第八章 矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步 SECTION1.doc

第八章第八章 矢量算法与场论初步矢量算法与场论初步 张量张量 算法与黎曼几何初步算法与黎曼几何初步 本章包括两个部分 第一部分是矢量代数 矢量分析及其在场论中的应用 主要内容有 矢量的概念 矢量 的算法与矢量的坐标表示 以矢量作为工具介绍了场论中的一些基本内容 例如梯度 散度 与旋度等基本概念及其计算公式和性质 以及它们在不同坐标系中的表达式 叙述了矢量的 积分定理 高斯公式 斯托克斯公式和格林公式 引进了仿射坐标系 阐述了三维空间中的 协变矢量和逆变矢量 同时把这些概念推广到 n 维空间中去 第二部分是张量代数 张量分析及其在黎曼几何中的应用 介绍了张量的概念和一些张 量算法 然后以张量作为工具来阐述仿射联络空间的基本内容 例如 仿射联络 矢量和张 量的平行移动 及协变微分法与自平行曲线等 并在 n 维空间中引进度量的概念 来定义黎 曼空间 从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络 于是有关仿射联络空间中的一些 性质可以搬到黎曼空间中来 可是 因为黎曼空间是由度量定义的 所以与度量有关的一些 性质在仿射联络空间中是没有的 1 矢量算法矢量算法 一 矢量代数 矢量概念 只有大小的量称为标量 也称为数量或纯量 例如温度 时间 质量 面 积 能量等都是标量 具有大小和方向的量称为矢量 也称为向量 例如力 速度 力矩 加速度 角速度 动 量等都是矢量 在几何中的有向线段就是一个直观的矢量 通常用空间中的有向线段 AB 来表示矢量 用 长度表示大小 用端点的顺序 AB 表示方向 A 称为始点 B 称为终点 这个矢量记作AB 或用黑正体字母 a 表示 矢量的大小 或长度 的数值称为它的模或绝对值 用记号AB 或 a 表示 AB 矢量按其效能可分成三种基本类型 具有大小和方向而无特定位置的矢量称为自由矢量 例如力偶 沿直线作用的矢量称为滑动矢量 例如作用于刚体的力 作用于一点的矢量称为束缚矢量 例如电场强度 在这里所讨论的矢量 除特别说明外 都指自由矢量 就是说 所有方向相同 长度相 等的矢量 不管始点如何 都看作相同的矢量 模等于 1 的矢量称为单位矢量 模等于零的矢量称为零矢量 记作 它是始点和终点重合的矢量 模与矢量的模相等而方向相反的矢量称为 a 的负矢量 记作 a a 始点与原点 O 重合而终点位于一点 M 的矢 量 图 8 1 称为点 M 的矢径 或向径 记作OM r 原点称为极点 如果 M 的直角坐标为 x y z 则有 r x y z xi yj zk OM 式中 i j k 分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正向单位 矢量 称为坐标单位矢量 或基本矢量 矢量的基本公式 名 称 公 式 图 形 矢量 a 的坐标表示 坐标单位矢量 i j k 的坐标表示 零矢量的坐标表示 a 的长度 或模 a a 的方向余弦 为 a 的方向角 矢量 两端点 A AB 的坐标分别为 ax ay az bx by bz a axi ayj azk ax ay az i j k 0 0 无方向 a aaaa xyz 222 coscoscos aaaa xyz 1 bx ax i by ay jAB bz az k 加法 若 a ax ay az b bx by bz 则 a b ax bx ay by az bz 把矢量的始点移到原点 O 以 a b 为边作平行四边行 由原点作出的对角线就表示和 矢量 a b 称为平行四边形法则 见图 8 2 或者把二矢量首尾相接 由始点到终点的矢量即为 和矢量 a b 称为三角形法则 见图 3 加法运算适合如下规律 交换律 abba 结合律 cbacba a a a a a 减法 若 a ax ay az b bx by bz 则 a b ax bx ay by az bz 把矢量 b 的负矢量与矢量 a 相加 得矢量 a b 图 8 4 对任意两个矢量 a 和 b 成立三角形不等式 a b a b 数乘 以实数乘矢量 a 称为数乘 记作a 当 时 a 的模伸缩倍 方向保持不 变 当0 都存在数 0 使得当t t 时 r t r 成立 则称 r 为矢函数 r t 当 tt 时的极限 记作 r0 t tt r 0 lim 若存在 则 t tt r 0 lim i j k t tt r 0 lim lim tt x t 0 lim tt y t 0 lim tt z t 0 若 r t0 则称矢函数 r t 在 t t 处连续 t tt r 0 lim 矢函数的导数与微分 如果极限 t ttt t ff 0 lim 存在 就称它为矢函数 a f t 的导数 记作 矢函数 a f t 的导数仍为矢函数 从而还可 t d da 求它的导数 即二阶导数 记作 等等 2 2 d d t a da dt t d da 称为矢函数 a f t 的微分 矢函数求导公式 0 c 为常矢量 t d dc ka k k 为常数 t d d t d da a b c t d d tttd d d d d dcba a a 是 t 的标函数 t d d t d d t d da a b b a 顺序可以交换 t d d t d da t d db a b b a 顺序不可以交换 t d d t d da t d db abc bc ac ab 顺序不可以交换 t d d t d da t d db t d dc a t t d d d da t d d 是 t 的标函数 这是复合函数的求导公式 矢径形式的矢函数求导公式 设 r r t x t i y t j z t k 表示矢函数的矢端曲线 则 1 i j k r t d dr x y z 表示矢端曲线的切线矢量 图 8 10 指向 t 增加的方向 式中 x t x d d y t y d d z t z d d 2 t sd dr 式中 s 为矢端曲线的弧长 t 为切线的单位矢量 3 i j k 2 2 d d t r r x y z 式中 x 2 2 d d t x y 2 2 d d t y z 2 2 d d t z 矢函数的泰勒公式 r t t r t t t t t r n t t n Rn t n 1 r r 2 1 1 n 1 1n 式中 Rn x n 1 t1 i y n 1 t2 j z n 1 t3 k t t1 t2 t3 t t r n t x n t i y n t j z n t k x n y n z n n n t x d d n n t y d d n n t z d d 矢量函数的几个常用性质 1 定长矢量 r t t 反之也真 从而切线的单位矢量 的导数与原矢量垂直 r 2 定向矢量 r t t 反之也真 r 3 一个变动矢量 r t 平行于一个定平面的充分必要条件是 混合积 0 r r r 2 矢量积分 不定积分 设 a t b t 为矢函数 则矢量微分方程 a t t t d db 的解 t dt b t c 式中 c 为任意常矢量 a 称为矢函数 a t 的不定积分 定积分 设 a t 和 b t 为矢函数 则 a t