《中心极限定理》PPT课件.ppt

2020 1 29 1 4 2中心极限定理 中心极限定理的客观背景 在实际问题中 常常需要考虑许多随机 例如 炮弹射击的落点与目标的偏差 就受 因素所产生总影响 着许多随机因素的影响 2020 1 29 2 空气阻力所产生的误差 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响 如瞄准时的误差 炮弹或炮身结构所引起的误差等等 2020 1 29 3 观察表明 如果一个量是由大量相互独 自从高斯指出测量误差服从正 态分布之后 人们发现 正态分布 在自然界中极为常见 立的随机因素的影响所造成 而每一个别因 素在总影响中所起的作用不大 则这种量一 般都服从或近似服从正态分布 2020 1 29 4 现在我们就来研究独立随机变量之和所 当n无限增大时 这个和的极限分布是 在什么条件下极限分布会是正态的呢 特有的规律性问题 什么呢 2020 1 29 5 由于无穷个随机变量之和可能趋于 的分布函数的极限 故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑 它的标准化的随机变量 2020 1 29 6 的分布函数的极限 可以证明 满足一定的条件 上述极 考虑 中心极限定理 这就是下面要介 绍的 限分布是标准正态分布 2020 1 29 7 在概率论中 习惯于把和的分布 我们只讨论几种简单情形 下面给出的独立同分布随机变量序列 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理 的中心极限定理 也称列维一林德伯格 Levy Lindberg 定理 2020 1 29 8 定理4 5 独立同分布的中心极限定理 设随机变量序列 独立同分布 且具有数学期望和方差 则随机变量 的分布函数Fn x 对于任意x 有 2020 1 29 9 它表明 当n充分大时 n个具有期望和方差 虽然在一般情况下 我们很难求出和 的独立同分布的r v之和近似服从正态分布 的分布的确切形式 但当n 很大时 可以求出近似分布 2020 1 29 10 中心极限定理的意义 在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布是由于许多彼次没有什么相依关 系 对随机现象谁也不能起突出影响 而 均匀地起到微小作用的随机因素共同作用 即这些因素的叠加 的结果 2020 1 29 11 则它可被看成为许多相互独立的起微小作 或近似服从正态分布 若联系于此随机现象的随机变量为 而这个总和服从 2020 1 29 12 高尔顿钉板试验 O 记 则 近似 共15层小钉 高尔顿 FrancisGalton 1822 1911 英国人类学家和气象学家 2020 1 29 13 中心极限定理的应用 例1炮火轰击敌方防御工事100次 每次 轰击命中的炮弹数服从同一分布 其数学期 望为2 均方差为1 5 若各次轰击命中的炮 弹数是相互独立的 求100次轰击 1 至少命中180发炮弹的概率 2 命中的炮弹数不到200发的概率 2020 1 29 14 解设 i表示第i次轰击命中的炮弹数 相互独立 设 表示100次轰击命中的炮弹数 则 由独立同分布中心极限定理 有 2020 1 29 15 1 2 2020 1 29 16 例2售报员在报摊上卖报 已知每个过路 解令 i为售出了第i 1份报纸后到售 几何分布 人在报摊上买报的概率为1 3 令 是出售了 100份报时过路人的数目 求 P 280 320 出第i份报纸时的过路人数 i 1 2 100 2020 1 29 17 相互独立 由独立同分布中心极限定理 有 2020 1 29 18 例3检验员逐个检查某产品 每查一个需 用10秒钟 但有的产品需重复检查一次 再 用去10秒钟 若产品需重复检查的概率为0 5 求检验员在8小时内检查的产品多于1900个 的概率 若在8小时内检查的产品多于1900 个 即检查1900个产品所用的时间小于8小 时 解 2020 1 29 19 设 为检查1900个产品所用的时间 秒 设 k为检查第k个产品所用的时间 单位 秒 k 1 2 1900 0 50 5 2020 1 29 20 相互独立同分布 2020 1 29 21 2020 1 29 22 定理4 6 德莫佛 拉普拉斯定理 设随机变量 服从参数为n 的 则对于任意x 有 二项分布 2020 1 29 23 N np np 1 p 即 定理表明 当n很大 0 p 1是一个定值时 或者说 np 1 p 也不太小时 二项变量 的分布近似正态分布 近似 2020 1 29 24 下面我们举例说明中心极限定理的应用 从演示不难看到中心极限定理的客观背景 2020 1 29 25 例4根据以往经验 某种电器元件的寿命服 服从均值为100小时的指数分布 现随机地取16 只 设它们的寿命是相互独立的 求这16只元件 的寿命的总和大于1920小时的概率 由题设条件知 诸 i独立 16只元件的寿命的总和为 解 设第i只元件的寿命为 i i 1 2 16 E i 100 D i 10000 依题意 所求为P 1920 2020 1 29 26 由于E 1600 D 160000 由中心极限定理 P 1920 1 P 1920 1 0 8 1 1 0 7881 0 2119 16只元件的寿命的总和为 依题意 所求为P 1920 近似 2020 1 29 27 例5某车间有200台车床 每台独立工作 开工率为0 6 解设至少要供给这个车间a千 瓦的电力 为开工的车床数 则 B 200 0 6 N 120 48 近似 由德莫佛 拉普拉斯中心极限定理 有 开工时每台耗电量为r千瓦 问供电所至少要供给这个车 供电不足而影响生产 间多少电力 才能以99 9 的概率保证这个车间不会因 2020 1 29 28 问题转化为求a 使 反查标准正态函数分布表 得 2020 1 29 29 令 解得 千瓦 2020 1 29 30 例6设有一批种子 其中良种占1 6 试估计在任选的 解设 表示6000粒种子中的良种数 B 6000 1 6 近似 由德莫佛 拉普拉斯中心极限定理 则 有 6000粒种子中 良种比例与1 6比较上下不超过1 的概 率 2020 1 29 31 2020 1 29 32 比较几个近似计算的结果 中心极限定理 二项分布 精确结果 Poisson分布 Chebyshev不等式 2020 1 29 33 定理7 李雅普诺夫定理 设随机变量 相互独立 它们具有数学期望和方差 2020 1 29 34 则随机变量 的分布函数Fn x 对于任意的x满足 2020 1 29 35 例7某保险公司有10000个同龄又同阶层的人 参加人寿保险 已知该类人在一年内死亡的概率 为0 006 每个参加保险的人在年初付12元保险 费 而在死亡时家属可向公司领得1000元 问在 此项业务活动中 1 保险公司亏本的概率是多少 2 保险公司获得利润不少于40000元的概率是 多少 2020 1 29 36 解 设这10000人中一年内死亡的人数为 则 B 10000 0 006 保险公司一年收取 10000 12 120000 元 保险费 故仅当每年死亡人数超过120人时公司才 会亏本 当每年死亡人数不超过80人时公司获利 不少于40000元 由此可知 所求的概率分别为 及 由中心极限定理 有 2020 1 29 37 2020 1 29 38 例8设每次试验中 事件A发生的概率为0 75 试用中 解设 表示n次独立重复试验中事件A发生的次 B n 0 75 心极限定理估计 n多大时 才能在n次独立重复试验中 事件A出现的频率在0 74 0 76之间的概率大于0 90 数 则 问题 2020 1 29 39 由德莫佛 拉普拉斯定理