偏导数在几何上应用总述.doc

偏导数在几何中应用的综述王德才201121102340电子商务1133班一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数z=f(x, y), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y固定, 这时它就是x的一元函数, 这函数对x的导数, 就称为二元函数z=f(x, y)对于x的偏导数. 定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内有定义, 当y固定在y0而x在x0处有增量Dx时, 相应地函数有增量f(x0+Dx, y0)-f(x0, y0). 如果极限 存在, 则称此极限为函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作, , , 或.例如. 类似地, 函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对y 的偏导数定义为, 记作 , , , 或fy(x0, y0). 偏导函数: 如果函数z=f(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x、y的函数, 它就称为函数z=f(x, y)对自变量的偏导函数, 记作, , , 或.偏导函数的定义式: . 类似地, 可定义函数z=f(x, y)对y的偏导函数, 记为 , , zy , 或. 偏导函数的定义式: . 求时, 只要把y暂时看作常量而对x求导数; 求时, 只要把x暂时看作常量而对y求导数. 讨论: 下列求偏导数的方法是否正确？ , . , . 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u=f(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义为 , 其中(x, y, z)是函数u=f(x, y, z)的定义域的内点. 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题. 例1 求z=x2+3xy+y2在点(1, 2)处的偏导数. 解 , ., . 例2 求z=x2sin 2y的偏导数. 解 , . 例3 设, 求证: . 证 , . .二、偏导数的求法当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)都存在时， 我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导， 那么称函数f(x,y)在域D可导。 此时，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数， 称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。三、元偏导数的几何意义1表示固定面上一点的切线斜率 fx(x0, y0)=f(x, y0)x是截线z=f(x, y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率. fy(x0, y0) =f(x0, y)y是截线z=f(x0, y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率. 2 偏导数与连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如 在点(0, 0)有, fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续.提示: , ; , . 当点P(x, y)沿x轴趋于点(0, 0)时, 有 ; 当点P(x, y)沿直线y=kx趋于点(0, 0)时, 有 . 因此, 不存在, 故函数f(x, y)在(0, 0)处不连续. 类似地, 可定义函数z=f(x, y)对y的偏导函数, 记为 , , zy , 或. 四、偏导数的几何应用1.空间曲线的切线和法平面设空间曲线的参数方程为假定均可导,不同时为零,曲线上对应于及的点分别为和.割线的方程为当沿着曲线趋于时,割线的极限位置是在处的切线.上式分母同除以得当(即)时,对上式取极限,即得曲线在点的切线方程向量是切线的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向余弦即为切线的方向余弦.通过点与切线垂直的平面称为曲线在点的法平面.它是通过点,以切线向量为法向量的平面.因此,法平面方程为例4求螺旋线在点的切线及法平面方程.