与等差数列有关的数学竞赛题的常见解法.pdf

2 中 等 数 学 与 等 差 数 列 有 关 的 数 学 竞 赛 题 的 常 见 解 法 孙璐 倪 克 琳 李 宝 毅 1 天津师范大学数学科学学院2 0 1 2级硕士研究生 3 0 0 3 8 7 2 天津市河东区常州道小学 3 0 0 2 5 0 3 天津师范大学数学科学学院 3 0 0 3 8 7 中图分 类号 O 1 5 6 1 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 4 0 6 0 0 0 2 0 5 本讲适合高中 数列是以正整数集 或其有限子集 为定义 域的函数 是一列有序的数 递归数列是一种用前 k 项和递归关系 a 口 口 l 口 一 1 确定的数列 中学数学中常见的等差数列 口 口 d 和等比数列 0 a n q 是最简单的一阶递归数 列 尽管等差数列的定义和基本性质 I 口 口 l n 一 1 d 2 a 1 0 口 2 a I d 2 n d J 非常简单 但将这些性质与其他代数 数论和组合 等领域的思想方法有机地结合 可以拓展学生的 知识面 加强知识点之间的内在联系 提高综合解 题能力 促进学生在数学竞赛中的全面发展 本文 撷取几例加以分析 例 1 若 1 在等差数列 中 则此数列 中不可能存在构成等比数列的三项 2 0 0 2 罗马尼亚数学竞赛 哆 析 设 I1 一 i d 且 1 贝 0 d 锝 假设数列 中 是组成等 比数列 的连续三项 则 l m f d 1 一1 1 M 一 1 收稿 日期 2 0 1 4 0 2 2 2 f n Z d 1 一1 1 J7v 一1 f P Z d 1 一1 1 P 2 1 其中 M P 均为有理数 由等比数列基本性质得 即 1 一 1 1 M 一 1 1 P 一1 展开上式 由 为无理数 比较对应项系数 A 曰 0 A B 0 其中 A 日 Q 得 f 2 1 一 N 1 一 P M 1 一 M P 1 一 N 2 1 一 M 1 一 P 2 P M f 2 N一 2 J7 72 M P 2 P M j I 3 2 2 3 P M M P 以上两式相加得 MP 将上式代入式 得 2 N M P 故 M P M P 一 4 M P 2 N1 一 4 0 M P N M P m n p 因此 数列 中不可能存在构成等比数列 的三项 从而 命题成立 注 本题将等差数列 等比数列的性质与有 理数 无理数的概念有机地结合 巧妙地利用辅助 变量 N P简化了展开 整理和解方程组的代 2 0 1 4年第 6期 3 数运算 在一些情形下 通项设为 a 将 便于讨论和解决问题 例 2 设 n 2 a 1 a 2 a 为正数 且 a 2一al a3一a2 an l an 1 0 证明 麦 1 a na 3 a a 1a 2a na n 1 n 2 二 并指出等号成立的条件 第 7届中国香港数学奥林匹克 分析 不妨设数列 a 的公差为d 显然 当d 0时 式 等号成立 以下不妨设 d O 注意到 不等式 的右边中 1 1 一 一 I 一 J 故原命题 铮 1 1 an 1 一 1 一 当 2时 由 0 0 一 d 2 a d a d a k l a 一 1 1 1 1 a k 1 一a k 一 1 al 2一 d 1 一 1 j 麦 0 i 1 2 2 0 1 1 且 a b i C lj 均为等 差数列 若f x 存在实根 则 戈 中至多有多少个多项式无实根 据第 3 7 届俄罗斯数学奥林匹克改编 分析 由 a 为等差数列知 口 2 1 0 0 5 1 口 l 0 0 6 2 O l l a l 0 0 6 U 同理 b i 2 O l l b l 0 0 6 c l 2 01 1 c l o 0 6 故F 2 o 1 1 f 嘶 存在实 根 即 瞄 存在实根 设实根为 当 1 1 0 0 5时 注意到 厂 2 0 12 一 Z 0 0 6 存在实根 即 0 0 l2 一 0 0 则 一 中至少有一个小 于或 等 于零 从而 A x 厂 2 呲一 中至少有一个存在 实根 所以 中至少有 1 0 0 6个存在实根 即至多有 1 0 0 5 个不存在实根 接下来给出 中有 1 0 0 5个不存在实 根的具体例子 对于 i 一1 0 0 6 当 1 1 0 0 6 时 存在实根 当 1 0 0 7 2 0 1 2时 不存在实根 注 本题用到了中项公式的推广形式 2 a m a m一 am 例 4 在一 个 由正整 数构 成 的等 差数 列 a 1 a 2 中 对任意的 1 Z 有 2 0 0 5 l a n a 3 1 证明 2 0 0 5 I a 第 3 l 届俄罗斯数学奥林匹克 第四轮 分析 设等差数列 a C Z 的公差为d 因为2 0 0 5 5 x 4 0 1 所以 已知条件中 对任 意的 n Z 有 2 0 0 5 I 口 口 3 l 等价于 5 I a 