二重积分的变量代换课件.ppt

兰亭序之高数版 有连续的一阶偏导数 则有 1 这里L为区域D的边界曲线 并取正方向 公式 1 称为格林公式 复习 注意定理使用的条件 有向性 连续性 封闭性 利用格林公式计算 L闭合 L非闭 3 平面上曲线积分与路径无关的条件 一 曲线积分与路径无关的定义 即只与起点和终点有关 则称曲线积分 与路径无关 否则与路径有关 G 显然 任意的闭曲线 如果在区域G内对任意的有 在G内 定理21 12设D是单连通闭区域 若函数 在D内连续 且具有一阶连续偏导数 则以 下四个条件等价 i 沿D内任一按段光滑封闭曲线L 有 ii 对D中任一按段光滑曲线L 曲线积分 与路线无关 只与L的起点及终点有关 即在D内有 iv 在D内处处成立 A B的任意两条按段光滑曲线 由 i 可推得 所以 一点处都有 以及P Q具有一阶连续偏导数 便可知道在D内每 解 例5 计算 为由点O 0 0 到点A 1 1 的曲线 其中L 因为 则 在平面上成立 选择如图所示的路径 选择新路径应注意 3 一般选与坐标轴平行的新路径 1 新路径的起点与终点不变 2 解 例6 选择如图所示的路径 设曲线积分 与路径无关 具有连续的导数 由已知知 即 由 知C 0 则 故原式 多元函数的原函数 由此 可以求某个全微分的原函数 并且原函数不唯一 例7试应用曲线积分求 的原函数 解这里 在整个平面上成立 由定理21 12 曲线积分 只与起点A和终点B有关 而与路线的选择无关 线段于是有 作业 P232 5 2 6 1 P2783 例如 积不出来 计算 其中D是由中心在原点 半径 为a的圆周所围成的闭区域 先x后y同样积不出来 4二重积分的变量变换 一 二重积分的变量变换公式 三 二重积分的广义极坐标变换 二 二重积分的极坐标变换 一 二重积分的变量变换公式 在定积分的计算中 我们得到了如下结论 设 利用这些记号 公式 1 又可 写成 统一写成如下的形式 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 则区域D的面积 5 将uv平面由按段光滑封 一阶连续偏导数且它们的函数行列式 则有 D是由 解为了简化被积函数 令 所围的区域 图21 23 即作变换 它的函数行列式为 在T的作用下 区域D的 所以 例如 积不出来 计算 其中D是由中心在原点 半径 为a的圆周所围成的闭区域 先x后y同样积不出来 2020 1 29 25 可编辑 二 二重积分的极坐标变换 当积分区域是圆域或圆域的一部分 或者被积函数 8 往往能达到简化积分区域或被积函数的目的 此时 变换T的函数行列式为 此对应不是一对一的 记忆方法 2 二重积分化为二次积分的公式 1 区域特征如图 极点在区域D的外部 特殊地 区域特征如图 极点在区域D的外部 2 二重积分化为二次积分的公式 2 区域特征如图 极点在区域D的边界上 2 二重积分化为二次积分的公式 3 区域特征如图 极点在区域D的内部 极坐标系下区域的面积 说明 1 应掌握把直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分 2 极坐标系下的二重积分为二次积分 定限方法 射线穿越法 3 何时用极坐标 例2 计算 其中D是由中心在原点 半径 为a的圆周所围成的闭区域 解 在极坐标系下 例3计算 其中D为圆域 解由于原点为D的内点 故由 12 式 有 解利用极坐标变换 由公式 12 容易求得 例5 将 表示为极坐标下的累次积分 解 在极坐标系下 可表示为 于是原式 例6 设f x 连续 则 等于 2006 可表示为 解 例8 计算二重积分 其中积分区域为 1 1 解 如图 记 于是 思考 解一 利用极坐标计算 思考 解二 利用对称性 三 二重积分的广义极坐标变换 当积分区域为椭圆或椭圆的一部分时 可考虑用如 下的广义极坐标变换 并计算得 解由对称性 椭球体的体积V是第一卦限部分体 为底的曲顶柱体 所以 应用广义极坐标变换 因此 令 则D的原象为 内容小结 1 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 若积分区域为 则 若积分区域为 则 2 一般换元公式 且 则 在变换 下 则 极坐标系情形 若积分区域为 3 计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 先积一条线 后扫积分域 充分利用对称性 应用换元公式 所割下部分的体积 称为维维安尼 Viviani 体 解由所求