解点对应的参数.因为,所以切线向量,因此,曲线在点处的切线方程为在点处的法平面方程为即例5求曲线上点处的切线和法平面方程.解把看作参数,此时曲线方程为在点处的切线方程为法平面方程为即2.曲面的切平面与法线设曲面的方程为是曲面上的一点,假定函数的偏导数在该点连续且不同时为零,设是曲面上过点的任意一条曲线,的方程为,与点相对应的参数为,则曲线在处的切线向量为.因在上,故有此恒等式左端为复合函数,在时的全导数为记,则,即与互相垂直.由于曲线是曲面上过的任意一条曲线,所以在曲面上所有过点的曲线的切线都与同一向量垂直,故这些切线位于同一个平面上.这个平面称为曲面在处的切平面.向量是切平面的法向量,称为曲面在处的法向量.切平面方程为过点与切平面垂直的直线,称为曲面在点处的法线,其方程为若曲面方程由给出,则可令于是这时曲面在处的切平面方程为法线方程为例6求椭球面在点处的切平面和法线方程.解设故在点处椭球面的切平面方程为即法线方程为例7求旋转抛物面在点处的切平面方程和法线方程.解由得切平面方程为即法线方程为五、多元函数极值1.二元函数的极值例8曲面在点有极小值.例9曲面在点有极大值.与一元函数极值类似,多元函数的极值也是相对某个邻域而言的,是一个局部概念.定义1设函数在点的某个邻域内有定义,若对改邻域内任一点都有(或)则称函数在点有极大值(或极小值).而称点为函数的极大(或极小)值点.极大值点与极小值点统称极值点.2.极值的检验法(1)一阶偏检验定理1(必要条件)设函数在点处有极大值,且在该点的偏导数存在,则必有.证明不妨设在点处有极大值,根据极值定义,对的某一邻域内的任一点,有在点的邻域内,也有,这表明一元函数在处取得极大值.因此,有同理可证与一元函数类似,使一阶偏导数的点称为函数的驻点.由定理1及例5、例6可以看出：二元函数的极值点必然是驻点或一阶偏导数不存在的点.(2)二阶偏检验定理2(充分条件)设函数在定义域内的一点处有二阶连续偏导数,且.记,则(1)当且时,函数在点处有极小值;当且时,函数在点处有极大值;(2)当时,函数在点处无极值;(3)当时,函数在点处可能有极值,也可能无极值.综上可得,具有连续二阶偏导数的函数,其极值求法如下:(1)先求出偏导数;(2)解方程组,求出定义域内全部驻点;(3)求出驻点处的二阶偏导数值:,确定的符号,并判断是否有极值,如果有,求出其极值.例10求函数的极值.解先求偏导数解方程组,求得驻点为.在驻点处,于是不是函数的极值点.在驻点处,且,所以点是函数的极小值点,为函数的极小值.3.最大值与最小值如果函数在有界闭区域上连续,则函数在上一定取得最大值和最小值.如果函数的最大值或最小值在区域的内部取得,则最大值点或最小值点必为驻点.因此,求处驻点的函数值及边界上函数的最大值和最小值,其中最大值便是函数在闭区域上的最大值,最小值便是函数在闭区域上的最小值.具体问题中,常常通过分析可知函数的最大值或最小值存在,且在定义域内部取得,又知在定义域内只有唯一驻点,于是可以肯定驻点处的函数值便是函数的最大值或最小值.例11求函数在上的最大值.解在内(),由解得驻点为.在的边界上()故函数在处有最大值.例12要做一容积为的无盖长方体铁皮容器,问如何设计最省材料?解所谓最省材料,即无盖长方体表面积最小.该容器的长、宽、高分别为，表面积为，则有消去，得表面积函数其定义域为由，求得驻点为.由于为开区域,且该问题必有最小值存在,于是必为的最小值点,此时,即长方体长、宽、高分别为,时,容器所需铁皮最少,其表面积为.例13某公司每周生产单位产品和单位产品,其成本为产品的单位售价分别为200元和300元.假设两种产品均很畅销,试求使公司获得最大利润的这两种产品的生产水平及相应的最大利润.解依题意,公司的收益函数为因此,公司的利润函数为令,得驻点.利用二阶偏检法,求二阶偏导数，显然二阶偏导数在驻点的值为。由此可见，当产品的周产量均为50个单位时，公司可获得最大利润，其最大利润为（元）六、条件极值如果函数的自变量除了限制在定义域内以外，再没有其他限制，这种极值问题称为无条件极值。但在实际问题中，自变量经常会受到某些条件的约束，这种对自变量有约束条件的极值问题称为条件极值.条件极值问题的解法有两种,一是将条件极值转化为无条件极值,如例9就是求在自变量满足约束条件时的条件极值.当我们从约束条件中解出代入中,得,就成了无条件极值,于是可以求解.但实际问题中的许多条件极值转化为无条件极值时,时很复杂甚至是不可能的.下面介绍条件极值的另外一种更一般的方法拉格朗日乘数法.设是函数在约束条件下的条件极值问题的极值点,如果函数,在点的邻域内有连续偏导数(不妨设),则一元函数在点的导数.由复合函数微分法,有由于是由所确定的,所以代入上式,消去,得即令,则有(*)称满足方程组(*)的点为可能的极值点.