高考数学大一轮总复习 第七章 立体几何 7.2 空间图形的基本关系与公理课件 文 北师大版.ppt

第七章立体几何 第二节空间图形的基本关系与公理 最新考纲1 理解空间直线 平面位置关系的定义 并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 j基础知识自主学习 1 空间图形的基本关系 1 空间点与直线的位置关系有两种 和 2 空间点与平面的位置关系有两种 和 3 空间两条直线的位置关系有三种 相交直线和 4 空间直线与平面的位置关系有三种 直线和平面相交 5 空间平面与平面的位置关系有两种 点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外 平行直线 异面直线 直线在平面内 直线与平面平行 平行平面 相交平面 2 空间图形的公理 1 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上 都在这个平面内 即直线在平面内 2 公理2 经过的三点 有且只有一个平面 3 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们 过该点的公共直线 4 公理4 平行于的两条直线平行 5 确定平面的三个推论 经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个平面 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 所有的点 不在同一条直线上 有且只有一条 同一条直线 3 定理空间中 如果两个角的两条边分别对应平行 那么这两个角 4 异面直线所成的角 1 定义 如图所示 过空间任意一点p分别引两条异面直线a b的平行线l1 l2 a l1 b l2 这两条相交直线所成的 或直角 就是异面直线a b所成的角 如果两条异面直线所成的角是 我们称这两条直线互相垂直 记作 a b 相等或互补 锐角 直角 判一判 1 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于过a点的任意一条直线 解析错误 由公理3可知错误 2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 解析正确 由公理2可知正确 3 两个不重合的平面只能把空间分成四部分 解析错误 当两个平面平行时 把空间分成三部分 4 没有公共点的两条直线是异面直线 解析错误 没有公共点的两条直线可能平行或异面 5 已知a b c d是四条直线 若a b b c c d 则a d 解析正确 由公理4可知正确 练一练 1 若点m在直线b上 b在平面 内 则m b 之间关系可表示为 解析用集合语言表示 只有选项b正确 答案b 2 在下列命题中 不是公理的是 a 平行于同一个平面的两个平面相互平行b 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面c 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在此平面内d 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析b c d选项均为公理 故选项a正确 答案a 3 下列命题 经过三点确定一个平面 梯形可以确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 其中正确命题的个数是 a 0b 1c 2d 3 解析对于 未强调三点不共线 故 错误 正确 对于 三条直线两两相交 如空间直角坐标系 能确定三个平面 故 正确 对于 未强调三点不共线 则两平面也可能相交 故 错误 故选项c正确 答案c 4 已知a b是异面直线 直线c 直线a 那么c与b a 一定是异面直线b 一定是相交直线c 不可能是平行直线d 不可能是相交直线 解析假设c b 由公理4可知 a b 与a b是异面直线矛盾 答案c 5 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab ad的中点 则异面直线b1c与ef所成的角的大小为 解析连接b1d1 d1c 则b1d1 ef 故 d1b1c为所求 又b1d1 b1c d1c d1b1c 60 60 r热点命题深度剖析 例1 如图所示 正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab和aa1的中点 求证 1 e c d1 f四点共面 证明 连接ef cd1 a1b e f分别是ab aa1的中点 ef a1b 又a1b cd1 ef cd1 e c d1 f四点共面 2 ce d1f da三线共点 规律方法 共面 共线 共点问题的证明 1 证明点或线共面问题的两种方法 首先由所给条件中的部分线 或点 确定一个平面 然后再证其余的线 或点 在这个平面内 将所有条件分为两部分 然后分别确定平面 再证两平面重合 2 证明点共线问题的两种方法 先由两点确定一条直线 再证其他各点都在这条直线上 直接证明这些点都在同一条特定直线上 3 证明线共点问题的常用方法是 先证其中两条直线交于一点 再证其他直线经过该点 变式训练1如图 空间四边形abcd中 e f分别是ab ad的中点 g h分别在bc cd上 且bg gc dh hc 1 2 1 求证 e f g h四点共面 2 设eg与fh交于点p 求证 p a c三点共线 证明 eg fh p p eg eg平面abc p 平面abc 同理p 平面adc p为平面abc与平面adc的公共点 又平面abc 平面adc ac p ac p a c三点共线 例2 1 2016 金华模拟 在图中 g n m h分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则表示直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 解析 1 图 中 直线gh mn 图 中 g h n三点共面 但m 平面ghn 因此直线gh与mn异面 图 中 连接mg gm hn 因此gh与mn共面 图 中 g m n共面 但h 面gmn 因此gh与mn异面 所以在图 中 gh与mn异面 2 若空间中四条两两不同的直线l1 l2 l3 l4 满足l1 l2 l2 l3 l3 l4 则下列结论一定正确的是 a l1 l4b l1 l4c l1与l4既不垂直也不平行d l1与l4的位置关系不确定 解析 构造如图所示的正方体abcd a1b1c1d1 取l1为ad l2为aa1 l3为a1b1 当取l4为b1c1时 l1 l4 当取l4为bb1时 l1 l4 故排除a b c 选d 答案 d 规律方法 1 空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 公理4及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 2 解决位置关系问题时 要注意几何模型的选取 如利用正 长 方体模型来解决问题 变式训练2 1 如图是正四面体的平面展开图 g h m n分别为de be ef ec的中点 在这个正四面体中 gh与ef平行 bd与mn为异面直线 gh与mn成60 角 de与mn垂直 以上四个命题中 正确命题的序号是 解析还原成正四面体知gh与ef为异面直线 bd与mn为异面直线 gh与mn成60 角 de mn 2 如果两条异面直线称为 一对 那么在正方体的十二条棱中共有异面直线 对 24 例3 2016 玉林模拟 如图 正棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab 则异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为 答案 d 规律方法 求异面直线所成角的方法与步骤 1 找异面直线所成的角的三种方法 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 2 求异面直线所成角的三个步骤 作 通过作平行线 得到相交直线 证 证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角 算 通过解三角形 求出该角 变式训练3 2015 浙江卷 如图 在三棱锥a bcd中 ab ac bd cd 3 ad bc 2 点m n分别为ad bc的中点 则异面直线an cm所成的角的余弦值是 解析连接dn 取dn的中点p 连接pm cp 因为m是ad的中点 s思想方法感悟提升 2个注意点 判断点 线 面位置关系时的注意点 1 异面直线不同在任何一个平面内 不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线 2 在判断直线与平面的位置关系时易忽视 线在平面内 2种方法 异面直线的判定方法 1 判定定理 平面外一点a与平面内一点b的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线 2 反证法