或 5 I 口 3 l 且 4 0 1 I a 或 4 0 1 I a 3 l 结论 等价于 5 I a 且 4 0 1 I a 假设存在 n z 使得 5 a 删 则 5 I a 且 5 I a 6 2 由整除的性质得 5 I a 以一 a 即 5 1 6 2 d 5 I d 因为 a 3 1 a 3 1 d 且 5 I a 所以 5 I a 1 4 中 等 数 学 这与假设矛盾 因此 对任意的 n Z 有 5 l a 埘 分别取 1 l tl 2 则 5 l 口 3 2 5 I el 3 3 于是 5 l f 3 3 一n 3 2 即 5 I d 结合 a 3 2 口 l 3 1 d 5 I a 3 2 得 5 I a 1 从而 对任意的 n Z 有 5 1 0 假设存在 n Z 使得 4 0 1 十 a 则 4 0 1 i o 且 4 0 1 l o t 6 2 即 4 0 1 1 6 2 d 4 0 1 l d 因为 4 0 1 I n 且 4 0 1 I d 所 以 4 0 1 1 0 3 1 这与假设矛盾 因此 对任意的 凡 Z 有 4 0 1 I a 3 1 分另 4 取 n 1 2 贝 0 4 0 1 I 口 3 2 4 0 1 I 口 3 3 于是 4 0 1 I a 3 3 一口 3 2 即 4 0 1 I d 结合 3 2 血 1 3 1 d 4 0 1 I 口 32 得 4 0 1 I a 1 从而 对任意的 n Z 有 4 0 1 I a 综上 5 口 4 0 1 I a 进而 2 0 o 5 l 口 注 本题可以推广为 对于固定的正整数 求所有可能的正整数 k 使得对于任意等差数列 z 若对任意的 n Z 有 k l n 8 则 kI a 例 5 设集合 X 1 2 1 0 0 A为 的任 意 1 O 元子集 证明 X A中必有 l O个元素组成的 等差数列 I 3 第 2 4届立陶宛国家队选拔考试 分析 将集合 中元素列成如下 1 0 1 0的 数阵 1 2 3 1 0 1 1 l 2 1 3 2 0 2 l 2 2 2 3 3 O 91 9 2 9 3 1 0 0 故各行或各列的十个数分别构成等差数列 假设存在 1 O元子集 A 使得 X A中不含 l 0 个元素组成的等差数列 显然 每行中必有集合 A 中唯一元素 每列中必有集合 A中唯一元素 若第 i 1 i 9 行中集合 A的唯一元素为 i 对应 1 0 i 一1 则第 i 1 行 中 i 1 1 i 1 2 i 1 J 中必有集合 A 中元素 否则 1 i 1 0 i 1 1 i 1 这 1 0个数构成等差数列 矛盾 若第 1 9 行的第一个数在集合 A中 则此行其余九个数和下一行第一个数可组成等差 数列 与假设矛盾 因此 第一列中集合 的唯一 元素只可能在第十行 同理 若第 i 1 8 行 的第二个数在集合 A中 则此行其余八个数和下一行前两个数可组 成等差数列 与假设矛盾 因此 第二列 中集合 A 的唯一元素只可能在第九行 依此类推 故 A 1 O l 9 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 7 3 8 2 9 1 另一条对角线上的十个元素 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 1 0 0 组成等差数列 与假设矛盾 综上 原命题成立 注 本题若在 1 0 1 0的表格中划去一条对 角线上的 1 O 1 9 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 7 3 8 2 9 1和右 下角的 1 0 0 共 1 1 个数 则余下的 8 9个数中不 存在构成等差数列的 1 0项 本题可以推广为 当 3时 设 X 1 2 几 求最大正整 数 k 使得对于集合 x的任意 k 元子集 A X A中 必有 凡 个元素组成的等差数列 例 6 设 n 6 所有不大于 n且与 凡互素的 正整数 1 口l 6 2 6 时 n I 3 当公差 d 1 时 不大于 的正整数均与 互 素 即n为大于 6的素数 当 d 2时 不大于 n的正奇数 1 3 5 n 一1 均与 n 互素 所以 2 I 3 当 d 3 有 a l 1 a 2 1 d 4 所 以 2I n 且 3 若 d 三1 m o d 3 贝 0 3 l 1 2 d 即 3 I a 与 3 I 矛盾 若 d 一2 m o d 3 则 3 I 1 d 即 3 I a 与 3I 矛盾 2 0 1 4年第6期 5 因此 3 l d 故 口 凡 一 1 1 n 一 1 d 一1 m o d 3 与 3 I n矛盾 综上 满足题 目条件的 n为大于 6的素数或 2的整数次幂 注 等差数列的公差是非常重要的 有相当 一 部分与等差数列和数论有关的数学竞赛题的解 法是从讨论公差的取值而展开的 例 7 