东南大学工科数分第四章习题.doc

习题4.11写出下列级数的一般项，并用表示级数：（1）；（2）；（3）；（4）。2已知级数的部分和如下，试写出该级数并求其和：（1） ； （2）。3利用级数收敛性的定义判别下列级数的敛散性. 并对收敛级数求和：（1）； （2）； （3）；（4） ； （5）； （6）。4证明：数列收敛级数收敛。这个结论表明，也能将研究数列的敛散性问题转化为研究级数的敛散性问题.5若级数与中有一个收敛，另一个发散，证明：级数必发散。如果所给两个级数均发散，那么级数是否必发散？6已知求的和.7设级数的前项之和，并且,证明：该级数收敛且其和为.8利用级数性质判别下列级数的敛散性：（1）； （2）； （3）； （4）。9试用柯西收敛原理证明：若级数收敛，则.10研究级数的收敛性.11下列命题是否正确？若正确给出证明，若不正确，举出反例.（1）若,且收敛，则必收敛；（2）若收敛，且，则；（3）若收敛，且，则必收敛；（4）若数列单调减，且,则必收敛；（5）若发散，则必发散；（6）级数收敛的充分必要条件是前项之和所构成的数列有界.12用比较判别法或其极限形式判别下列级数的敛散性：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）；（6）； （7）。13用比值判别法判别下列级数的敛散性：（1）； （2）；（3） ； （4）。14用根值判别法判别下列级数的敛散性：（1）； （2）；（3）； （4）。15判别下列级数的敛散性.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）。16证明：若，则级数发散.17设级数收敛，且，则.18利用级数理论证明：当时，是比高阶的无穷小量.19讨论下列级数的敛散性，并对收敛级数说明是绝对收敛还是条件收敛：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7） ； （8）。20判定级数的敛散性.21设为实数，讨论级数的敛散性.22已知级数与都收敛，且，证明也收敛.23若级数都收敛，证明：，都绝对收敛.24设，且有，证明：（1）若级数收敛，则收敛；（2）若级数发散，则发散.25设，且，证明：（1）当时，级数收敛；（2）当时，则级数发散.26用Cauchy收敛准则判别下列级数的敛散性:（1） ； （2）。27在级数中，设，则与分别称为的正部和负部，证明：（1）绝对收敛的充分必要条件是正项级数与都收敛；（2）条件收敛的必要条件是与都发散.习题4.21说明函数项级数的逐点收敛与一致收敛的区别和联系，并且用语言表述级数在集合上不一致收敛于函数.2证明：若函数列在上一致收敛于f，则在D上一致收敛于| f |.3设在D上一致收敛于f，在D上一致收敛于g，证明在D上一致收敛于.4讨论下列函数列在所给区间内的一致收敛性：（1）；（2）；（3）；5讨论下列级数的一致收敛性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；6设在0，a上连续，又，证明：在0，a上一致收敛于零.7证明：级数关于在上一致收敛但对任何并非绝对收敛.而虽在上绝对收敛，但并不一致收敛.8证明：若在上一致收敛，那么在上也一致收敛.9证明：函数在内连续，并有连续的导函数.10（函数列的Cauchy收敛原理）设是集合D上的一个函数列，证明：在D上一致收敛的充要条件为是D上的基本列，即使得，恒有.11若级数在开区间内任一闭区间上一致收敛，则称该级数在上内闭一致收敛。证明：若在上内闭一致收敛，则它在内逐点收敛.若在内闭一致收敛于，且在上连续，则在上连续.12如果，在上是单调函数，并且级数在的两端点处绝对收敛，证明它在上绝对一致收敛（即绝对值级数一致收敛）.习题4.31求下列各级数的收敛域：（1）； （2）；（3） ； （4）；（5）； （6）；（7） ； （8）；（9） ； （10）。2设幂级数在处条件收敛，求的收敛区间.3设幂级数的收敛半径为，的收敛半径为，讨论下列级数的收敛半径：（1）； （2）。4求下列函数的Maclaurin展开式（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）； （8）。5设，求。6求下列函数在给定点处的Taylor展开式：（1） ； （2）；（3） ； （4）。7求下列幂级数的和函数：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）。8利用幂级数求下列常数项级数的和：（1）； （2）；（3）； （4）。9说明函数在处的Taylor公式，Taylor级数以及Taylor展开式有什么区别和联系.10求下列各数的近似值，精确到.（1）e ； （3）sin10； （3）； （4）。11利用Euler公式将与展开成x的幂级数.12将（1） ， （2）展开为x的幂级数。13设幂级数的收敛区间为，并且在处绝对收敛，证明它在上一致收敛.14如果正项级数收敛，证明：在上连续.15设， ，且,证明：习题4.41什么叫正交函数系？证明函数系，是所给区间上的正交函数系.2设是周期为的函数的Fourier级数的和函数，在一个周期上的表达式为，求的表达式3求下列函数的Fourier级数，它们在一个周期内分别定义为：（1） ； （2）；（3） ； （4）。4将下列函数展开为Fourier级数，它们在一个周期内的定义分别为（1） ； （2） ；（3） ； （4）。5将下列函数展开为指定的Fourier级数：（1） 正弦级数；（2） 余弦级数；（3） 正弦级数；（4） 余弦级数，并求级数的和.6将分别展开成正弦级数及余弦级数，并进一步求证：（1） ； （2）。7将周期为T的函数展开为复数形式的Fourier级数，并画出它们的频谱图.8设