（新课标）高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第2讲 圆锥曲线的概念、方程与性质 理.doc

第2讲圆锥曲线的概念、方程与性质圆锥曲线的定义与标准方程1.(2015广东卷)已知椭圆x225+y2m2=1(m0)的左焦点为f1(-4,0),则m等于(b)(a)2(b)3(c)4(d)9解析:由4=25-m2(m0)m=3,故选b.2.若圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点a,b都在某双曲线上,且a,b两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为(a)(a)y29-x272=1(b)x29-y272=1(c)x216-y281=1(d)y281-x216=1解析:解方程组x2+y2-4x-9=0,x=0,得x=0,y=3或x=0,y=-3,因为圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点a,b都在某双曲线上,且a,b两点恰好将此双曲线的焦距三等分,所以a(0,-3),b(0,3),所以a=3,2c=18,所以b2=(182)2-32=72,所以双曲线方程为y29-x272=1.故选a.3.已知直线l过抛物线c的焦点,且与c的对称轴垂直,l与c交于a,b两点,|ab|=12,p为c的准线上一点,则abp的面积为(c)(a)18(b)24(c)36(d)48解析: 设抛物线方程y2=2px(p0),f为抛物线焦点,则直线l垂直于x轴,af=122=6,所以abp的边ab上的高h=6,所以sabp=12126=36.故选c.4.已知p为椭圆x225+y216=1上的一点,m,n分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|pm|+|pn|的最小值为.解析:由题意知椭圆的两个焦点f1,f2分别是两圆的圆心,且|pf1|+|pf2|=10,从而|pm|+|pn|的最小值为|pf1|+|pf2|-1-2=7.答案:75.(2015佛山模拟)设f1,f2是双曲线x2-y224=1的两个焦点,p是双曲线与椭圆x249+y224=1的一个公共点,则pf1f2的面积等于.解析:由题知,双曲线和椭圆焦点相同,假设点p是两曲线在第一象限的交点,则有|pf1|-|pf2|=2,|pf1|+|pf2|=14,解得|pf1|=8,|pf2|=6,又|f1f2|=10,故pf1f2是直角三角形,则其面积为24.答案:24圆锥曲线的几何性质6.(2014广东卷)若实数k满足0k5,则曲线x216-y25-k=1与曲线x216-k-y25=1的(a)(a)焦距相等 (b)离心率相等(c)虚半轴长相等(d)实半轴长相等解析:因为0k0,16-k0,这两个方程表示的是双曲线.焦距都是221-k.故选a.7.(2013北京卷)若双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为3,则其渐近线方程为(b)(a)y=2x(b)y=2x(c)y=12x (d)y=22x解析:考查双曲线的离心率e=ca,渐近线方程y=bax及a,b,c之间的关系a2+b2=c2.由ca=3,令a=m,c=3m(m0),则b=3m2-m2=2m,渐近线方程为y=2x.故选b.8.(2014新课标全国卷)已知f为双曲线c:x2-my2=3m(m0)的一个焦点,则点f到c的一条渐近线的距离为(a)(a)3(b)3(c)3m(d)3m解析:x23m-y23=1,因为m0,所以双曲线的焦点在x轴上,a2=3m,b2=3,所以一条渐近线为y=33mx,即y=1mx,c2=a2+b2=3m+3,则焦点f(3m+3,0)到直线y-1mx=0的距离为d=3m+3m1+1m=31+1m1+1m=3.故选a.9. (2015黑龙江模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),以o为圆心,短半轴长为半径作圆o,过椭圆的长轴的一端点p作圆o的两条切线,切点为a,b,若四边形paob为正方形,则椭圆的离心率为(b) (a)32(b)22(c)53(d)33解析:由题意知|oa|=|ap|=b,|op|=a,oaap,所以2b2=a2,b2a2=12,故e=1-b2a2=22,故选b.10.(2015福建卷)已知椭圆e:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为f,短轴的一个端点为m,直线l:3x-4y=0交椭圆e于a,b两点.若|af|+|bf|=4,点m到直线l的距离不小于45,则椭圆e的离心率的取值范围是(a)(a)0,32(b)0,34(c)32,1(d)34,1解析:设椭圆的左焦点为f1,半焦距为c,连接af1,bf1,则四边形af1bf为平行四边形,所以|af1|+|bf1|=|af|+|bf|=4.根据椭圆定义,有|af1|+|af|+|bf1|+|bf|=4a,所以8=4a,解得a=2.因为点m到直线l:3x-4y=0的距离不小于45,即4b545,b1,所以b21,所以a2-c21,4-c21,解得0c3,所以00)的焦点为f,其准线与双曲线x23-y23=1相交于a,b两点,若abf为等边三角形,则p=.解析: 如图,在等边三角形abf中,df=p,bd=33p,所以b点坐标为(33p,-p2).又点b在双曲线上,故13p23-p243=1.解得p=6.答案:6一、选择题1.(2014安徽卷)抛物线y=14x2的准线方程是(a)(a)y=-1(b)y=-2(c)x=-1(d)x=-2解析:抛物线的方程化为x2=4y,其准线方程为y=-1.故选a.2.(2015江西景德镇模拟)已知abc的顶点b,c在椭圆x225+y216=1上,顶点a是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在bc边上,则abc的周长是(b)(a)10(b)20(c)8(d)16解析:设椭圆的另一焦点为f,由椭圆的定义知|ba|+|bf|=|ca|+|cf|=2a,所以abc的周长为4a=45=20.3.