中考数学总复习 第一部分 考点知识梳理 2.3 特殊三角形课件.ppt

2 3特殊三角形 命题解读 考纲解读 了解等腰三角形和直角三角形的有关概念 掌握等腰三角形和直角三角形的性质和判定 理解等边三角形的性质和判定 掌握勾股定理及其逆定理 掌握角平分线性质定理及其逆定理 并会利用它解决问题 掌握线段的垂直平分线性质定理及其逆定理 并会利用它解决问题 掌握三角形中位线的性质 并能利用它解决几何问题 命题解读 考纲解读 备课资料 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 考点1等腰三角形的性质与判定1 等腰三角形的性质 1 等腰三角形的两个底角相等 简称 等边对等角 2 等腰三角形的顶角的平分线 底边上的高 底边上的中线重合 简称 等腰三角形三线合一 3 等腰三角形是轴对称图形 底边上的中线所在的直线就是它的对称轴 2 等腰三角形的判定 1 按定义 有两条边相等的三角形就是等腰三角形 2 有两个角相等的三角形是等腰三角形 简称 等角对等边 等腰三角形 三线合一 是证明两直线互相垂直的重要方法 也是处理等腰三角形问题中的常用辅助线作法 备课资料 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 3 等边三角形 1 等边三角形的性质 等边三角形的三条边都相等 等边三角形的三个角都是60 2 等边三角形的判定 按定义 三边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有两个角是60 的三角形是等边三角形 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形 等边三角形的四种判定方法都可以应用 要根据不同的条件进行选择 以使问题简单化 备课资料 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 典例1 2016 广西贺州 一个等腰三角形的两边长分别为4 8 则它的周长为 a 12b 16c 20d 16或20 解析 由于题中没有指明哪边是底哪边是腰 则应该分两种情况进行分析 当4为腰时 4 4 8 故此种情况不存在 当8为腰时 8 4 8 8 4 符合题意 故此三角形的周长为8 8 4 20 答案 c 备课资料 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 变式训练 2016 贵州安顺 已知实数x y满足 x 4 0 则以x y的值为两边长的等腰三角形的周长是 b a 20或16b 20c 16d 以上答案均不对 解析 根据非负数的意义列出关于x y的方程并求出x y的值 再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解 根据题意得 1 若4是腰长 则三角形的三边长为4 4 8 不能组成三角形 2 若4是底边长 则三角形的三边长为4 8 8 能组成三角形 周长为4 8 8 20 备课资料 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 考点2直角三角形的性质与判定1 直角三角形的性质 1 直角三角形的两个锐角互余 2 直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半 3 直角三角形中 30 的角所对的直角边等于斜边的一半 等于斜边的一半的直角边所对的角是30 4 勾股定理 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 已知直角三角形中的两边求第三边 没有明确谁是斜边 时 一般要分类讨论 所求边是斜边 已知两边中的较长边是斜边 备课资料 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 2 直角三角形的判定 1 有两个角的和等于90 的三角形是直角三角形 2 勾股定理的逆定理 如果一个三角形的一边的平方等于另两条边的平方和 那么这个三角形是直角三角形 这条边所对的角是直角 补充 一条边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 这条边所对的角是直角 3 直角三角形面积的求法 备课资料 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 典例2 2016 福建泉州 如图 在rt abc中 e是斜边ab的中点 若ab 10 则ce 解析 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 可得答案 由直角三角形的性质 得ce ab 5 答案 5 备课资料 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 变式训练 2016 湖北鄂州 如图 ab 6 o是ab的中点 直线l经过点o 1 120 p是直线l上一点 当 apb为直角三角形时 解析 当 apb 90 时 分两种情况讨论 情况一 如图1 ao bo po bo 1 120 aop 60 aop为等边三角形 oap 60 pba 30 ap 备课资料 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 备课资料 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 备课资料 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 考点3角的平分线的性质与判定1 定义从角的顶点引出的一条射线 把这个角分成两相等的角 这条射线叫做这个角的平分线 2 性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等 3 判定到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 备课资料 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 典例3 2016 湖南怀化 如图 op为 aob的角平分线 pc oa pd ob 垂足分别是c d 则下列结论错误的是 a pc pdb cpo dopc cpo dpod oc od 解析 op为 aob的角平分线 pc oa pd ob 垂足分别是c d pc pd 故a正确 