 20 - 3 凸轮机构 的模糊优 化设计 在各类机器中，为了实现各种复杂的运动要求，广泛应用着凸轮机构。近年来，国内外采用优化设计方法进行凸轮机构设计已取得较大的进展。但以往的工作均未考虑到凸 轮机构中有些因素的模糊性，致使难以迅速获得诸方面皆满意的方案，考虑到约束条件的模糊性，下面建立了凸轮机构的模糊优化数学模型，并对一实例进行了模糊优化设计。 3.1 凸轮机构的应用和分类 当从动件的位移、速度和加速度必须严格地按照预定规律变化，尤其当原动件作连续运动而从动件必须作间歇运动时，则以采用凸轮机构最为简便。 内燃机配气机构和自动机床上控制刀架运动的都为凸轮机构。故凸轮是一个具有曲线轮廓或凹槽的构件，它运动时，通过高副接触可以使从动件获得连续或不连续的任意预期往复运动。 凸轮机构一般 由凸轮、从动件、机架三个构件组成。常用的凸轮机构可分类如下： 3.1.1 按凸轮的形状分 (1) 盘形凸轮 它是凸轮的最基本型式。这种凸轮是一个绕固定轴线转动并具有变化矢径的盘形构件。 (2) 移动凸轮 当盘形凸轮的回转中心趋于无穷远时，凸轮相对机架作往复移动，这种凸轮称为移动凸轮。 (3) 圆柱凸轮 这种凸轮可认为是将移动凸轮卷成圆柱体而演化成的。 盘形凸轮和移动凸轮与从动件之间的相对运动为平面运动；而圆柱凸轮与从动件之间的相对运动为空间运动，所以前两者属于平面凸轮机构，后者属于空间凸轮机构。 3.1.2 按从动件的型式分 (1) 尖底从动件 尖底能与任意复杂的凸轮轮廓保持接触，从而使从动件实现任意运动。但因为尖底易于磨损，故只宜用于传力不大的低速凸轮机构中。 (2) 滚子从动件 这种从动件耐磨损，可以承受教大的载荷，故应用最普遍。 (3) 平底从动件 这种从动件的底面与凸轮之间易于形成楫形油膜，故常用于高速凸轮机构之中。 以上三种从动件亦可按相对机架的运动形式分为作往复直线运动的直动从动件和作往复摆动运动的摆动从动件。 3.1.3 按凸轮与从动件维持高副接触的方式分 (1) 力锁合 利用从动件的重力、弹簧力或其他分力使从动件与凸轮保持接触。 (2) 几何锁合 依靠凸轮与从动件的特殊几何形状而始终维持接触。如凹槽凸轮，其凹槽两侧面间的距离等于滚子的直径，故能保证滚子与凸轮始终接触。显然，这种凸轮只能采用滚子从动件。 第 - 21 -页 共 53 页 - 21 - 几何锁合的凸轮机构可以免除弹簧附加的阻力，从而减小驱动力和提高效率；它的缺点是机构外廓尺寸较大，设计也较复杂。 凸轮机构的优点是：只需设计适当的凸轮轮廓，便可使从动件得到任意的预期运动，而且结构简单、紧凑、设计方便，因此在自动机床、轻工机械、纺织 机械、印刷机械、食品机械、包装机械和机电一体化产品中得到广泛应用。它的缺点是： 1)凸轮与从动件间为点或线接触，易磨损，只易用于传力不大的场合； 2）凸轮轮廓加工比较困难； 3）从动件的行程不能不能过大，否则会使凸轮变得笨重。 3.1.4 凸轮机构的压力角和自锁 偏置尖底直动从动件盘形凸轮机构在推程角的一个位置时，当不考虑摩擦时，凸轮 作用于从动件的驱动力 F 是沿法线方向传递的。此力可分解为沿从动件的运动方向的有用分力 F1 和使从动件紧压导路的有害分力 F2。驱动力 F 与有用分力 F1 之间的夹角 （或接触点法线与从 动件上力作用点速度的方向所夹的锐角）称为凸轮机构在图示位置时的压力角。显然，压力角是衡量有用分力 F1和有害分力 F2 之比的重要参数。压力角 愈大，有害分力 F2 愈大，由 F2 引起的导路中的摩擦阻力也愈大，故凸轮推动从动件所需的驱动力也就愈大。当 增大到某一数值时，因 F2 引起的摩擦阻力将会超过有用分力 F1，这时，无论凸轮给从动件的驱动力多大，都不能推动从动件，这种现象称为机构出现自锁。机构开始出现自锁的压力角 lim 称为极限压力角，它的数值与支承间的跨距，悬臂长度，接触面间的摩擦系数和润滑条件等有关。实践说明，当 增大到接近 lim时，即使尚未发生自锁，也会导致驱动力急剧增大，轮廓严重磨损、效率迅速降低。因此，实际设计中规定了压力角的许用值 。对摆动从动件，通常取 =40- 50；对于直动件从动件通常取 =30 -38。滚子接触、润滑良好的支承有较好刚性时取数据的上限；否则取下限。 力锁合式凸轮机构，其从动件的回程是由弹簧等外力驱动的，而不是由凸轮驱动的，所以不会出现自锁。