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交通大学2000年保送生数学试题一、选择题(本题共15分，每小题3分在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1若今天是星期二，则31998天之后是( )A星期四B星期三C星期二D星期一2用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是( )ABCD3方程cos2x-sin2x+sinxm+1有实数解，则实数m的取值范围是( )ABm -3Cm -1D4若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q0的两个根，则此数列各项的积是( )ApmBp2mCqmDq2m5设f (x0)2，则( )A-2B2C-4D4二、填空题（本题共24分，每小题3分）1设f(x)的原函数是，则_2设，则函数(的最小值是_3方程的解x_4向量在向量上的投影_5函数的单调增加区间是_6两个等差数列200，203，206，和50，54，58都有100项，它们共同的项的个数是_7方程7x2-(k+13)x+k2-k-20的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是_8将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是_三、证明与计算（本题61分）1(6分)已知正数列a1，a2，an，且对大于1的n有，试证：a1，a2，an中至少有一个小于12(10分)设3次多项式f(x)满足：f(x+2)-f(-x)，f(0)1，f(3)4，试求f(x)3(8分)求极限4(10分)设在x0处可导，且原点到f(x)中直线的距离为，原点到f(x)中曲线部分的最短距离为3，试求b，c，l，m的值(b,c0)5(8分)证明不等式：，6(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率OyxB1A2A1B27(11分)如图所示，设曲线上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形OB1A1，A1B2A2，直角顶点在曲线上试求An的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在2000年交大联读班试题1. 直线关于的对称直线为_。2. 已知是的三边，且满足，则是_的三角形。3. 已知，则_。4. 已知满足：，则的最小正周期是_。5. 已知是偶函数， 是奇函数，且，则_。6. 是的三边，且，则_。7. 是十进制的数，是的各个数字之和，则使成立的最小的是_。8. _。9. 函数的反函数是_。10. 已知数列（是不等于1的常数），则_。11. 从自然数1至100中任取2个相乘，其结果是3的倍数的情况有种_。（取出的数不分先后）12. 己知在处可导，则_。13. 已知为整数，为非负整数，则整点的个数为_。14. 抛物线上，点坐标为，抛物线在点的切线与轴及直线夹角相等，求点P的坐标。15. 在中，求证：求。16. 已知，若点在单位圆上以为起点按顺时针方向转一圈，求点的轨迹；若点 在直线上运动，而点在过点的直线上运动，求，的值。17. 若满足，求下列函数的最小值：；。18. 若方程有3个不同实根，求实数的取值范围。19. 己知函数满足，又，求函数的解析式。20. 口袋中有4个白球，2个黄球，一次摸2个球，摸到的白球均退回口袋，保留黄球，到第次两个黄球都被摸出，即第次时所摸出的只能是白球，则令这种情况的发生概率是，求。2001年交大联读班数学试卷1. 数的位数是_。2. 求_。3. ，则用表示_。4. ，求_。5. ，求的最小值为_。6. 有一盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角形每边上的球恰比每边上正方形多2个小球，球数为_。7. 数列中，求_。8. 展开式中系数为_。9. 一人排版，有三角形的一个角，大小为，角的两边一边长，一边长，排版时把长的那边错排成长，但发现角和对边长度没变，则_。10. 掷三粒骰子，三个朝上点恰成等差列的概率为_。11. ，则（ ）12. A B C D13. 某人向正东走，再左转朝新方向走了，结果离出发点，则（ ）A B C3 D不确定14. （ ）A B C D15. ，则（ ）A， B的面积 C对，第一象限 D，的圆心在上16. 一个圆盘被条等间隔半径与一条割线所分割，则不交叠区域最多有（ ）个A B C D17. （ ）A B C D18. 对，定义，则满足（ ）A交换律 B结合律 C都不 D都可19. ，则（ ）A3 B4 C5 D620. ，在上最小值为，求。21. ，求的最小值。22. ，求23. （为参数）求顶点轨迹，求在上截得最大弦长的抛物线及其长。24. 为递增数列，在上对应为，以与曲线围成面积为，若为的等比数列，求和。