6.浙江省数学竞赛模拟题(三)答案.doc

浙江省数学竞赛模拟题（三）班级_ 姓名_一、选择题(共50分)1.已知集合，则下列正确的是 （ ） A B. C. D. 解析：因为，所以有正确答案为 A。2.已知, 若为实数，则最小的正整数的值为 （ ） (A) (B) (C) (D) 提示：，是使为实数的最小的正整数 A. 3.已知均为正实数，则的最大值为 （） (A) 2 (B) (C) 4 (D) B. 解法一 令，则所以解法二 令， 则， 此时，即有显然当时，；当时，所以函数在, 即时取得最大值 4.当时，则下列大小关系正确的是 （ ） A B. C. D. 解析：当时，又因为。所以 。 选 C。5.设在上有定义，要使函数有定义，则a的取值范围为（ ）A； B. ； C. ； D. 解析：函数的定义域为 。当时，应有， 即；当时，应有，即。 因此，选 B。6.已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足，则 ABC一定为 ( )A直角三角形； B. 等边三角形； C. 等腰直角三角形； D. 等腰三角形解析：因为，所以已知条件可改写为 。容易得到此三角形为等腰三角形。 因此 选 D。7.已知是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最 大值是 （ ）A B. 2 C. D. 4解析：由已知条件可知，函数图象与轴交点的纵坐标为。令 ，则 。因此 选 A。8.有6名同学咨询成绩老师说：甲不是6人中成绩最好的，乙不是6人中成绩最差的，而且6 人的成绩各不相同那么他们6人的成绩不同的可能排序共有 （） (A) 120种 (B) 216 种 (C) 384 种 (D) 504种D. 解法一 以记甲成绩排名第一的所有可能的排序之集， 以记乙成绩排名为最后的所有可能的排序之集，则，甲排名第一或乙排名最后的所有可能的排序数为 按照老师所述，这位同学成绩可能的排序数为 解法二 以乙的成绩不在最后为前提，考虑甲的成绩不在第一的所有可能排序（1）甲的成绩排在最后的所有可能的排序数为；（2）甲的成绩不在最后，又不在第一的所有可能排序数为所以甲不在首，乙不在尾的所有可能排序数为9.已知函数 (为常数，)，且，则 的值是 （） (A) 8 (B) 4 (C) (D) B. 提示：由已知可得又令，则有 从而有 即知10.在等差数列中，若，且它的前项和有最大值，那么当取最小正值时， (A) 1 (B) 10 (C) 19 (D) 20 （）C. 提示：设该等差数列的公差为显然 由，知 且 因此由知从而有所以2、 填空题（共49分）11. 。解析：根据题意要求，。于是有。因此 。因此答案为 1。12.设为非负实数，满足，则 。解析：显然，由于，有。于是有，故。13.的末三位数是_解析：(10i+1)(10i+3)(10i+7)(10i+9)=100+100i+9100+100i+21=10000+3000i(i+1)+189189(mod1000).所以=189100900(mod1000).所以答案是90014.在平面直角坐标系中，定义点、之间的“直角距离”为 若到点、的“直角距离”相等，其中实 数、满足、，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为解析：由条件得 当时，化为，无解；当时，化为，无解；当时，化为 若，则，线段长度为；若，则，线段长度为；若，则，线段长度为综上可知，点的轨迹的构成的线段长度之和为填15.抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点，且 |AB|=.在抛物线上是否存在一点C，使ABC为正三角形 ，若存在，C点的坐 标是 .解：设所求抛物线方程为，由弦长|AB|=建立关于p的方程.解得 p=或p=-(舍去)，故抛物线方程为. 设AB的中点为D(x0,y0)，抛物线上存在满足条件的点C(x3,y3)，由于ABC为正三角形.所以CDAB，|CD|=|AB|=.由CDAB得 由 解得，不在抛物线上.故抛物线上存在一点(,)。16.在数列中，2，设为数列的前n项和，则的值为解析：当n为偶数时，故当n奇数时，故故17.设函数，其中函数在上是单调递减函数；则的取值 范围是_.解析：（1）设，则设，则显然.,只需要,就能使在上是单调递减函数；三、解答题（共51分）18.设函数定义于闭区间，满足，且对任意，都有，其中常数满足，求的值解：因为，所以 8分由此得，而，所以 14分19. 已知曲线，为正常数直线与曲线的实轴不垂直，且依次交 直线、曲线、直线于、4个点，为坐标原点。（1）若，求证：的面积为定值；（2）若的面积等于面积的，求证：。解：（1）设直线：代入得：，得：，设，则有，设，易得：，由得，故，代入得，整理得：，又，=为定值. （2）设中点为，中点为则，所以，、重合，从而，从而，又的面积等于面积的，所以，从而.20.设非负等差数列的公差，记为数列的前n项和，证明： 1）若，且，则； 2）若则。解：设非负等差数列的首项为，公差为。（1）因为，所以，。从而有。 因为，所以有 于是。（2） 又因为，所以有4、 附加题（共50分）21.已知，关于的方程有一个实根，求的最小值解：设为方程的实根，则有，即. 显然. -5分容易证明，于是.当且仅当且时等号成立，此时，.结合可求得或因此的最小值为8. -20分22.设为2008个整数，且（）。如果存在某个，使得2008位数被101整除，试证明：对一切，2