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Homework 3 (September 18, 2005)对下列效用函数推导对商品1的需求函数，反需求函数，恩格尔曲线；在图上大致画出价格提供曲线，收入提供曲线；说明商品一是否正常品、劣质品、一般商品、吉芬商品，商品二与商品一是替代还是互补关系。1234. ,解答1.的需求函数为： （注意：红色的是自变量，以下相同）反需求函数是:恩格尔曲线:，if , if （更正：此时的恩格尔曲线是纵轴与直线之间的三角区域，而不是习题课所讲的带状区域。谢谢课后两位同学的指正。）图 1, if 的价格提供曲线为图1中的红线。的收入提供曲线为：当时，是横轴，如图2。当时，是整个第一象限，如图3。当时，是纵轴，如图4。图 3图 2图 4是正常品，是一般商品。是的替代品(其实是完全替代品)2.的需求函数为：反需求函数是：图 5的恩格尔曲线是：图5中的红线()是的价格提供曲线。图 6（更正：习题课中讲的是只包括从原点出发的一段，那时讲得不对，应该还加上水平的一段。）图6中蓝线是的收入提供曲线（）是正常品，是一般商品。是的互补品。3.先用标准的lagrange条件极值方法求出最优的消费组合。写出lagrange函数：一阶条件为： 得到最优的消费组合为：，。的需求函数为：图 7 其反需求函数： ,恩格尔曲线: 图 8图7中的红线为的价格提供曲线。图8中的蓝线是收入提供曲线。(注意：这里的价格提供曲线和收入提供曲线都是直线。可以用数学证明。)是正常品，也是一般商品。与既不是替代关系，也不是互补关系。.4.求解最优消费组合的方法与第3题完全相同。写出lagrange函数：一阶条件： 从前面两式我们可以推导出：，但条件是（否则）。因此，这里需要分情况讨论。1） 如果，这是内点解。2） 如果，则全部收入都将用来购买，这是角点解。图 9所以，的需求函数是：反需求函数：图 10恩格尔曲线是：当时，的价格提供曲线为水平直线，如图9。当时，的价格提供曲线则为横轴，如图10。图 11（注意：如果，图10中横轴上的点都是无差异曲线和预算线的交点；如果，则
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