2001年上海交通大学联读班数学试题一、填空题（本题共40分，每小题4分）1数的位数是_2若log2log3(log4x)log3log4(log2y)log4log2(log3z)0，则x+y+z_3若log23p，log35q，则用p和q表示log105为_4设sina和sinb分别是sinq与cosq的算术平均和几何平均，则cos2a:cos2b_5设，则函数f(x)cosx+xsinx的最小值为_6有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为_7若在数列1，3，2，中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前100项之和是_8在(1+2x-x2)4的二项展开式中x7的系数是_9某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取a厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中a厘米在排版时比原稿上多1虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a_10任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1的等差数列的概率为_二、选择题（本题共32分，每小题4分）11a0，b0，若(a+1)(b+1)2，则arctana+arctanb( )ABCD12一个人向正东方向走x公里，他向左转150后朝新方向走了3公里，结果他离出发点公里，则x是( )ABC3D不能确定13( )ABCD14设t表示 t的最大整数，其中t0且S(x,y)|(x-T)2+y2T2,Tt-t，则( )A对于任何t，点(0,0)不属于SBS的面积介于0和p之间C对于所有的t5，S被包含在第一象限D对于任何t，S的圆心在直线yx上15若一个圆盘被2n(n0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的最大个数是( )A2n+2B3n-1C3nD3n+116若i2-1，则cos45+icos135+incos(45+90n)+i40cos3645( )ABCD17若对于正实数x和y定义，则( )A”*”是可以交换的，但不可以结合B”*”是可以结合的，但不可以交换C”*”既不可以交换，也不可以结合D”*”是可以交换和结合的18两个或两个以上的整数除以N(N为整数，N1)，若所得的余数相同且都是非负数，则数学上定义这两个或两个以上的整数为同余若69，90和125对于某个N是同余的，则对于同样的N，81同余于( )A3B4C5D7三、计算题（本题共78分）19(本题10分)已知函数f(x)x2+2x+2，xt,t+1的最小值是g(t)试写出g(t)的解析表达式20(本题12分)设对于x0，求f(x)的最小值21(本题16分)已知函数，对于n1,2,3,定义fn+1(x)f1fn(x)若f35(x)f5(x)，则f28(x)的解析表达式是什么？22(本题20分)已知抛物线族2yx2-6xcost-9sin2t+8sint+9，其中参数tR (1) 求抛物线顶点的轨迹方程；(2) 求在直线y12上截得最大弦长的抛物线及最大弦长xPnyOXn+1XnPn+123(本题20分)设xn为递增数列，x11，x24，在曲线上与之对应的点列为P1(1,1),P2(4,2),，且以O为原点，由OPn、OPn+1与曲线PnPn+1所围成部分的面积为Sn，若Sn(nN)是公比为的等比数列，图形XnXn+1Pn+1Pn的面积为，试求S1+S2+Sn+和2002年交大联读班数学试卷1. ，是虚数，则_。2. 函数的图象与三条抛物线、分别有2，1，0个交点，则_。3. 若，则_。4. 若，则_。5. 函数的值域为_。6. _。7. 正实数满足，则的最小值是_。8. 一个圆内接四边形ABCD，已知AB4，BC8，CD9，DA7，则_。9. 实数满足，则_。10. 的展开式中的系数为_。11. 方程，则方程有_个实数解。12. 三边长满足，则不同的三角形有_个。13. 掷3个骰子，掷出点数之和为9的倍数的概率为_。14. 若不等式只有唯一实数解，则_。15. 有两个两位数，它们的差是56，两数分别平方后，末两位数相同，则这两个两位数为_。16. 在一个环形地带上顺次有五所学校A、B、C、D、E，它们各有15、7、11、3、14台机器，现要使机器平均分配，规定机器的运输必须在相邻学校间进行，为使总的运输台数最少，则A应给B_台，B应给C_台，A给E_台，总共运输_台。17. 用数学归纳法证明以下结论：。若有，利用的结论求18. 若，称为的不动点，若有关于原点对称的两个不动点，求满足的关系；画出这两个不动点的草图。19. 有的铁丝，要与一面墙成面积为长方形区域，为使用料最省，求矩形的长与宽。20. 数列满足，且，其中求证：；求证：。21. 函数，有且求满足的关系；证明：存在这样的，使。22. 两人轮流掷一个骰子，第一次由A先掷，若A掷到一点，下次仍由A掷：若A掷不到一点，下次换B掷，对B同样适用规则。如此依次投掷，记第次由A掷的概率为。求与的关系；求。上海交通大学2002年保送生考试数学试题一、填空题（本题共64分，每小题4分）1设方程x3=1的一个虚数根为(n是正整数)=_2设a,b是整数，直线y=ax+b和3条抛物线：y=x2+3,y=x2+6x+7与y=x2+4x+5的交点个数分别是2，1，0，则(a,b)=_3投掷3个骰子，其中点数之积为9的倍数的概率为_4若x,y,z0且x2+y2+z2=1，则的最小值为_5若2x-2-x=2，则8x=_6若a,b,c为正实数，且3a=4b=6c，则=_7的值为_8函数的值域为_9若圆内接四边形ABCD的边长AB=4，BC=8，CD=9，DA=7，则cosA=_10若a,b满足关系：，则a2+b2=_11的展开式中x9的系数是_12当时，方程的相异实根个数共有_个13若不等式有唯一解，则a=_14设a,b,c表示三角形三边的长，均为整数，且，若b=n（正整数），则可组成这样的三角形_个15有两个二位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为_16某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5所小学，各小学分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了_台，从第二小学向第三小学移交了_台，从第五小学向第一小学移交了_台，移动总数是_台二、计算与证明题（本题共86分）17（本题12分）（1）设n为大于2的整数，试用数学归纳法证明下列不等式：(1)；(2)已知当， 