高考数学一轮复习 必考部分 第二篇 函数、导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性课件 文 北师大版.ppt

第3节函数的奇偶性与周期性 1 结合具体函数 了解函数奇偶性的含义 知识链条完善把散落的知识连起来 教材导读 1 奇函数f x 的图像一定过点 0 0 吗 提示 不一定 只有当f x 在x 0处有定义时 f x 的图象才过 0 0 点 2 若函数f x 1 是奇函数 函数y f x 关于点 1 0 对称吗 提示 对称 因为y f x 1 关于原点 0 0 对称 而y f x 1 向右平移1个单位得到y f x 的图象 所以y f x 关于点 1 0 对称 3 函数f x 在定义域上满足f x a f x a 0 那么f x 的周期是多少 提示 因为f x 2a f x a a f x a f x 所以f x 是以2a为周期的周期函数 知识梳理 1 奇函数 偶函数的定义及图像特征 f x f x f x f x 原点 y轴 原点 任意 2 函数的周期性 1 周期函数 t为函数f x 的一个周期 则需满足的条件 t 0 f x t f x 对定义域内的任意x都成立 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个 那么这个就叫做它的最小正周期 3 周期不唯一 若t是函数y f x x r 的一个周期 则nt n z 且n 0 也是f x 的周期 即f x nt f x 重要结论 1 函数奇偶性常用结论 1 如果一个奇函数f x 在原点处有定义 即f 0 有意义 那么一定有f 0 0 2 如果函数f x 是偶函数 那么f x f x 3 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 4 在公共定义内有 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 最小的正数 最小的正数 3 对称性的三个常用结论 1 若函数y f x a 是偶函数 即f a x f a x 则函数y f x 的图像关于直线x a对称 2 若对于r上的任意x都有f 2a x f x 或f x f 2a x 则y f x 的图像关于直线x a对称 3 若函数y f x b 是奇函数 即f x b f x b 0 则函数y f x 关于点 b 0 中心对称 夯基自测 b 1 2015高考北京卷 下列函数中为偶函数的是 a y x2sinx b y x2cosx c y lnx d y 2 x 解析 y x2sinx为奇函数 y x2cosx为偶函数 y lnx 与y 2 x均为非奇非偶函数 b b 3 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 则f 8 的值为 a 1 b 0 c 1 d 2 解析 因为f x 4 f x 所以f x 是以4为周期的周期函数 所以f 8 f 0 又函数f x 是定义在r上的奇函数 所以f 8 f 0 0 答案 1 考点专项突破在讲练中理解知识 函数奇偶性的判断 考点一 反思归纳判断函数的奇偶性 1 定义法 定义域关于原点对称 f x f x f x f x 分别为奇 偶函数 2 分段函数奇偶性的判断 要从每一段寻找等式f x f x 或f x f x 只有每个区间上都满足相同关系时 分段函数才具有奇偶性 3 函数图像关于原点 y轴对称分别为奇函数 偶函数 2 2015高考湖南卷 设函数f x ln 1 x ln 1 x 则f x 是 a 奇函数 且在 0 1 上是增函数 b 奇函数 且在 0 1 上是减函数 c 偶函数 且在 0 1 上是增函数 d 偶函数 且在 0 1 上是减函数 函数周期性及其应用 考点二 答案 c 2 2015菏泽模拟 定义在实数集r上的函数f x 满足f x f x 2 0 且f 4 x f x 现有以下三种叙述 8是函数f x 的一个周期 f x 的图像关于直线x 2对称 f x 是偶函数 其中正确的序号是 解析 2 由f x f x 2 0 得f x 2 f x 则f x 4 f x 2 f x 即4是f x 的一个周期 8也是f x 的一个周期 由f 4 x f x 得f x 的图像关于直线x 2对称 由f 4 x f x 与f x 4 f x 得f 4 x f x 即f x f x 即函数f x 为偶函数 答案 2 反思归纳函数周期性的判定与应用 1 判定 判断函数的周期性只需证明f x t f x t 0 便可证明函数是周期函数 且周期为t 2 应用 根据函数的周期性 可以由函数局部的性质得到函数的整体性质 在解决具体问题时 要注意结论 若t是函数的周期 则kt k z且k 0 也是函数的周期 即时训练 定义在r上的偶函数f x 满足f x 2 f x 1对于x r恒成立 且f x 0 则f 119 答案 