因此，力锁合式凸轮机构的回程压力角可以很大，其许用值可取 =70 - 80。 3.1.5 凸轮副的材料及其热处理 凸轮 和从动件应具有足够的强度和耐磨性。一般应使从动件上与凸轮相接触部分的硬度略低于凸轮的硬度，因更换从动件比更换凸轮价廉而简便。 凸轮副常用材料及其热处理，可根据载荷情况按下表选用。 凸轮材料及其热处理 材料类型 热 处 理 硬 度 接触疲劳强度极限 sHlim(MPa) 特 点 和 用 途 碳素钢 正火 HB150 190 2HB+70 低速、轻载凸轮或从动件 调质 HB220 250 2HB+70 综合性能较好，用于中低速、 中载的凸轮或从动件 调质后表面淬火 HRC45 50 17HRC+200 中高速、中载、中等精度的凸轮或从动件 合金钢 调质 HB220 285 2HB+70 性能优于碳素钢调质，应用情况同碳素钢 调质后表面淬火 HRC45 50 17HRC+200 淬透性好，应用情况同碳素钢 氮化 HV550 750 1050 接触疲劳强度高，用于中高速、中载、高精度的凸轮或从动件 第 - 22 -页 共 53 页 - 22 - 3.2 凸轮机构的设计要求及其计算公式 3.2.1 设计要求 如图 5-13 所示偏置直动滚子从动件盘形凸轮机构，已知凸轮 沿顺时针方向等角速度转动， n=100r/min，当凸轮转过升程角w=110 时，从动件按正弦加速度运动规律运动，工作行程 h=40mm，从动件导路偏于凸轮回转中心的左方，确定凸轮的最小基圆半径br。 (1) 已知机构尺寸及有关参数 a=0.05m, c=0.015m , d=0.16m ,导路的摩擦系数 =0.1,凸轮轴半径 rs=0.01m,外载荷 Q=400N，弹簧刚度 K=5000N/m，从动件质量m=5kg，凸轮基圆半径与滚子半径之比 k=3.5, 凸轮与滚子弹性模 量 5101.2 E Mpa， 凸轮的许用接触应力 600MPa， 凸轮的角速度 w=10.472rad/s, w=110 =1.92rad， h=0.04m。 图 5-13 从动件的作用力 (2) 变量 y的上下界 0.02m,则 y的上界为 y=d-a-s-b=0.16-0.05-0.04-0.02=0.05m 当从动件在下死点时，因凸轮基圆半径有 3106475.1 Tsb rrr,即 3101.45.3/01.075.1 bb rr ,故有 br 0.03m。假定偏距取最大值 第 - 23 -页 共 53 页 - 23 - e=-0.015m，则的 y 下界为 mery b 026.0015.003.0 2222 (3) 变量 e的上下界及 ， 根据机构尺寸，取 e =0,e = -0.015m，凸轮的许用最大压力角 30 ,凸轮的许用接触应力 600MPa。 3.2.2 凸轮机构的计算公式 按正弦加速度运动规律，计算从动件的位移 s，速度 s和加速度 s。 (1) 凸轮理论轮廓上任意点的曲率半径 uuc 2 (2) 从动件的作用力 smFKsQPs 其中， Q为外载荷， K为弹簧刚度，sF为弹簧的预紧力， m为从动件系统的质量。 (3) 凸轮轮廓的法向力。在不考虑滚子与凸轮轮廓之间的摩擦力的条件下，由从动件作用力的平衡方程组解得 s i n22c o s caba PaN 其中， 21,NN 为从动件导路的反作用力， N为凸轮的法向力， 为摩擦系数，a,b,c为凸轮机构尺寸（见图 5 13）。 (4) 凸轮轮廓的接触应力 vqE 418. 其中， q为凸轮轮廓单位宽度的载荷 (取 q=N/0.75rb)， E为凸轮与滚子的材料综合弹性模量，v为凸轮与滚子的综合曲率半径。 cbcbTTcTcTv k rkrrr rr 2 3.3 凸轮机构模糊优化设计的数学模型 根据设计要求，在满足正常运行条件下，确定凸轮的最小基圆半径br（也可以说凸轮用料最少），其模糊优化数学模型的建立如下： 第 - 24 -页 共 53 页 - 24 - 3.3.1 确定设计变量 由图 5-13可知，影响基圆半径的因素为其偏心距和滚子在下死点时 y的数值。故设计变量 X=y,eT=x1,x2T 3.3.2 建立目标函数 由图 5-13可知，目标函数 minF(X)=(x12+x22)1/2 3.3.3 确定约束条件 考虑从完全许用到完全不许用的中介过渡过程，把凸轮的接触应力，凸轮的压力角，凸轮的基圆半径等约束，视为设