线性代数A 习题合集.pdf

班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 练习练习 1 1 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 一 填空题 一 填空题 1 排列536421的逆序数为 2 在五阶行列式中含中 项 1321324554 a a a a a的符号取 3 多项式 212 111 321 111 xx x f x x x 中 4 x的系数为 3 x的系数为 4 若 5213425 1452 432 1 kji jNkiN aaaaa 是五阶行列式的一项 则 ijk 二 选择题 二 选择题 1 设 2 n n 阶行列式A中的元素 ij a是1或1 1 2 1 2 in jn 则A必是 A 奇数 B 偶数 C 正整数 D 负整数 2 下列行列式中其值为的 n是 A 1 2 1 A n n B 00020 00300 0 2 000 1 0000 00001 B n n C 00001 02000 00300 00010 0000 C n n D 0001 2000 0300 000 D n 3 为六阶行列式中带负号的项为 A 122334465561 a a a a a a B 615243342516 a a a a a a C 213243 165564 a a a a a a D 223143546516 a a a a a a 三 设排列三 设排列 121nn x xxx 的逆序数为的逆序数为k 则 则 121nn x xx x 的逆序数为多少 的逆序数为多少 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 四 利用对角线法则计算下列三阶行列式 四 利用对角线法则计算下列三阶行列式 1 201 141 183 2 222 111 abc abc 五 证明 一个五 证明 一个n阶行列式中等于零的元素个数若比阶行列式中等于零的元素个数若比 2 nn多 则此行列式必等于零 多 则此行列式必等于零 班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 练习练习 1 2 n 阶行列式的性质与计算阶行列式的性质与计算 一 填空题 一 填空题 1 设 是方程 3 0 xpxq 的三个根 则行列式 2 2 1 2 1123 1223 2315 2219 x D x 2 2141 3121 1232 5062 D 3 已知 1 100 1 010 001 xyz x y z 则 xyz 4 方程 1 1111 1 111 01121 111 n x Dx nx 的所有解为 5 行列式 1 1121 21222 12 111 111 111 n n n nnnn x yx yx y x yx yx y D x yx yx y 当2 n时 2 D 当3 n时 n D 二 选择题 二 选择题 1 设 111213 212223 313233 A aaa aaam aaa 则 313233 212223 311132123313 222 B aaa aaa aaaaaa A m B 2m C 2m D 8m 2 设 222A B 其中 均为三维列向量 若1B 则A A 1 B 1 3 C 1 6 D 1 9 3 设 121212 A B 其中 1212 均为三维列向量 且 AB mn 则 122112 222 A 2 mn B 2 mn C 63 mn D 63 mn 三 计算下列行列式 三 计算下列行列式 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 1 5 14121 02112 54213 10124 14031 D 2 1231 11000 022 0001 1 n nn D nn 四 证明 四 证明 1 33 ax byay bzaz bxxyz ay bzaz bxax byabyzx az bxax byay bzzxy 2 2 2 2 2100 210 1 020 1 002 n a aa Dnaaa aa 班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 练习练习 1 3 行列式按行 列 展开定理与克莱姆法则行列式按行 列 展开定理与克莱姆法则 一 填空题 一 填空题 1 已知 1012 1103 1110 1254 D ij M表示第i行第j列元素的余子式 则 12223242 MMMM 2 1222 2222 2232 222 n D n 3 当 k 时 方程组 0 0 0 kxyz xkyz xykz 有非零解 二 选择题 二 选择题 1 设 11121314 21222324 31323334 41424344 axaxaxax axaxaxax f x axaxaxax axaxaxax 则多项式 f x次数最高可能为 A 1 B 2 C 3 D 4 2 设 Ana 且其每列元素之和为0 k 则A的第一行元素的代数余子式之和 11121 n AAA A ka B a k C ka D a k 3 行列式D非零的充分条件是 A D的所有元素非零 B D的任意两行元素之间不成比例 C D至少有n个元素非零 D 以D为系数行列式的齐次线性方程组有唯一解 4 齐次线性方程组 123 123 123 220 20 30 xxx xxx xxx 只有零解 则 应满足的条件是 A 0 B 2 C 1 D 1 三 证明 三 证明 1 22 00 1 111 00 111 1 xx x x y yy y 2 101 