试用此式与(1)的不等式求18（本题14分）若存在实数x，使f(x)=x，则称x为f(x)的不动点，已知函数有两个关于原点对称的不动点(1) 求a,b须满足的充要条件；(2) 试用y=f(x)和y=x的图形表示上述两个不动点的位置（画草图）xy144m219（本题14分）欲建面积为144m2的长方形围栏，它的一边靠墙（如图），现有铁丝网50m，问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的长度20（本题14分）设数列an满足关系，若N满足，试证明：(1) ；(2) （k为整数）21（本题16分）设为实数，且试写出a与b的关系，并证明在这一关系中存在b满足3b422（本题16分）A和B两人掷骰子，掷出一点时，原掷骰子的人再继续掷，掷出不是一点时，由对方接着掷，第一次由A开始掷，设第n次由A掷的概率是Pn试求：(1) Pn+1用Pn表示的式子；(2) 极限2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题2003.1.4一、填空题（本大题共40分，每题4分）1三次多项式f(x)满足f(3)2f(1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为_2用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S的最大值是_3已知，x+2y1，则的最小值是_4有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个数是_5已知f(x)=ax7+bx5+x2+2x-1，f(2)=-8，则f(-2)=_6投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_7正四面体的各个面无限延伸，把空间分为_个部分8有n个元素的集合分为两部分，空集除外，可有_种分法9有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是_10100!末尾连续有_个零二、解答题（本大题共60分，每题10分）11数列an的a1=1，a2=3，3an+2=2an+1+an，求an和123个自然数倒数和为1求所有的解13已知x1000+x999(x+1)+(x+1)1000，求x50的系数14化简：(1) ；(2) 15求证：为最简分式16证明不等式，当自然数n6时成立上海交通大学2004年保送生考试数学试题(90分钟)2004.1.3一、填空题：1已知x,y,z是非负整数，且x+y+z=10，x+2y+3z=30，则x+5y+3z的范围是_2长为l的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形，则它的面积的最大值是_3函数（）的值域是_4已知a,b,c为三角形三边的长，b=n，且abc，则满足条件的三角形的个数为_5和的最大公约数为，最小公倍数为，则=_,=_,=_,=_6已知,则方程的相异实根的个数是_7的个位数是_8已知数列满足,，且，则=_9的正方格,任取得长方形是正方形的概率是_10已知,则=_1112二、解答题1已知矩形的长、宽分别为a、b，现在把矩形对折，使矩形的对顶点重合，求所得折线长2某二项展开式中，相邻a项的二项式系数之比为 1：2：3：a，求二项式的次数、a、以及二项式系数3f(x)=ax4+x3+(5-8a)x2+6x-9a，证明：（1）总有f(x)=0；（2）总有f(x)04，对于一切自然数n，都有，且，求5对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心的轨迹6已知为公差为的等差数列，(1) 用、表示数列的通项公式；(2) 若，求的最小值及取最小值时的的值上海交通大学2005年保送、推优生数学试题一、填空题（每小题5分，共50分）1方程的两根满足，则p=_（pR）2，则x=_3已知nZ，有，则n=_4将3个12cm12cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分（如左图），将这6部分接于一个边长为的正六边形上（如下图），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，该多面体的体积为_5已知，x、yR，则(x,y)=_6=_7若z3=1，且zC，则z3+2z2+2z+20=_8一只蚂蚁沿123立方体表面爬，从一对角线一端到另一端最短距离为_94封不同的信放入4只写好地址的信封中，装错的概率为_，恰好只有一封装错的概率为_10已知等差数列an中，=_二、解答题（第1题8分，第2、3、4题各10分，第5题12分）1的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数，求a,b,c的值2是否存在三边为连续自然数的三角形，使得(1) 最大角是最小角的两倍；(2) 最大角是最小角的三倍；若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由3的最大值为9，最小值为1，求实数a,b4已知月利率为g，采用等额还款方式，则若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m关于g的函数关系式（假设贷款时间为2年）5对于数列an：1,3,3,3,5,5,5,5,5,，即正奇数k有k个，是否存在整数r,s,t，使得对于任意正整数n都有恒成立（x表示不超过x的最大整数）2006年上海交通大学推优、保送生考试数学试题一、填空题（每题5分，共50分）1矩形ABCD中，AD=a，AB=b，过A、C作相距为h的平行线AE、CF，则AF=_ABCFED2一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个正实数是_32005！