确定由七个两两不同素数组成的等差 数列的最大项的最小可能值 2 0 0 5 英国数学奥林匹克 分析 设此七个不同的素数为 P i 1 2 7 且 P 2 p l d P 3 p 1 2 d P 4 p 1 3 P 5 p1 4 d P 6 pl 5 d P 7 p1 6 d 其中 公差 d Z 因为 P 2 P 1 d和 P 3 P l 2 d为两个奇素 数 所以 公差 d为偶数 且 p I 3 若 3十 d 贝 0 P P P 2 d P P 2 2 d模 3 两两不同余 其中必有一个为 3的倍数 这与 P P p 均为大于3的素数矛盾 故 3 I d 且P I 5 若 5 d 则 P 2 p 3 p 2 d P 4 p 2 2 d P 5 p 2 3 d p 6 p 2 4 d 这五个数模 5两两不同余 其中必有一个为 5的 倍数 与它们均为大于 5的素数矛盾 所以 5 I d 且 P I 7 综上 3 0 l d 且 P i 7 若 P l 7 且 7十 d 则 Pl P 2 pl d P 3 p l 2 d P 4 p1 3 d P 5 p1 4 d p 6 p 1 5 d P 7 p1 6 d 这七个数模 7两两不同余 其中必有一个为 7的 倍数 与它们均为大于 7的素数矛盾 若 P l 7 且 7 I d 则 2 1 0 I d 从而 p 7 7 2 1 0 6 1 2 6 7 接下来讨论P 7 d 3 0 k的情形 注意到 1 8 7 p 1 3 0 x 6 1 1 1 7 所以 Il 1 2 3 6 注意到 2 4 7 p l 3 0 x 8 1 3 1 9 所以 Ji 4 当 5时 等差数列 7 1 5 7 3 0 7 4 5 7 6 0 7 7 5 7 9 0 7 均为素数 且 9 0 7 4 若 口 d 1 由A 三口 m o d d 得 d 1 同理 B 兰n ro o d d 可 推出 召 d 1 因此 存在 t Z 使得 t B A ro o d d 故 t B A ro o d d 三口 ro o d d 另一方面 因为 B 兰 口 ro o d d 所以 t 三0 ro o d d 则当 后 充分大时 t k d 兰 ro o d d 兰口 ro o d d 且 t k d 口 即 t 在此等差数列 中 命 题成立 若 口 d 戈 1 记 口 n d d 口 d 1 若 d 1 则由 6 中 等 数 学 f A in roo d d r 4 薹口 roo d d B 兰 a ro o d d B 兰 口 ro o d d 其中 n 0 与 d 互素 从而 A d 1 B d 1 同理 知存在 t Z 使得 t B三A ro o d d 则 t B A ro o d d 兰0 ro o d d 另一方面 因为 z B wt 口 m o d d 所以 t 三0 roo d d 由 d 1 知存在 Z 使得 t k d 0 ro o d 即 k d 0 三口 roo d 由中国剩余定理 知有无穷多个正整数 Ji2 满足 d 三8 ro o d d 其中 d d x t 中必有一个大于 口 即 t k d 兰口 ro o d d 在此等差数列中 命题成立 若 戈 d 1 设 P是 d 的一个素因子 且 口中P的指数为 d中P的指数为口 故 0 d 中P的指数为 ra i n O t JB 1 d 中P的指数为卢一 ra i n 卢 1 即由P是 d 的素因子可得到 1 此数列中任一项 0 中P的指数均为 由 0 n d A 知 为偶数 由 n 2 d B 知 为 3的倍数 故 O t 为 6的倍数 注 利用辅助数列 6 I n z 公 差 dI P 1 存在一个大于 n的整数 d 使其与数列 口 口 0 中的每个数均不互素 如 d为数列 0 a 中所有数的乘积 显然 口 b 口 d 1 3 设等差数列 l 0 Z 中包含一个正 整数的 j Z 次幂 证明 此数列包含一个 由正整数的 j 次幂组成的子列 并举例说明存在 一 个包含无穷多个立方数 且不包含完全平方数 的等差数列 b I b Z 2 0 1 0 克罗地亚数学奥林匹克 提示 设存在 n A Z 使得 口 a A 则对任意的 Z 有 A 口 且 2 0 1 4年第 6期 7 解题小品 削足适履 伏 奋 强 西北师范大学附属中学 7 3 0 0 7 0 中图分类号 O1 4 1 2 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 4 0 6 0 0 0 7 0 2 削足适履 原出自 淮南子 说林训 意指 鞋小脚大 就把脚削去一块来凑合鞋的大小 比喻 不合理地迁就凑合或不顾具体条件生搬硬套 在 某些数学题中 由于结论过强 不易从题设条件出 发去证明 可以适 当地 削足适履 起到意想不 到的效果 例 1 设 口 口 为集合 S 1 2 1 7 的一个八元子集 1 证明 存在正整数 尼 使得方程 一 口 后 1