实验报告10数学建模.doc

PD数学建模实验实验报告学号： 姓名： 实验十：微分方程建模11. 用龙格-库塔 方法求微分方程的数值解，画出解的图形，对结果进行分析比较。为Bessel方程，时，精确解解答： MATLAB程序如下y=dsolve(x2*D2y+x*Dy+(x2-1/4)*y,y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi,x);pretty(y)ezplot(y)hold ondy=(x,y)y(2);(1/4/x2-1)*y(1)-y(2)/x;%定义匿名函数;x,y=ode45(dy,pi/2,2*pi,2,-2/pi);%使用RK方法作图;plot(x,y(:,1),*)%作图;legend(符号解,数值解)title(图1)结果分析：得到图像如图所示2. 一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率v=1跑步,设椭圆方程为: x=10+20cost, y=20+5sint. 突然有一只狗攻击他. 这只狗从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者。分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹.解答：一、建模分析：假设狗狗在t时刻的位置为，人在t时刻的位置在.则，由题意，我们可以列出下列一组方程： 二、程序（1）当，时，建立m文件eq1.mfunction dy=eq1(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);（1）取t0=0，tf=10，建立主程序chase1.mt0=0;tf=10;t,y=ode45(eq1,t0,tf,0,0);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,-)hold onplot(y(:,1),y(:,2),*)三、结果分析（1）运行程序，得到图像如图：在chase1.m中，不断地修改tf的值，分别取tf=5，4.5，3.5，.，分析我们所得到的图像知，当tf=3.15时，狗刚好追上人。具体图像如下tf=5时tf=4.5时tf=3.15时四、程序（2）（2） 时建立m文件eq2.mfunction dy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase2.mt0=0;tf=10;t,y=ode45(eq2,t0,tf,0,0);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,-)hold onplot(y(:,1),y(:,2),*)五、结果分析（2）运行程序，得到图像如下：在chase2.m中，不断地修改tf的值，分别取tf=20，40，80，.，得到一系列图像，由图可以看出，狗永远追不上人。tf=20：tf=40：3.意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？请你解释。解答：一、 符号说明食饵在t时刻的数量；捕食者在t时刻的数量；食饵独立生存时的增长率；捕食者独立存在时的死亡率；捕食者掠取食饵的能力；食饵对捕食者的供养能力；捕获能力系数。二、 基本假设（1）食饵由于捕食者的存在使增长率降低，假设降低的程度与捕食者数量成正比；（2）捕食者由于食饵为它提供食物的作用使死亡率降低或者使之增长，假定增长的程度与食饵数量成正比。三、模型建立与求解：模型一：不考虑人工捕获由题意，我们可以列出微分方程如下：该模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵与捕食者自身的阻滞作用。我们设食饵和捕食者的初始数量分别为，对于数据，t的终值试验后确定为5，即代入数据后，为：MATLAB程序如下：（1） 建立m文件shier.mfunction dx=shier(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);（2） 建立主程序shark.mt,x=ode45(shier,0,15,25,2);plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*)figure(2)plot(x(:,1),x(:,2)求解结果：数值解如下图：为实线，为“*”线图1 图2图1反映了与的关系。可以猜测：与都是周期函数。模型二：考虑人工捕获设表示捕获能力的系数为，相当于食饵的自然增长率由降为，捕食者的死亡率由增为。我们可以列出微分方程如下：设战前捕获能力为e=0.3，战争中降为e=0.1，则战前与战争中模型分别为战前： 战后：MATLAB建立程序如下：（1）建立m文件shier1.mfunction dx=shier1(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(0.7-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.8+0.02*x(1);（2） 建立m文件shier2.mfunction dx=shier2(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(0.9-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.6+0.02*x(1);（3）建立主程序shark1.mt1,x=ode45(shier1,0,15,25,