011 3 111 110 a b a b d c d 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 四 计算下列行列式 四 计算下列行列式 1 111 1 1 1 1 111 nnn nnn n aaan aaan D aaan 2 cos1000 12cos100 012cos00 0002cos1 00012cos n D 班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 练习练习 2 1 矩阵及其运算矩阵及其运算 一 填空题 一 填空题 1 设 1 2 5 2 1 3 T A 则 5 A 2 设A是n阶矩阵 其每行元素之和为k 则Am的每行元素之和为 3 已知线性变换 1123 2123 3123 22 35 323 xyyy xyyy xyyy 则变量 321 xxx到变量 321 yyy的线性变换为 4 4317 1232 5701 3 1 2 32 1 2 11 2 3 1112131 1231222232 1323333 aaax x x xaaax aaax 二 选择题 二 选择题 1 设 A B C是n阶方阵 且 ABBCCAE 则 222 ABC A E B 2E C 3E D 0 2 设A为n阶对称矩阵 B为n阶反对称矩阵 则下列矩阵中为反对称矩阵的是 A ABBA B ABBA C 2 AB D BAB 3 设 A B为n阶方阵 k为正整数 则下列结论中不正确的是 A 若 A B可交换 则 22 AB ABAB B 若 A B可交换 则ABk和BAk可交换 C 若 AB和 AB可交换 则 A B可交换 D 若AB和BA可交换 则 A B可交换 4 设 102 0 11 101 A 矩阵B满足2 ABAB E 则 B E A 1 7 B 9 7 C 9 7 D 1 5 设 A B为n阶方阵 则下列结论正确的是 A AB0A0且 B0 B 若0 AA0 C 00 ABA或0 B D 1 AEA 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 三 设三 设 111 A111 111 123 B124 051 求 求 T 3AB2AA B 及 及 四 设四 设 231023 P Q AP Q 120112 计算 计算 n QPA及及 五 设五 设 01000 10000 A00101 00010 00001 求 求 2n A 六 证明任何一个六 证明任何一个n阶方阵都可以表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和 阶方阵都可以表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和 班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 练习练习 2 2 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 一 选择题 一 选择题 1 设 111213212223 21222311121312 313233113112321333 1 0 00 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 10 0 1 aaaaaa aaaaaa aaaaaaaaa ABPP 则必有 A 12 BAPP B 21 BAP P C 12 BPP A D 21 BP PA 2 设 221 122 063 A经初等行变换化为阶梯形矩阵 122 063 000 B 其进程如下 221 122 063 A 122 221 063 12 2122 063063 063000 B 故存在三阶矩阵P 使得 PAB 其中 P A 210 100 011 B 010 120 121 C 010 120 011 D 210 100 211 3 设矩阵A中有一个1k 阶子式不为零 且所有1k 阶子式全为零 则必有 A rk A B 1rk A C 1rk A D 1rk A或 rk A 二 用初等行变换将二 用初等行变换将 23137 12024 A 32 830 23 743 化为行最简形矩阵 再进一步用初等列变换将其化为标准形 化为行最简形矩阵 再进一步用初等列变换将其化为标准形 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 三 设三 设 123 A123 23 k k k 问 问k为何值时 可使为何值时 可使 1 A 1 2 A 2 A 3 rrr 四 设 四 设A B为行数相等矩阵 为行数相等矩阵 C A B 是由是由A B并列所得的矩阵 证明 并列所得的矩阵 证明 C A B rrr 五 求矩阵五 求矩阵 21837 23075 32580 10320 的秩 并求一个最高阶非零子式 的秩 并求一个最高阶非零子式 班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 练习练习 2 3 逆矩阵逆矩阵 一 填空题 一 填空题 1 设A为三阶方阵 1 2 A 则 1 2 A 2 设A为 3 n n 阶方阵 则 A 3 设 200 031 052 A B是三阶矩阵 满足 ABA EAB 则 B 4 设 A B均为三阶方阵 将A的第一行的2倍加到第三行得C 将B的第一 二列互换得D 已知 102 011 213 CD 则 AB 二 选择题 二 选择题 1 设 A B是同阶方阵 且A可逆 B不可逆 则下列矩阵中一定可逆的矩阵是 