《圆周角和圆心角的关系》课件1

3 4圆周角和圆心角的关系 1 圆心角的定义 答 相等 答 顶点在圆心的角叫圆心角 2 圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系 知识回顾 圆心角顶点发生变化时 我们得到几种情况 A O B C A A 思考 三个图中的 BAC的顶点A各在圆的什么位置 角的两边和圆是什么关系 探索一 你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗 特征 角的顶点在圆上 角的两边都与圆相交 圆周角定义 顶点在圆上 并且两边都和圆相交的角叫圆周角 探索新知 判别下列各图形中的角是不是圆周角 并说明理由 不是 不是 是 不是 不是 图1 图2 图3 图4 图5 跟踪训练 为了解决这个问题 我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系 在同圆或等圆中 相等的弧所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 相等的弧所对的圆周角有什么关系 探索二 圆周角与圆心角的关系 如图 观察弧AC所对的圆周角 ABC与圆心角 AOC 它们的大小有什么关系 说说你的想法 并与同伴交流 教师提示 注意圆心与圆周角的位置关系 1 首先考虑一种特殊情况 当圆心 O 在圆周角 ABC 的一边 BC 上时 圆周角 ABC与圆心角 AOC的大小关系 AOC是 ABO的外角 AOC B A OA OB A B AOC 2 B 你能写出这个命题吗 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 2 如果圆心不在圆周角的一边上 结果会怎样 当圆心 O 在圆周角 ABC 的内部时 圆周角 ABC与圆心角 AOC的大小关系会怎样 老师提示 能否转化为1的情况 过点B作直径BD 由1可得 上面的命题还成立吗 3 如果圆心不在圆周角的一边上 结果会怎样 当圆心 O 在圆周角 ABC 的外部时 圆周角 ABC与圆心角 AOC的大小关系会怎样 过点B作直径BD 由1可得 老师提示 能否转化为1的情况 上面的命题还成立吗 综上所述 圆周角 ABC与圆心角 AOC的大小关系是 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 老师提示 圆周角定理是承上启下的知识点 要予以重视 如图1 圆中一段对着许多个圆周角 这些个角的大小有什么关系 为什么 由此你能得出什么结论 如图2 圆中 C G 那么的大小有什么关系 为什么 图2 如图2 圆中那么 C和 G的大小有什么关系 为什么 由此你能得出什么结论 用于找相等的弧 圆周角定理的推论1 同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 相等的圆周角所对的弧也相等 用于找相等的角 当球员在B D E处射门时 他所处的位置对球门AC分别形成三个张角 ABC ADC AEC 这三个角的大小有什么关系 实际运用 例 如图 OA OB OC都是 O的半径 AOB 2 BOC 求证 ACB 2 BAC 证明 ACB AOB BAC BOC AOB 2 BOC ACB 2 BAC 规律 解决圆周角和圆心角的计算和证明问题 要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角 然后再灵活运用圆周角定理 例与练 1 如图 在 O上中 BOC 50 求 BAC的大小 2 如图 哪个角与 BAC相等 你还能找到哪些相等的角 3 指出图中的圆周角 ACO ACB BCO OAB BAC OAC ABO CBO ABC 1 如图 1 BC是 O的直径 A是 O上任一点 你能确定 BAC的度数吗 2 如图 2 圆周角 BAC 90 弦BC经过圆心O吗 为什么 由此你能得出什么结论 探索三 圆周角与直径的关系 用于判断某条弦是否是直径 用于构造直角 圆周角定理的推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 探索四 圆内接四边形与性质 四边形ABCD四个顶点都在 O上 这样的四边形叫做圆内接四边形 这个圆叫做四边形的外接圆 圆内接四边形有什么性质 如图A B C D 是 O上的四点 AC为 O的直径 则 BAD与 BCD之间有什么关系 为什么 解析 AC是 O的直径 ADB 90 ABC 90 BAD BCD 360 90 90 180 如图A B C D 是 O上的四点 点C的位置发生了变化 则 BAD与 BCD的关系还成立吗 为什么 解析 成立连结OB OD 弧BAD与弧BCD所对的圆心角之和为360 BAD BCD 180 圆内接四边形的性质 圆内接四边形对角互补 如图 DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角 则 A与 DCE的大小有什么关系 A DCE 例 如图 AB是 O的直径 BD是弦 延长BD到C 使DC BD AC与AB的大小有什么关系 为什么 解析 AC AB如图连接AD AB是 O的直径 ADB 90 DC BD AC AB 例与练 1 如图 O的直径AB 10cm C为 O上的一点 ABC 30 求AC的长 解 AB为 O的直径 ACB 90 又 ABC 30 AC AB 10 5 cm 2 小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形 根据下图 你能判断哪个是半圆形 为什么 答 图 2 是半圆形 理由是 90 的圆周角所对的弦是直径 3 ABC中 A 30 C 90 作 ABC的外接圆 如图 若弧AB的长为12cm 那么弧AC的长是 A 10cmB 9cmC 8cmD 6cm C 一 这节课主要学习了两个知识点 1 圆周角定义 2 圆周角定理及其定理应用 二 方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了 特殊到一般 的思想方法和分类讨论的思想方法 三 圆周角及圆周角定理的应用极其广泛 也是中考的一个重要考点 望同学们灵活运用 课堂小结 1 要理解好圆周角定理的推论 2 构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法 引辅助线的方法 1 构造直径上的圆周角 2 构造同弧所对的圆周角 3 要多观察图形 善于识别圆周角与圆心角 构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一 4 圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系 而同圆或等圆中圆心角 弧 弦之间又存在等量关系 因此 圆中的角 圆周角和圆心角 弦 弧等的相等关系可以互相转化 但转化过程中要注意以圆心角 弧为桥梁 如由弦相等只能得弧或圆心角相等 不能直接得圆周角相等 船在航行过程中 船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁 如图 A B表示灯塔 暗礁分布在经过A B两点的一个圆形区域内 C表示一个危险临界点 ACB就是 危险角 当船与两个灯塔的夹角大于 危险角 时 就有可能触礁 1 当船与两个灯塔的夹角 大于 危险角 时 船位于哪个区域 为什么 2 当船与两个灯塔的夹角 小于 危险角 时 船位于哪个区域 为什么 拓展延伸 解 1 当船与两个灯塔的夹角 大于 危险角 C时 船位于暗礁区域内 即 O内 理由是 连接BE 假设船在 O上 则有 C 这与 C矛盾 所以船不可能在 O上 假设船在 O外 则有 AEB 即 C 这与 C矛盾 所以船不可能在 O外 因此 船只能位于 O内 解 2 当船与两个