2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.1任意角和弧度制5.1.2弧度制教学案新人教A版.docx

5.1.2弧度制(教师独具内容)课程标准：了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性教学重点：1.弧度制的意义.2.角度与弧度的互化.3.弧度制下，弧长和扇形面积公式的运用教学难点：弧度制的概念及角度与弧度的互化.【知识导学】知识点一角的单位制(1)用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的.(2)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度，通常略去不写以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制(3)弧度数的计算知识点二角度与弧度的换算(1)角度制与弧度制的换算(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应表度030456090120135150180弧度0知识点三扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，(02)为其圆心角的弧度数，n为圆心角的角度数，则扇形的弧长：lr，扇形的面积：Slrr2.【新知拓展】(1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的定值，仅仅是为了能使概念描述更具体的一个“过渡量”而已(2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如sin2是指sin(2弧度)，180是指弧度180；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去(3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特殊要求，不必把写成小数，如45弧度，不必写成450.785弧度(4)角度制和弧度制表示的角不能混用如2k30，kZ；k90，kZ，都不正确(5)弧度制是十进制，而角度制是六十进制1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大()(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等()(3)用弧度表示的角都是正角()(4)“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(1)在半径为5 cm的圆中，圆心角为周角的的角所对的圆弧长为()A. cm B. cmC. cm D. cm(2)135化为弧度为_，化为角度为_答案(1)B(2)660题型一 弧度制的概念例1下列命题中，假命题是()A“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位D不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关解析根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是假命题选项A，B，C均为真命题答案D金版点睛角度制和弧度制的比较(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制(2)1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的的角，大小显然不同(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法下列叙述中正确的是()A1弧度是1度的圆心角所对的弧B1弧度是长度为半径的弧C1弧度是1度的弧与1度的角之和D大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角一样大答案D解析弧度是度量角的大小的一种单位，而不是长度的度量单位，1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小，与圆的半径无关，故选D.题型二 角度和弧度的换算例2把下列各角用另一种度量制表示出来：11230；36；3.5.解11230.3636.75.353.53.557.3200.55(或20033)金版点睛用弧度制表示角时“弧度”二字可以省略不写，而用角度制表示角时要特别注意单位“”不能丢，因为1与1是完全不同的两个角.(1)300化为弧度是()A B C D(2)化为度数是()A278 B280 C288 D318答案(1)B(2)C解析(1)300300.(2)180288.题型三 用弧度制表示角的集合例3已知角2005.(1)将改写成2k(kZ,02)的形式，并指出是第几象限的角；(2)在5，0)内找出与终边相同的角解(1)20052005 rad rad rad，又，角与终边相同，是第三象限的角(2)与终边相同的角为2k(kZ)，由52k0，kZ知k1，2，3.在5，0)内与终边相同的角是，.金版点睛用弧度制表示终边相同的角2k(kZ)时，其中2k是的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.(1)将1125表示成2k，02，kZ的形式为_；(2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合答案(1)8(2)见解析解析(1)1125，8，即11258.(2)因为终边落在OA处的角2k，kZ，终边落在OB处的角2k，kZ，所以终边落在阴影部分的角的集合为2k2k，kZ.题型四 扇形的弧长及面积公式的应用例4(1)已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为_cm2；(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？解析(1)设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l2r，从而扇形的周长为l2r4r8，解得r2，则l4.故扇形的面积Slr424(cm2)(2)设扇形的弧长为l，由题意得2R2Rl，所以l2(1)R，所以扇形的圆心角是2(1)，扇形的面积是lR(1)R2.答案(1)4(2)见解析金版点睛弧度制下涉及扇形问题的解题策略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是Slr|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，(02)是扇形的圆心角)(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解已知扇形AOB的圆心角为120，半径为6，求：(1) 的长；(2)扇形所含弓形的面积(即阴影面积)解(1)120，的长l64.(2)S扇形AOBlr4612.如图所示，过点O作ODAB，交AB于D点，于是有SOABABOD2339，弓形的面积为S扇形AOBSAOB129.12145转化为弧度数为()A. B. C. D.答案D解析21452145 rad rad.22 rad，则的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析1 rad57.30，2 rad114.60.故的终边在第三象限3在ABC中，若ABC357，则角A，B，C的弧度数分别为_答案，解析ABC357，则A占总度数的；B占总度数的；C占总度数的.又三角形的内角和为，则A为，B为，C为.4用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为_答案解析若角的终边落在第二象限，则2k2k，kZ.5