A AB B T AA C AB D 3 4B 2 设 A B均为n阶方阵 则下列结论中正确的是 A A或B可逆 则必有AB可逆 B A B均可逆 则必有 AB可逆 C AB不可逆 则必有A或B不可逆 D A B均不可逆 则必有 AB不可逆 3 设A为n阶方阵 满足 3 AO 则必有 A 2 AO B A EA均不可逆 C 22 AAE AAE均可逆 D EA可逆 二 求下列矩阵的逆矩阵 二 求下列矩阵的逆矩阵 1 121 342 541 2 5200 2100 0083 0052 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 三 设三 设n阶矩阵阶矩阵A及及s阶矩阵阶矩阵B都可逆 求都可逆 求 1 OA BO 及及 1 AO CB 四 设四 设 101 A1 10 1 14 求求 1 A2E A2E 五 已知五 已知 2 1 01 2 1 2 A1 2 1 B C3 4 2 3 0 1 22 1 求解下列矩阵方程 求解下列矩阵方程 1 AXXC 2 AXBC 班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 练习练习 3 1 线性线性 向量向量 空间空间 一 设一 设 1121212 x 0 nnn VxxxxxxR xxx 2121212 x 1 nnn VxxxxxxR xxx 问问 V1 V2是不是向量空间 为什么 是不是向量空间 为什么 二 证明 二 证明 1 1 1 1 0 Sf xf xCf xx d且 d且对于通常函数的加法和实数与函数的乘法构 成一个线性空间 对于通常函数的加法和实数与函数的乘法构 成一个线性空间 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 三 验证所有三 验证所有 n 阶实对称矩阵的集合阶实对称矩阵的集合 W 是所有是所有 n 阶实矩阵所构成的线性空间的子空间 阶实矩阵所构成的线性空间的子空间 四 判断全体实数的二元数列 对于下面定义的运算 四 判断全体实数的二元数列 对于下面定义的运算 1122121212 a ba baa bba a 2 11111 1 2 k k ka bka kba 是否构成实数域上的线性空间 是否构成实数域上的线性空间 班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 练习练习 3 2 向量组的线性相关性 1 向量组的线性相关性 1 一 填空题 一 填空题 1 s个n维向量 12 1 s s 称为线性相关的 如果存在 的数 12 s k kk 使得 1122ss kkk 0 2 已知向量组 123 线性无关 11232233123 2 25aa 若 123 线性相关 则a 3 设n维向量 123 满足条件 123 23 0 是任意的n维向量 若 123 a 线性相关 则a 二 选择题 二 选择题 1 向量组 12 s 线性无关的充分必要条件是 A 有一组全不为零的数 12 s k kk 使得 1122ss kkk 0 B 有一组不全为零的数 12 s k kk 使得 1122ss kkk 0 C 对任意的全不为零的数 12 s k kk 使得 1122ss kkk 0 D 对任意的不全为零的数 12 s k kk 使得 1122ss kkk 0 2 向量组 12 s 线性相关的充分必要条件是 A 12 s 中至少有一个零向量 B 12 s 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 12 s 中至少有两个向量成比例 D 12 s 中至少有1s 个向量线性相关 3 设 12 n 是n个n维向量 则条件 1 i 不能由 1211 1 2 iin in 线性表 示 2 任意n维向量 均可由 12 n 线性表示 3 12 n 和 12 n 可以相互表示 4 方程组 1 12 2n n xxx 0 只有零解是 12 n 线性无关的充要条件的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 4 设向量组 1212 sss r AB 则必有 A A线性相关 B 线性相关 B A线性无关 B 线性无关 C B线性相关 A 线性相关 D B线性相关 A 线性无关 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 三 设三 设 123 0425 1231 23 12 3122 问问 能否由能否由 123 线性表示 线性表示 四 设 四 设 1121212 ss 且向量组且向量组 12 s 线性无关 证明向量组线性无关 证明向量组 12 s 线性无关线性无关 五 设五 设 12 s a aa sn 是互不相等的数 是互不相等的数 21 1 1 2 n iiii a aais 问 问 12 s 是 否线性相关 是 否线性相关 班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 练习练习 3 2 向量组的线性相关性 2 向量组的线性相关性 2 一 选择题 一 选择题 1 设矩阵 1212 ss A B 其中 1 2 ii is 均是n维列向量 且sn 向量组 12 s A 线性无关 则向量组 12 s B 线性无关的充要条件是 A A可由 B线性表示 B B可由 A线性表示 C AB D AB 2 设 123 是三维向量 11321233123 2 2 aa 则条件 1 123 线性相关 2 123 线性无关 3 3a 4 1a 是 123 线性相关的充分条件的是 A 