线性代数计算题.pdf

三 计算题 三 计算题 1 本题 8 分 计算行列式 2 222 2222 222 2 2222 321 321 321 321 dddd cccc bbbb aaaa I 2 本题 8 分 计算行列式 n n a a a a 0001 0000 0000 1000 1 2 1 其中niai 2 1 0 3 本题 8 分 计算行列式 xa xa xa a n n 000 100 001 0001 1 2 1 0 其中1 2 1 0 0 niai 4 本题 8 分 计算行列式 Dn a a 1 1 其中对角线上元素都是a 未写出的元素都是 0 5 本题 8 分 计算行列式 xaa axa aax Dn 6 本题 8 分 计算行列式D aaan aaan aaan n nnn nnn 1 111 1 1 1 111 7 本题 8 分 计算行列式D ab ab cd cd n nn nn 2 11 11 8 本题 8 分 计算行列式Dn det aij 其中aij i j 9 本题 8 分 计算行列式D a a a n n 111 111 111 1 2 其中a1 a2 an 0 10 本题 8 分 求n阶行列式Dn 111 111 111 111 展开后的正项总数 11 本题 10 分 计算分块矩阵B的行列式 其中 OA AO B 2 0321 021 301 321 n n n A 12 本题 12 分 已知BA 为n阶方阵 n为奇数 若 OB AO C x x x B x x x A 1 00 00 00 111 111 111 求矩阵CBA 的行列式 13 本题 10 分 已知矩阵 13 01 12 211 200 113 BA若矩阵X满足 XBAX2 求矩阵X 14 本题 12 分 设方阵A满足A2 A 2E 0 证明A及A 2E都可逆 并求A 1及 A 2E 1 15 本题 8 分 设A 033 110 123 AB A 2B 求B 16 本题 10 分 解矩阵方程BAXX 2 其中 001 121 011 A 30 03 21 B 17 本题 8 分 设AX E A2 X 且A 101 020 101 求X 18 本题 8 分 设P 1AP 其中P 14 11 20 01 求 11 A 19 本题 10 分 设A是四阶实对称矩阵 且 0 0 1 1 0 0 1 1 A 0 0 1 1 0 0 1 1 A 0 1 0 0 0 1 0 0 A 1 0 0 0 1 0 0 0 A 求 n A 20 本题 10 分 设A 112 213 41 k 当k取何值时 R A 3 当k取何值时 R A 3 21 本题 12 分 设XAEAX 2 且 101 020 101 A 求矩阵X及 1 X 其中 1 X为 1 X的伴随矩阵 E为单位矩阵 22 本题 10 分 设 100 010 001 A 三阶方阵B满足EBABAA92 其中 A为A的伴随矩阵 E为单位矩阵 求矩阵B 23 本题 12 分 设向量组 T TT 531110101 321 不能由向量组 111 1 T 3 2 1 2 T Tk 4 3 3 线性表示 1 求向量组 321 的一个极大无关组 2 求k的值 3 将向量 1 用 321 线性表示 24 本题 12 分 设有向量组 0 2 3 1 1 3 14 0 7 2 1 0 1 2 3 2 6 1 5 4 1 求该向量组的秩 2 求该向量组的一个极大无关组 并把其余向量分别用求得的极大无关组线性表出 25 本题 8 分 利用矩阵求解方程组 32210 231 423 123 123 123 xxx xxx xxx 26 本题 8 分 解方程组 aaaax aaaxa aaxaa axaaa 1234 1234 1234 1234 0 27 本题 8 分 求三次多项式f x a0 a1x a2x2 a3x3 使得f 1 0 f 1 4 f 2 3 f 3 16 28 本题 10 分 已知 4 元非齐次线性方程组的 3 个解向量为 321 其中 T 1 5 0 2 1 T 6 8 9 1 31 且其导出组的基础解系仅含一个解向量 求该非齐次线性方程组的通解 29 本题 12 分 设 3 阶方阵OB 且B的每一个列向量都是以下方程组的解 03 02 022 321 321 321 xxx xxx xxx 1 求 的值 2 求证0 B 30 本题 12 分 已知齐次线性方程组 I 0 0 432 321 xxx xxx 齐次线性主程组 II 的一个基础解系为 T 4 2 1 1 1 T 1 1 0 1 2 求 I II 的公共非零解 并指明该公共非零解如何由 I II 的基础解系线性表示 31 本题 14 分 设齐次线性方程组 为 0 0 42 21 xx xx 已知齐次线性方程组 的通解为 T T kk1 2 2 10 1 1 0 21 1 求方程组 的基础解系 2 问方程组 和 是否有非零公共解 若有 则求出所有非零公共解 若没有 则说明理由 32 本题 12 分 实数 取何值时 线性方程组 2 2 1 321 321 321 xxx xxx xxx 无解 有惟一解 或有无穷多个解 当方程组有无穷多个解时 求其通解 33 本题 15 分 讨论ba 取何值时 线性方程组 106 132 2 