1 函数奇偶性的应用 考点三 例3 1 设f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x2 x 则f 1 等于 a 3 b 1 c 1 d 3 解析 1 因为f x 是奇函数 当x 0时 f x 2x2 x 所以f 1 f 1 2 1 2 1 3 故选a 反思归纳函数奇偶性应用的常见题型及求解策略 即时训练 1 2015邢台质检 已知函数f x ax5 x3 bx 5 若f 100 8 那么f 100 解析 1 设g x ax5 x3 bx h x 5 易得g x 为奇函数 h x 为偶函数 所以f x g x h x f 100 g 100 h 100 8 所以g 100 13 f 100 g 100 h 100 g 100 h 100 13 5 18 答案 1 18 2 2015东莞模拟 已知f x 是定义在r上的奇函数 且当x 0时 f x x2 2x 1 则f x 在r上的解析式为 函数性质的综合应用 高频考点 考点四 例4 已知定义在r上的奇函数满足f x x2 2x x 0 若f 3 a2 f 2a 则实数a的取值范围是 解析 当x 0时 f x x2 2x x 1 2 1 所以函数f x 在 0 上为增函数 又函数f x 是定义在r上的奇函数 所以函数f x 在r上是增函数 由f 3 a2 f 2a 得3 a2 2a 解得 3 a 1 考查角度1 函数的单调性与奇偶性相结合问题 高考扫描 2011高考新课标卷 答案 3 1 反思归纳函数单调性与奇偶性结合 注意函数单调性及奇偶性的定义 以及奇 偶函数图象的对称性 考查角度2 函数的奇偶性与周期性相结合问题 例5 若f x 是r上周期为5的奇函数 且满足f 1 1 f 2 2 则f 3 f 4 等于 a 1 b 1 c 2 d 2 解析 由f x 是r上周期为5的奇函数知f 3 f 2 f 2 2 f 4 f 1 f 1 1 所以f 3 f 4 1 故选a 反思归纳周期性与奇偶性结合 此类问题多考查求值问题 常利用奇偶性及周期性进行交替转化 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 考查角度3 函数的奇偶性与对称性相结合问题 高考扫描 2014高考新课标卷 例6 2014高考新课标全国卷 偶函数y f x 的图象关于直线x 2对称 f 3 3 则f 1 解析 因为f x 的图像关于直线x 2对称 所以f 2 1 f 2 1 即f 1 f 3 3 又函数y f x 是偶函数 所以f 1 f 1 3 答案 3 反思归纳 1 若函数f x 关于直线x a和直线x b a b 对称 则函数f x 必为周期函数 2 a b 是它的一个周期 2 若函数f x 关于点 a 0 和点 b 0 a b 对称 则函数f x 必为周期函数 2 a b 是它的一个周期 考查角度4 函数的奇偶性 周期性 单调性相结合问题 例7 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 则 a f 25 f 11 f 80 b f 80 f 11 f 25 c f 11 f 80 f 25 d f 25 f 80 f 11 解析 因为f x 满足f x 4 f x 所以f x 8 f x 所以函数f x 是以8为周期的周期函数 则f 25 f 1 f 80 f 0 f 11 f 3 由f x 是定义在r上的奇函数 且满足f x 4 f x 得f 11 f 3 f 1 f 1 因为f x 在区间 0 2 上是增函数 f x 在r上是奇函数 所以f x 在区间 2 2 上是增函数 所以f 1 f 0 f 1 即f 25 f 80 f 11 故选d 反思归纳周期性 奇偶性与单调性结合 解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间 然后利用奇偶性和单调性求解 备选例题 例1 设f x 是定义在r上的奇函数 且对任意实数x 恒有f x 2 f x 当x 0 2 时 f x 2x x2 1 求证 f x 是周期函数 1 证明 因为f x 2 f x 所以f x 4 f x 2 f x 所以f x 是周期为4的周期函数 2 当x 2 4 时 求f x 的解析式 2 解 当x 2 0 时 x 0 2 由已知得f x 2 x x 2 2x x2 又f x 是奇函数 所以f x f x 2x x2 所以f x x2 2x 又当x 2 4 时 x 4 2 0 所以f x 4 x 4 2 2 x 4 又f x 是周期为4的周期函数 所以f x f x 4 x 4 2 2 x 4 x2 6x 8 从而求得x 2 4 时 f x x2 6x 8 3 计算f 0 f 1 f 2 f 2014 3 解 f 0 0 f 2 0 f 1 1 f 3 1 又f x 是周期为4的周期函数 所以f 0 f 1 f