1 B 2 3 C 1 3 4 D 1 4 3 设A是m n 矩阵 B是n m 矩阵 C是m m 可逆矩阵 满足 ABC 则 A A的行向量组线性无关 B的行向量组线性无关 B A的行向量组线性无关 B的列向量组线性无关 C A的列向量组线性无关 B的行向量组线性无关 D A的列向量组线性无关 B的列向量组线性无关 4 设向量组 12345 1 1 2 4 0 3 1 2 3 0 7 14 1 2 2 0 2 1 5 10 TTTTT 则下列向量组中不是该向量组的最大无关组的是 A 234 B 134 C 145 D 235 5 已知四维向量组 1234 线性无关 且向量组 1134224334 4235123 2 则 12345 r A 1 B 2 C 3 D 4 6 设向量组 1234 A 线性无关 则与向量组 A等价的向量组是 A 12233441 1 B 122334 C 12233441 D 112233441 7 设向量组 1234 线性无关 向量 11232133124134 2 24 则下列结论错误的是 A 1 0 B 12 不成比例 C 123 线性无关 D 4 不能由 123 线性表示 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 二 问向量二 问向量 1 2 1 1 能否由能否由 1234 1 1 1 1 1 111 11 11 111 1 线性表示 线性表示 若能表示 则求出表示式若能表示 则求出表示式 三 求向量组 三 求向量组 1234 2 3 12 11 4 0 33 12 0 5 1016 TTTT 的秩及它的一 个最大无关组 的秩及它的一 个最大无关组 四 设向量组四 设向量组 12 s 线性无关 而线性无关 而 12 s 线性相关 且线性相关 且 都不能由都不能由 12 s 线性 表示 线性 表示 证明 证明 12 s 与与 12 s 等价 等价 班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 练习练习 3 3 向量空间的基以及向量的坐标向量空间的基以及向量的坐标 一 选择题 一 选择题 1 下列集合构成的向量空间中 维数是 1 2 n 的是 A 偶数号码的坐标相等的所有n维向量 B 偶数号码和奇数号码的坐标分别相等的所有n维向量 C 偶数号码的坐标等于零的所有n维向量 D 形如 aa aa 的所有n维向量 2 设 12 1 2 1 1 1 1 TT 则 3 时 123 为 3 R的基 A 0 0 1 T B 0 1 0 T C 1 0 1 T D 2 1 2 T 3 已知 3 R中的向量 123 7 3 1 1 3 5 6 3 2 3 1 0 TTTT 则 在 123 下的 坐标为 A 2 1 6 T B 1 2 6 T C 6 1 2 T D 1 2 6 T 4 全体二阶实矩阵对于矩阵的加法和数乘构成的线性空间 2 2 R 的一组基底为 A 1000 0001 B 10000100 00010010 C 0 100 0010 D 1001 0110 二 验证二 验证 123 1 1 0 2 1 3 3 1 2 TTT 为为 3 R的一个基 的一个基 并把并把 12 5 0 7 9 8 13 TT 用这个基线性表示用这个基线性表示 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 三 已知三 已知 3 R中的两组基中的两组基 123123 1 0 1 2 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 2 1 TTTTTT 1 求由基求由基 123 到基到基 123 的过渡矩阵 的过渡矩阵 2 求求 9 6 5 T 在这两组基下的坐标 在这两组基下的坐标 3 求向量求向量 使它在这两组基下有相同的坐标 使它在这两组基下有相同的坐标 四 若四 若 123 是线性空间是线性空间 3 V的一个基 的一个基 并且有并且有 112223123 22 11 2123123 1 证明证明 123 和和 123 都是都是 3 V的基 的基 2 求由基求由基 123 到基到基 123 的过渡矩阵 的过渡矩阵 3 求基求基 123 和基和基 123 的坐标变换公式的坐标变换公式 班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 练习练习 3 4 欧氏空间欧氏空间 一 求一个向量一 求一个向量 使 使 与与 123 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 TTT 构成构成 4 R的一组基 并将这组基 化成标准正交基 的一组基 并将这组基 化成标准正交基 二 设 二 设 12 n 是欧氏空间是欧氏空间V的一个基 证明 的一个基 证明 1 若若 V 使使 0 1 2 i in 则则 0 2 若若 12 V 使对任一使对任一 V 有 有 12 则 则 12 三 试用柯西 三 试用柯西 许瓦尔兹不等式证明 对于任意实数许瓦尔兹不等式证明 对于任意实数 12 n a aa 成立 成立 222 12 1 n in i an aaa 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 四 设四 设 12 n 是欧氏空间是欧氏空间V的的n个向量个向量 试证 试证 12 n 线性相关的充分必要条件是行列式线性相关的充分必要条件是行列式 11121 21222 12 12 0 TTT n TTT n n TTT nnnn D 五 在线性空间 五 在线性空间 3 R x中 