在rt ocp与rt odp中 ocp odp hl cpo dpo oc od 故c d正确 不能得出 cpo dop 故b错误 答案 b 备课资料 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 变式训练 2016 江苏淮安 如图 在rt abc中 c 90 以顶点a为圆心 适当长为半径画弧 分别交ac ab于点m n 再分别以点m n为圆心 大于mn的长为半径画弧 两弧交于点p 作射线ap交边bc于点d 若cd 4 ab 15 则 abd的面积是 b a 15b 30c 45d 60 备课资料 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 备课资料 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 考点4线段的垂直平分线1 定义过线段的中点且与这条线段垂直的直线 叫做线段的垂直平分线 2 性质线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 3 判定到一条线段的两端的距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 解题时常要把垂直平分线上的点与线段两端点连接 利用垂直平分线的性质解题 备课资料 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 典例4 2016 山东德州 如图 在 abc中 b 55 c 30 分别以点a和点c为圆心 大于ac的长为半径画弧 两弧相交于点m n 作直线mn 交bc于点d 连接ad 则 bad的度数为 a 65 b 60 c 55 d 45 解析 由题意可得mn是ac的垂直平分线 则ad dc 故 c dac c 30 dac 30 b 55 bac 95 bad bac dac 65 答案 a 备课资料 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 变式训练 2016 广州 如图 已知 abc中 ab 10 ac 8 bc 6 de是ac的垂直平分线 de交ab于点d 连接cd 则cd d a 3b 4c 4 8d 5 解析 ab 10 ac 8 bc 6 bc2 ac2 ab2 abc是直角三角形 de是ac的垂直平分线 ae ec 4 de bc ad bd cd是rt abc斜边上的中线 cd ab 5 备课资料 考点扫描 1 直角三角形与等腰三角形的综合典例1如图 在rt abc中 abc 90 点d是ac的中点 作 adb的角平分线de交ab于点e 1 求证 de bc 2 若ae 3 ad 5 点p为bc上的一动点 当bp为何值时 dep为等腰三角形 请直接写出所有bp的值 备课资料 考点扫描 解析 1 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得bd ad ac 再根据等腰三角形三线合一的性质可得de ab 再根据垂直于同一直线的两直线平行即可证明 2 利用勾股定理列式求出de的长 根据等腰三角形三线合一的性质求出be ae 然后分de ep dp ep de dp三种情况讨论求解 答案 1 abc 90 点d是ac的中点 bd ad ac de是 adb的角平分线 de ab 又 abc 90 de bc 备课资料 考点扫描 备课资料 考点扫描 备课资料 考点扫描 2 等腰三角形与角平分线的综合典例2如图 b c的平分线相交于点f 过点f作de bc 交ab于点d 交ac于点e 那么下列结论正确的是 bdf cef都是等腰三角形 de bd ce ade的周长为ab ac bd ce a b c d 解析 de bc dfb fbc efc fcb bf是 abc的平分线 cf是 acb的平分线 fbc dbf fce fcb dbf dfb efc ecf dfb fec都是等腰三角形 df db fe ec 即有de df fe db ec ade的周长为ad ae de ad ae db ec ab ac 答案 c 备课资料 考点扫描 3 等边三角形与全等三角形的综合典例3在等边三角形abc中 点e在ab上 点d在cb的延长线上 且ae bd 1 当点e为ab的中点时 如图1 求证 ec ed 2 当点e不是ab的中点时 如图2 过点e作ef bc 求证 aef是等边三角形 3 在第 2 小题的条件下 ec与ed还相等吗 请说明理由 备课资料 考点扫描 解析 1 根据等边三角形三线合一的性质可得 ecb 30 abc 60 根据ae eb bd 可得 edb deb abc 30 根据等角对等边即可证得结论 2 根据平行线的性质证得 aef abc 60 afe acb 60 即可证得结论 3 先求得be fc 然后证得 dbe efc即可 答案 1 在等边 abc中 ab bc ac abc acb a 60 edb ecb ec ed 2 ef bc aef abc 60 afe acb 60 aef为等边三角形 备课资料 考点扫描 3 ec ed 理由如下 afe abc 60 efc dbe 120 ab ac ae af ab ae ac af 即be fc dbe efc sas ed ec 命题点 命题点特殊三角形的性质及判定 高频 1 2016 安徽第10题 如图 rt abc中 ab bc ab 6 bc 4 p是 abc内部的一个动点 且满足 pab pbc 则线段cp长的最小值为 b 解析 本题考查点与圆的位置关系 圆周角定理 最短问题等知识 abc 90 abp pbc 90 pab pbc bap abp 90 apb 90 点p在以ab为直径的 o上 连接oc交 o于点p 此时cp最小 在rt bco中 obc 90 bc 4 ob 3 oc 5 cp oc op 5 3 2 cp最小值为2 命题点 2 2014 安徽第8题 如图 rt abc中 ab 9 bc 6 b 90 将 abc折叠 使a点与bc的中点d重合 折痕为mn 则线段bn的长为 c 解析 本题考查实践操作中的三角形折叠问题 对称性的性质以及勾股定理 设bn x 则an dn 9 x 点d是cb的中点 则bd 3 在rt nbd中 dn2 bd2 bn2 9 x 2 x2 9 解得x 4 即bn 4 命题点 3 2012 安徽第22题 如图1 在 abc中 d e f分别为三边的中点 g点在边ab上 bdg与四