321 321 321 bxxx xxx axxx 无解 有惟一解或有无穷多个解 并在有无穷多个解时 写出通解 34 本题 10 分 设 3 阶方阵A有特征值211 且 23 5AAB E为 3 阶单位矩阵 试计算 1 B 2 EA5 35 本题 12 分 已知 3 阶实对称矩阵A的特征值30 321 且对应于0 21 的线性无关的特征向量依是 TT 2 1 1 0 1 1 21 1 求对应于3 3 的特征向量 2 求出矩阵A 36 本题 10 分 设矩阵A 123 11 11 x x 且知A有一特征值为 1 求x的值及A的其它特征值 并判断A是否能与对角阵相似 37 本题 16 分 设 32 23 A 求 109 5AAA 38 本题 10 分 已知A 7126 101910 122413 求 100 A 39 本题 12 分 设 212 122 221 A 求 1098 65AAAA 40 本题 16 分 设矩阵 11 1 11 A 与矩阵 000 010 002 B 相似 1 求 2 求正交矩阵 P 使 1 P APB 41 本题 16 分 设 6 3 3 是三阶实对称矩阵A的特征值 12 1 0 1 1 2 1 TT 是A属于 3 的特征向量 求A属于 6 的特征向量与矩阵 A 42 本题 16 分 已知 1 11 T 是矩阵 212 53 12 Aa b 的一个特征向量 1 确定参数 a b及 所对应的特征值 2 A能否相似于对角阵 说明理由 43 本题 16 分 设 3 阶矩阵A的特征值 123 1 2 3 对应的特征向量依次为 123 1 1 1 1 2 4 1 3 9 TTT 1 将向量 1 1 3 T 用 123 线性表示 2 求 n A n为自然数 44 本题 16 分 设 3 阶方阵A的特征值为 123 1 0 1 对应特征向量分别为 123 1 0 0 0 1 1 0 1 2 TTT 1 求方阵A 2 求 10 A 45 本题 10 分 设 3 阶方阵A的特征值 123 1 0 1 对应的特征向量依次为 123 122 2 2 1 212 PPP 求A 46 本题 10 分 设 3 阶对称矩阵A的特征值 6 3 3 与特征值 6 对应的特征向量为 1 1 1 1 T P 求A 47 本题 14 分 设矩阵 1100 100 0001 0010 x A 1 已知A的一个特征值为 2求x 2 求方阵P 使 APAP T 为对角阵 48 本题 12 分 已知二次型 323121 2 3 2 2 2 1321 662355 xxxxxxxxxxxxf 1 写出二次型对应的矩阵A 2 求一个正交变换Qy x 二次型 321 xxxf化为标准形 49 本题 15 分 设三阶实对称矩阵A的特征值为 211 矩阵A对应的特征向量依次为 TTT 1 0 1 1 0 1 0 1 0 321 1 求矩阵A 2 求 2009 A 3 判断A所对应的二次型是否为正定二次型 50 本题 10 分 设A为三阶实对称矩阵 二次型AXXf T 经正交变换PY X得标准形 2 3 2 2 2 1 4yyyf 其中 321 P 且 T 1 1 1 3 1 3 试求所作的正交变换 51 本题 10 分 设121 是三阶矩阵A的特征值 对应的特征向量分别为 1 0 1 2 1 0 1 1 1 321 已知 3 2AAB 求矩阵B 52 本题 12 分 设向量 111 1 求 3 阶方阵 T A 的特征值与特征向量 2 求一正交矩阵Q 使AQQT为对角矩阵 53 本题 12 分 用配方法化二次型 323121321 342 xxxxxxxxxf 为标准形 1 写出所用的可逆的线性变换 2 求二次型 321 xxxf的秩 正惯性指数与符号差 54 本题 12 分 设有向量组 0 0 1 1 1 0 1 1 1 2 0 1 2 2 3 2 1 0 4 4 1 1 1 3 5 令 i i i kT 5 1 54321 其中 521 kkk 为任意实数 求T的维数与一组标准正交基 55 本题 12 分 设 n n n y x n 与 1 n 满足关系 nn nnn yy yxx 3 2 1 1 记 nn A 1 1 求A的特征值与特征向量 2 用 0 0 0 y x 表示 n 3 已知 1 1 0 求 n 56 本题 12 分 设矩阵 222 221 121 2 1 c b a A 1 问cba 为何值时A是正交矩阵 2 当A是正交矩阵时 求方程组 1 1 1 AX的解 57 本题 12 分 设线性空间 3 R上的线性变换T为 1 3 2 1 T 2 0 3 2 T 1 7 2 3 T 其中 1 2 1 1 1 1 1 0 1 321 求 1 线性变换T在基 1 0 0 0 1 0 0 0 1 321 eee 下的矩阵C 2 2 e在线性变换T下的象 58 本题 12 分 在线性空间 3 R中给定两组基 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 0 1 2 1 0 1 321321 并定义线性变换T为 3 2 1 iT ii 1 求由基 321 到基 321 的过渡矩阵A 2 求线性变换T在基 321 下的矩阵B 3 求线性变换T在基 321 下的矩阵C 59 本题 12 分 设 6 5