中 1 求由基求由基 23 1 Ix xx到基到基 223 1 1 1 1IIxxxxxx 的 过渡矩阵 的 过渡矩阵 2 已知已知 f x在在 I下的坐标为下的坐标为 1 0 2 5 T g x在在 II下的坐标为下的坐标为 7 0 8 2 T 求 求 f xg x 分别在分别在 I和和 II下的坐标下的坐标 班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 练习练习 3 5 线性变换线性变换 一 填空题 一 填空题 1 设 A B是同阶方阵 如果 则称A与B相似 2 已知A与B相似 且 2 A 则 1 B 3 若A是正交矩阵 则 A 二 选择题 二 选择题 1 下列所定义的变换 一定是线性变换的是 A 在线性空间V中 T 其中 V 0是一个固定的向量 B 在 3 R中 22 1231233 x x xxxx x T C 在 3 R中 12312231 2 x x xxx xx x T D 在 R x中 0 f xf x T 其中 0 xR 是一个固定的数 2 设T是 n R上的线性变换 下列命题中正确的是 A T在不同基下的矩阵不同 B T在不同基下的矩阵的秩不同 C T在任一基下的矩阵是可逆的 D T在任两个基下的矩阵秩相同 3 设 n R上的线性变换T在基 123 下的矩阵是 11 2 2 01 1 21 则T在基 321 下的矩阵是 A 112 201 121 B 121 102 211 C 121 102 211 D 211 102 121 4 设T为线性空间V中的线性变换 12 n 为V的一组基 则必有 A 12 n T T T 线性无关 B 12 n T T T 为 VT的一组基 C 12 n T T T 线性相关 D 以上结论都不对 二 设二 设T为线性空间为线性空间V上的线性变换 如果上的线性变换 如果T 0 k 且 且T 0 n nk 证明 证明 T T k 线 性无关 线 性无关 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 三 在三 在 3 R中中 已知已知 123 1 0 2 0 1 1 3 1 0 TTT 为为 3 R的一个基 的一个基 并且并且 1 T 5 0 3 T 23 T 0 1 6 T 5 1 9 TT 求线性变换求线性变换T在基在基 123 下的矩阵以及下的矩阵以及T在基在基 123 下的矩阵下的矩阵 四 设四 设T为三维线性空间为三维线性空间V上的线性变换 上的线性变换 T关于基关于基 123 的矩阵为的矩阵为 111213 212223 313233 A aaa aaa aaa 1 求求T对 于基 对 于基 231 矩阵 矩阵 2 求求T对于基的对于基的 123 k 矩阵矩阵 其中其中0k 3 求求T对于基对于基 1223 矩阵矩阵 班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 练习练习 4 1 线性方程组线性方程组 一 填空题 一 填空题 1 设A是秩为2的3 4 的矩阵 1 2 1 3 3 6 3 9 2 3 2 5 TTT 是齐次线性方程组 Ax0的 解 则该齐次线性方程组的通解为 2 设A是秩为2的4 3 的矩阵 1 2 3 2 1 7 TT 是非齐次线性方程组 Axb的两个解 则该非齐 次线性方程组的通解为 3 设A是秩为3的4阶方阵 且A的各行元素之和为0 则齐次方程组 Ax0的通解为 4 设 234 134 124 123 0 0 0 0 xaxbx xcxdx axcxex bxdxex 的基础解系由两个线性无关解组成 则参数 a b c d e应满足 5 设 11 11221331 21 12222332 31 13223333 a xa xa xb Ia xa xa xb a xa xa xb 有唯一解 1 2 3 T 1111221331441 2112222332442 3113223333443 a ya ya ya yb IIa ya ya ya yb a ya ya ya yb 有特解 2 1 4 2 T 则方程组 II 的通解为 二 选择题 二 选择题 1 设A是m n 矩阵 Ax0是非齐次线性方程组 Axb所对应的齐次线性方程组 则下列结论正确 的是 A 若 Ax0只有零解 则 Axb有唯一解 B 若 Ax0有非零解 则 Axb有无穷多解 C 若 Axb有无穷多解 则 Ax0仅有零解 D 若 Axb有无穷多解 则 Ax0有非零解 2 设 123 是 Axb的三个解 a是常数 则下列向量中是对应齐次方程组 Ax0的解的是 A 123 a B 123 1 aa C 123 1 aa D 123 32aa 3 设A是m n 矩阵 齐次线性方程组 Ax0只有零解的充分必要条件是 A A的列向量组线性相关 B A的列向量组线性无关 C A的行向量组线性相关 D A的向行量组线性无关 4 三元一次方程组 21 232 434 xyz xyz xyz 所代表的三个平面位置关系是 A 交于一点 B 交于一直线 C 两两相交成三条平行直线 D 相交成两条平行直线 三 求解下列线性方程组三 求解下列线性方程组 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 1 1234 1234 1234 20 3630 51050 xxxx xxxx xxxx 2 2 21 4222 21 xyzw xyzw xyzw 四 四 取何值时取何值时 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 123 123 2 123 1xxx xxx