的末尾有连续_个零4展开式中，项的系数为_5在地面距离塔基分别为100m、200m、300m的A、B、C处测得塔顶的仰角分别为，则塔高为_6三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为_；在一次游戏中，甲获胜的概率为_7函数上单调递增，则实数a的取值范围是_8的非实数根，=_92张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成_种不同的面值10已知，则数列前100项和为_二、解答题（第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分）11a,b,cR，abc0，bc，a(b-c)x2+b(c-a)x+c(a-b)=0有两个相等根，求证：成等差数列12椭圆，一顶点A(0,1)，是否存在这样的以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，若存在，求出共有几个，若不存在，请说明理由13已知|z|=1，k是实数，z是复数，求|z2+kz+1|的最大值14若函数形式为为关于x的多项式，为关于y的多项式，则称为P类函数，判断下列函数是否是P类函数，并说明理由(1) 1+xy；(2) 1+xy+x2y215设上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题（每小题5分，共50分）1设函数满足，则 2设均为实数，且，则 3设且，则方程的解的个数为 4设扇形的周长为6，则其面积的最大值为 5 6设不等式与的解集分别为M和N若，则k的最小值为 7设函数，则 8设，且函数的最大值为，则 96名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 10已知函数，对于，定义，若，则 二、计算与证明题（每小题10分，共50分）11工件内圆弧半径测量问题为测量一工件的内圆弧半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度，试写出用表示的函数关系式，并计算当时，的值12设函数，试讨论的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在内的图像13已知线段长度为，两端均在抛物线上，试求的中点到轴的最短距离和此时点的坐标14设，试证明对任意实数：（1）方程总有相同实根；（2）存在，恒有15已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中均为正整数，且（1）求的值；（2）若对于，存在关系式，试求的值；（3）对于满足（2）中关系式的，试求参考答案：1.2.3. 24.5.6. 27.8.9.10.11. ，12. ；偶函数；周期为13. ；14. 略；反证法15. 2；3；2008年交大冬令营数学试题2008.1.1一填空题1若，则2函数的最大值为_3等差数列中，则前项和取最大值时，的值为_4复数,若存在负数使得，则5若，则6数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和7中的系数为8数列中，此数列的通项公式为9甲、乙两厂生产同一种商品甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为10若曲线 与 的图像有3个交点，则二解答题130个人排成矩形，身高各不相同把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为（）是否有可能比高？（）和是否可能相等？2已知函数，且没有实数根那么是否有实数根？并证明你的结论3世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分比赛结束后前两名可以晋级（）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分于是 甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线； 乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？（）若不考虑中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？4通信工程中常用n元数组表示信息，其中或1，设，表示和中相对应的元素不同的个数（）问存在多少个5元数组 使得；（）问存在多少个5元数组 使得；（）令，求证：5曲线与圆交于两点，线段的中点在上，求2008年交大冬令营数学试题参考答案2008.1.1一填空题1若，则22函数的最大值为_3等差数列中，则前项和取最大值时，的值为_204复数,若存在负数使得，则5若，则6数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和7中的系数为39212258数列中，此数列的通项公式为 9甲、乙两厂生产同一种商品甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为10若曲线 与 的图像有3个交点，则 二解答题130个人排成矩形，身高各不相同把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为（）是否有可能比高？（）和是否可能相等？1 解：不可能 若为同一人，有； 若在同一行、列，则均有； 若不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记所在列与所在行相