(2015江西省重点中学协作体模拟)已知椭圆g的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为32,且椭圆g上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆g的方程为(a)(a)x236+y29=1(b)x29+y236=1(c)x24+y29=1(d)x29+y24=1解析:据题意知2a=12,得a=6,离心率e=ca=32,所以c=33,于是b2=9,故椭圆g的方程为x236+y29=1.4.(2015济宁模拟)若椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,则双曲线y2a2-x2b2=1的渐近线方程为(a)(a)y=2x(b)y=12x(c)y=4x(d)y=14x解析:设椭圆的焦距为2c,由题意知ca=32,所以c=32a,b=a2-34a2=12a,双曲线y2a2-x2b2=1的渐近线为y=abx=2x.5.(2015山西大学附中模拟)若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+y2m=1的离心率是(d)(a)32 (b)5(c)32或52(d)32或5解析:因为m是2,8的等比中项,所以m2=28=16,所以m=4,若m=4时,则椭圆x2+y2m=1的方程为x2+y24=1,所以其离心率e=32,若m=-4,则双曲线方程为x2-y24=1,离心率e=1+4=5.故选d.6.(2014天津卷)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(a)(a)x25-y220=1 (b)x220-y25=1(c)3x225-3y2100=1(d)3x2100-3y225=1解析:由题意可知,双曲线的其中一条渐近线y=bax与直线y=2x+10平行,所以ba=2且左焦点为(-5,0),所以a2+b2=c2=25,解得a2=5,b2=20,故双曲线方程为x25-y220=1.故选a.7.(2015赣州市模拟)f1是双曲线c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点,点p是双曲线右支上一点,若线段pf1与y轴的交点m恰为pf1的中点,且|om|=a(o为坐标原点),则双曲线c的离心率为(b)(a)2(b)3(c)2(d)3解析:因为m是线段pf1的中点,|om|=a,所以ompf2,pf2x轴且|pf2|=2a,又由|pf1|-|pf2|=2a知,|pf1|=4a,在直角三角形f1pf2中,sinpf1f2=|pf2|pf1|=12,所以pf1f2=30,故双曲线c的离心率e=2c2a=|f1f2|pf2|=1tan30=3.故选b.8.(2015江西上饶模拟)已知抛物线y2=8x,p为其上一点,点n(5,0),点m满足|mn|=1,mnmp=0,则|mp|的最小值为(c)(a)3(b)4(c)23(d)26解析:设点p(18y02,y0)由题意知m点的轨迹是以n(5,0)为圆心,1为半径的圆,pm为该圆的一条切线,所以|mp|=|pn|2-1=(18y02-5)2+y02-1=(y028-1)2+2323.故选c.9.已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为f1,f2,若椭圆c上恰好有6个不同的点p使得f1f2p为等腰三角形,则椭圆c的离心率的取值范围是(d)(a)(13,23)(b)(12,1)(c)(23,1)(d)(13,12)(12,1)解析:根据题意,结合椭圆的图形得a-c2c且a2c(a=2c时只有当p点与短轴两个端点重合时,f1f2p才为等腰三角形).所以13e0,b0)的右焦点f,直线x=a2c与其渐近线交于a,b两点,且abf为钝角三角形,则双曲线离心率的取值范围是(d)(a)(3,+)(b)(1,3)(c)(2,+)(d)(1,2)解析:由题意设直线x=a2c与x轴的交点为d,因为三角形abf为钝角三角形,且bfd=afd,所以afd4,又|df|=c-a2c=b2c,双曲线的渐近线方程为y=bax,所以可得a,b两点坐标分别为(a2c,abc),(a2c,-abc),所以tanafd=|ad|df|=abcb2c=ab1,即ba,则e=ca=a2+b2a0,b0)的左焦点f引圆x2+y2=a2的切线,切点为t,延长ft交双曲线右支于p点,若m为线段fp的中点,o为坐标原点,则|mo|-|mt|与b-a的关系为(c)(a)|mo|-|mt|b-a(b)|mo|-|mt|0)的一条渐近线方程为2x+3y=0,则双曲线的离心率是.解析:双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=bax,2x+3y=0可化为y=-23x,所以ba=23,e=ca=c2a2=a2+b2a2=1+(ba)2=1+49=133.答案:13313.(2015江西九江二模)已知直线2x-(m+13m)y-2=0(m0)与直线l:x=-1,抛物线c:y2=4x及x轴分别相交于a,b,f三点,若ab=2bf,则m=.解析:如图所示,点f及直线l分别是抛物线c的焦点和准线,过点b作bdl于d,则|bd|=|bf|,因为ab=2bf,所以abd=60,所以2m+13m=tan 60,解得m=33.答案:3314.已知点p(m,4)是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的一点,f1,f2是椭圆的两个焦点,若pf1f2的内切圆的半径为32,则此椭圆的离心率为.解析:一方面pf1f2的面积为12(2a+2c)r;另一方面pf1f2的面积为12|yp|2c,所以12(2a+2c)r=12|yp|2c,所以(a+c)r=|yp|c,所以a+cc=|yp|r,所以(ac+1)=|yp|r,又yp=4,所以ac=|yp|r-1=432-1=53,所以椭圆的离心率为e=ca=35.答案:3515.(2015大连市模拟)已知双曲线c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)左、右顶点为a1,a2,左、右焦点为f1,f2,p为双曲线c上异于顶点的一动点,直线pa1斜率为k1,直线p