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第3讲算术平均数与几何平均数 2 几个常用的重要不等式 1 a r a2 0 a 0当且仅当a 0时取 2 a b r 则a2 b2 2ab 3 最值定理 即积定和最小 和定积最大 1 已知a b 0 则下列不等式中成立的是 b b a 有最大值c 是增函数 b 有最小值d 是减函数 2 4 已知x 0 y 0 且x 4y 1 则xy的最大值为 考点1利用基本不等式求最值 或取值范围 答案 16 3 2013年福建 若2x 2y 1 则x y的取值范围是 a 0 2 c 2 b 2 0 d 2 答案 d 规律方法 1 第 1 小题与第 2 小题需要将 1 灵活代入 所求的代数式中 这种方法叫逆代法 2 第 3 小题的关键在于如何从2x 2y 1中提炼出我们所 需要的x y 只有2x 2y 2x y才能得到x y 3 利用均值不等式及变式求函数的最值时 要注意到合理拆分项或配凑因式 而拆与凑的过程中 一要考虑定理使用的条件 两数都为正 二要考虑必须使和或积为定值 三要考虑等号成立的条件 当且仅当a b时取 号 即 一正 二定 三相等 互动探究 b的最小值等于 c a 2 b 3 c 4 d 5 考点2利用基本不等式求最值 逆用 例2 1 已知a 0 b 0 且4a b 1 则ab的最大值 为 考点3利用基本不等式求参数的取值范围 恒成立 则a的最小值为 a 4 b 2 c 16 d 1 答案 a 互动探究 时取得最小值 则a 36 难点突破 在基本不等式中利用整体思想求最值例题 1 若实数x y满足x2 y2 xy 1 则x y的最大值是 2 已知x 0 y 0 x 2y 2xy 8 则x 2y的最小值是 答案 b 整理 得 x 2y 2 4 x 2y 32 0 x 2y 4 x 2y 8 0 又x 2y 0 x 2y 4 规律方法 本题主要考查了均值不等式在求最值时的运用 整体思想是分析这类题目的突破口 即x y与x 2y分别是统一的整体 如何构造出只含x y 构造xy亦可 与x 2y 构造x 2y亦可 形式的不等式是解本题的关键 数的最值时 要注意到合理拆分项或配凑因式 而拆与凑的过程中 一要考虑定理使用的条件 两数都为正 二要考虑必须使和或积为定值 三要考虑等号成立的条件 当且仅当a b时取 号 即 一正 二定 三相等 在利用基本不等式求最值 值域 时 过多地关注形式上的满足 极容易忽视符号和等号成立条件的满足 这是造成解题失误的关键所在 2 当用均值不等式求函数最值失效时 要转化为研究函数的单调性 利用单调性求最值 3 多次重复使用均
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