xxx 1 有唯一解 有唯一解 2 无解 无解 3 有无穷多个解有无穷多个解 五 设五 设 123 123 123 2 221 2 5 42 24 5 1 xxx xxx xxx 问问 为何值时为何值时 此方程组有唯一解 无解或有无穷多解 并在 有无穷多解时求解 此方程组有唯一解 无解或有无穷多解 并在 有无穷多解时求解 班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 练习练习 4 2 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 一 填空题 一 填空题 1 设 n A有一个特征值4 则行列式4 EA 当 4 rn EA时 4 EA x0有 解 2 设A为n阶方阵 Ax0有非零解 则A必有一个特征值为 3 1 2 3为三阶方阵A的三个特征值 则 1 A的特征值为 2 23 AAE的特征值为 4 设 022 22 2 22 x b A是其特征值 其中0b 则x 5 设 11 T a 是矩阵 22 212 221 a A的伴随矩阵 A的特征向量 则a 6 设A为3阶方阵 1 A有特征值1 2 3 ij A是A中元素 ij a的代数余子式 则 112233 AAA 二 选择题 二 选择题 1 设A为n阶方阵 下列结论不成立的是 A 若A可逆 则A的对应于特征值 的特征向量也是 1 A的对应于特征值 1 的特征向量 B A的特征向量即为方程 EA x0的全部解 C A与 T A有相同的特征向量 D 若A存在对应于特征值 的n个线性无关的特征向量 则 AE 2 设 为n阶可逆矩阵A的一个特征值 则A的伴随矩阵 A的一个特征值为 A 1 n A B 1 A C A D 1 1 n A 3 设A是3阶矩阵 1r A 则0 A 必是A的二重特征值 B 至少是A的二重特征值 C 至多是A的二重特征值 D 是A的一 二 三重特征值都有可能 4 设A是3阶矩阵 有特征值3 1 2 则下列矩阵中与单位矩阵等价的矩阵是 A AE B AE C 3 EA D 2 AE 5 设 123 210 331 A 则下列向量中是A的特征向量的是 A 1 1 2 1 T B 2 1 2 1 T C 3 2 1 2 T D 4 2 4 2 T 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 三 求下列矩阵的特征值与特征向量三 求下列矩阵的特征值与特征向量 并问它们的特征向量是否两两正交 并问它们的特征向量是否两两正交 1 11 24 2 2 123 213 336 四 设四 设4阶方阵阶方阵A满足满足30 2 0 T EAAAE A 求 求 A的一个特征值的一个特征值 五 证明 五 证明 n阶方阵阶方阵 A B中有一个可逆时 中有一个可逆时 AB与与BA有相同的特征值 有相同的特征值 班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 练习练习 4 3 矩阵的对角化矩阵的对角化 一 填空题 一 填空题 1 n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有 个线性无关的特征向量 2 设 A B为n矩阵 如果有n阶可逆矩阵P 使得 成立 则称A与B相似 3 设 322 1 423 kk A相似于 1 1 1 则k 4 设A为3阶方阵 满足 ABC 其中 121002 213 006 131002 BC 则 A 5 已知三阶方阵 1 1 2 A 则 rr AEAE 二 选择题 二 选择题 1 设A为3阶方阵 12233 A 0 A A 其中 1 0 且 23 线性无关 若存在可逆矩 阵P 使得 1 1 1 0 P AP 则 P A 123 B 2312 C 2321 2 3 D 122331 2 下列矩阵中不能对角化的矩阵是 A 110 132 021 A B 202 020 002 B C 220 020 002 C D 112 021 003 D 3 设A是3阶奇异矩阵 是线性无关的三维列向量 满足2 2 A A 则 A A 100 020 002 B 000 010 001 C 100 020 003 D 200 000 002 4 设 100 01 0 002 A 32 23 BAAAE 则 B A E B E C 2E D 3 E 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 三 判断下列矩阵是否能化为对角阵 三 判断下列矩阵是否能化为对角阵 1 11 00 2 2 212 533 102 四 设矩阵四 设矩阵 123 A11 11 x x 且知且知A有一特征值为有一特征值为 1 求 求x的值及的值及A的其它特征值 并判断的其它特征值 并判断A是否 能与对角阵相似 是否 能与对角阵相似 五 已知五 已知 7126 A101910 122413 求 求 100 A 六 设矩阵六 设矩阵 11 A1 11 与与 000 B010 002 相似 相似 1 求求 2 求正交矩阵求正交矩阵P 使 使 1 P APB 班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 练习练习 5 1 二次型及其标准形 1 二次型及其标准形 1 一 填空题 一 填空题 1 二次型 222 4424fxxyyxzzyz 所对应的矩阵形式为 2 设 1 122 12 23 35 0 x f x xx xx 则二次型的对应矩阵为 该二次型的秩为 3 对称矩阵 213 120 308 A 的二次型为 二 选择题 二 选择题 1 设 A ijm n a 则二次型 2 1 122 1 n iiinn i fa xa xa x 的对应矩阵为 A A B 2 A C AA T D A A T 2 设 222 123121 323 55266fxxcxx xx xx x 的秩为2 则参数c A 1 B 2 C 3 D 4 三 用配方法将下列二次型化成标准形 并写出所用的线性变换三 用配方法将下列二次型化成标准形 并写出所用的线性变换 1 222 1231213 3524fxxxx xx x 2 2 121323 226fx xx xx x 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 四 用初等变换法将下列二次型化成标准形 并写出所用的线性变换四 用初等变换法将下列二次型化成标准形 并写出所用的线性变换 1 222 123121323 55484fxxxx xx xx x 2 2 122334 fx xx xx x 班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 练习练习 5 1 二次型及其标准形 2 二次型及其标准形 2 一 填空题 一 填空题 1 A是实对称可逆矩阵 则存在可逆线性变换 将二次型x Ax T f 化为二次型 1 y A y T f 2 已知二次型 2222 123423 44fxxxxx x 则其规范形是 3 设二次型 222 1231223 244fxxaxx xx x 通过正交变换xPy 可化成标准形 222 123 42yyy 则参 数a 二 选择题 二 选择题 1 二次型 222 1231223 2424fxxxx xx x 的标准形是 A 222 123 3yyy B 22 12 2yy C 22 12 2yy D 2 1 4y 2 二次型 222 122331 fxxxxxx 的规范形是 A 222 123 yyy B 222 123 3yyy C 22 12 yy D 22 12 yy 3 已知 122122211 nnnnn f x xxx xx xx x 则它的正 负惯性指数之差 即符号差 为 A 0 B n C n D 2n 三 用正交变换将下列二次型化成标准形 并写出所用的正交变换变换三 用正交变换将下列二次型化成标准形 并写出所用的正交变换变换 1 222 12323 2334fxxxx x 2 2 222 123121323 42484fxxxx xx xx x 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 四 已知二次型四 已知二次型 123 x Ax T f xxx 在正交变换在正交变换xPy 下的标准形是下的标准形是 22 12 yy 且 且P的第的第3列为列为 22 0 22 T 求矩阵 求矩阵A 五 方程 五 方程 222 225261xyzxzyz 表示什么曲面 表示什么曲面 六 对六 对n元实二次型元实二次型x Ax T f 其中 其中 12 x T n xxx 证明 证明 f在条件在条件 222 12 1 n xxx 下的 最大值恰好为矩阵 下的 最大值恰好为矩阵A的最大特征值的最大特征值 班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 练习练习 5 2 二次型的分类二次型的分类 一 填空题 一 填空题 1 设 222 2 2fkxykzxy 是负定二次型 则参数k的取值范围是 2 设 222 123121 323 5424ftxxxx xtx xx x 是正定二次型 则参数t的取值范围是 3 设A是三阶对称矩阵 有特征值 123 EAk 是正定矩阵 则k的取值范围是 二 选择题 二 选择题 1 n阶对称矩阵A是正定矩阵的充分必要条件是 A 所有 1 2 k kn 阶子式为正 B A的所有特征值非负 C 1 A 为正定矩阵 D Arn 2 二次型 12 x Ax T n f x xx 正定的充分必要条件是 A 存在可逆矩阵P 使 1 P AP E B 存在n阶矩阵D 使得A D D T C 对任意 12 x T n x xx 其中0 1 2 i xin 都有0 x Ax T D A的伴随矩阵 A的特征值全部大于零 三 设三 设A为三阶实对称矩阵 且满足为三阶实对称矩阵 且满足 2 A2A 0 A 2r 1 求 求A的全部特征值及的全部特征值及A所对应的二次 型的标准形 2 当 所对应的二次 型的标准形 2 当k为何值时 矩阵为何值时 矩阵AEk 为正定矩阵 其中为正定矩阵 其中E为三阶单位矩阵 为三阶单位矩阵 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 四 设四 设 12 n a aa 都是实数 二次型都是实数 二次型 2222 112223111 nnnnn fxa xxa xxaxxa x 求该二次型为正定的条件 五 已知 求该二次型为正定的条件 五 已知A是正定矩阵 试证 是正定矩阵 试证 1 A A A 0 A T kk 也是正定矩阵 六 已知 也是正定矩阵 六 已知A是正定矩阵 且又是正交矩阵 试证 是正定矩阵 且又是正交矩阵 试证 A是单位矩阵是单位矩阵 班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 模拟试题模拟试题 1 一 填空题 本题一 填空题 本题 15 分 每小题分 每小题 3 分 分 1 已知A为三阶方阵 且 1 3 A 则 1 3 A 2 已知向量组 1234 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 TTTT 则向量 0 2 0 1 T 用 1234 线性表示为 3 已知向量组 1234 2 1 3 1 3 1 2 0 13 424311 TTTT 则 1234 R 4 若n阶方阵A满足 2 2 AAEO 其中E为n阶单位矩阵 则A必有特征值 5 设三阶方阵A的特征值为101 则与方阵 3 2 BAAE相似的对角矩阵为 二 选择题 本题二 选择题 本题 15 分 每小题分 每小题 3 分 分 1 设 A B是三阶方阵 已知1 2 AB 则六阶行列式 2 AO AB A 4 B 4 C 16 D 16 2 下列命题中正确的是 A 在线性相关的向量组中 去掉若干向量后所得向量组仍然线性相关 B 在线性无关的向量组中 去掉每个向量的最后若干分量后仍然线性无关 C 任何kn 个n维向量 1 k必然线性相关 D 若只有 12 m k kk 全为零时 等式 1111mmmm kkkk 0 才成立 且 12 m 线性无关 则 12 m 线性无关 3 已知非齐次线性方程组 AXB的 3 个解向量为 123 若 123 k 是其导出组 AXO的 解向量 则k A 3 B 2 C 1 D 0 4 设三阶矩阵A的三个特征值为1 1 2 且 123 分别为对应的特征向量 则 A 12 必为矩阵2 EA的特征向量 B 13 必为矩阵2 EA的特征向量 C 123 必为矩阵2 EA的特征向量 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 D 12 必为矩阵2 EA的特征向量 3 不是矩阵2 EA的特征向量 5 设n阶方阵A与B相似 则必有 A A与B同时可逆或不可逆 B A与B有相同的特征向量 C A和B均与同一个对角矩阵相似 D 矩阵 EA与 EB相等 三 计算行列式 本题三 计算行列式 本题 10 分 分 1 2 1 0001 0000 0000 1000 n n n a a D a a 其中 其中0 1 2 i ain 四 本题 四 本题 15 分 讨论分 讨论 a b取何值时 线性方程组取何值时 线性方程组 123 123 123 2 231 610 xxxa xxx xxbx 无解 有惟一解或有无穷多个 解 并在有无穷多个解时 写出通解 无解 有惟一解或有无穷多个 解 并在有无穷多个解时 写出通解 五 证明题 本题五 证明题 本题 10 分 设分 设 12 2 r r 是数域是数域P上的线性空间上的线性空间V中线性无关的向量组 任取中线性无关的向量组 任取 121 P r k kk 求证 求证 111 r k 222 r k 111 rrrr k 线性无关 线性无关 六 本题六 本题 10 分 设分 设 100 A010 001 三阶方阵 三阶方阵B满足满足A BA2BA9E 其中 其中 A为为A的伴随矩阵 的伴随矩阵 E为单位矩阵 求矩阵为单位矩阵 求矩阵B 七 本题七 本题 15 分 设三阶实对称矩阵分 设三阶实对称矩阵A的特征值为的特征值为1 1 2 矩阵 矩阵A对应的特征向量依次为对应的特征向量依次为 1 0 1 0 T 23 1 0 1 1 0 1 TT 1 求矩阵求矩阵A 2 求求 2012 A 3 判断判断A所对应的二次型是否为正定二次型 所对应的二次型是否为正定二次型 八 本题八 本题 10 分 设分 设A为三阶实对称矩阵 二次型为三阶实对称矩阵 二次型X AX T f 经正交变换经正交变换 XPY得标准形得标准形 222 123 4fyyy 其中 其中 123 P 且且 3 1 1 1 1 3 T 试求所作的正交变换 试求所作的正交变换 班级 姓名 学号 1 湖南大学数学与计量经济学院编 模拟试题模拟试题 2 一 填空题 本题一 填空题 本题 15 分 每小题分 每小题 3 分 分 1 已知 1234 A 为四阶方阵 其中 1 2 3 4 i i 为A的第i个列向量 令 12233441 B 则 B 2 设A为三阶方阵 A为A的伴随矩阵 且3 A 则 1 A 3 设 21111 3213 1352 t t A 且 2R A 则t 4 若n阶方阵A有特征值 则 1 110 kk k faaa AAAAE 必有特征值 5 若二次型 222 3222fxyzaxyxzyz 经正交变换化为 2 2 2 1 4yyf 则a 二 选择题 本题二 选择题 本题 15 分 每小题分 每小题 3 分 分 1 设A是n阶方阵 则0 A的必要条件是 A A中两行 列 元素对应成比例 B A中有一行元素全为零 C A中任一行元素为其余行的线性组合 D A中必有一行元素为其余行的线性组合 2 设A是n阶对称阵 B 是n阶反对称阵 则下列矩阵中反对称矩阵是 A BAB B ABA C ABAB D BABA 3 设向量组 123 1 1 1 1 2 3 1 3 TTT t 当t 时 向量组 123 线性相关 A 5 B 4 C 3 D 2 4 设A为4 3 矩阵 123 是非齐次线性方程组 Axb的 3 个线性无关的解向量 12 k k为任意常 数 则非齐次线性方程组 Axb的通解为 A 23 121 2 k B 23 121 2 k C 23 121231 2 kk D 23 121231 2 kk 5 设方阵 2 110 10 00 k k A是正定矩阵 则必有 A 0k B 1k C 2k D 1k 三 本题三 本题 8 分 计算行列式分 计算行列式 班级 姓名 学号 2 湖南大学数学与计量经济学院编 0 1 2 1 1000 100 001 000 n n n a ax D ax ax 其中其中0 0 1 2 1 i ain 四 本题 四 本题 12 分 分 设设 2 AXEAX 且 且 101 A020 101 求矩阵 求矩阵X及及 1 X 其