重力学：第二章 地球正常重力场

1、第二章 地球正常重力场2.1 地球正常重力场的概念2.2 斯托克司定理（Stokes）和索米格兰纳（Somigliana）公式2.3 正常重力公式2.4 正常重力场的梯度2.1.1 正常重力概念的引入 地球重力的数值由赤道上的 978 Gal逐渐增加到两极的 983 Gal，要研究地球重力的变化，需要建立一个标准，即所谓“正常重力”。这个正常重力应该反映地球形状的特点以及惯性离心力的存在（如随纬度的变化）。由于地球内部物质不均匀，地球表面也不光滑，准确地计算地球的引力是十分困难的，但可以把地球内部物质分布和表面形状理想化，即假设 地球是一个两极压扁的旋转椭球体且表面光滑； 地球内部物质密度呈层

2、状均匀（层面共焦点，层内均匀）； 地球是一个刚性球体，内部各质点位置不变； 地球的质量、自转角速度不变。在这个假设前提下，构造一个正常重力场。2.1 地球正常重力场的概念2.1.1 正常重力概念的引入 用质量等于地球总质量、以地球自转角速度绕其极半径旋转的旋转椭球来模拟真实地球，用这种地球模型，在其表面上和外部空间产生的重力场称为地球的正常重力场。当正常场地球模型在地球内部定位后，地球的重力场可以分解为两部分： 正常场地球模型在该点产生的重力场 真实地球与正常场地球模型的密度分布不同在该点产生 的重力场前者称为地球在该点产生的正常重力场，后者称为地球在该点产生的重力异常场。2.1 地球正常重力

3、场的概念2.1.2 矩的概念 首先我们引入几个力学的概念矩。 在力学中常常遇到 mrk 这样的物理量，其中m为质点的质量，r为距离。这种质量与距离的k 次方之乘积的物理量统称为矩。当k=0时称为零阶矩，k=1时称为一阶矩，k=2时称为二阶矩，。对于类似地球的物体而言，有 (1) 当k=0时称为零阶矩，表示物体质量M，即2.1 地球正常重力场的概念2.1.2 矩的概念 (2) 当k=1时称为一阶矩，即当r分别为dm的到直角坐标系三个平面的距离x, y, z时，有其中x0, y0, z0表示物体质心坐标，当质心在坐标原点时，上述积分均等于零。 2.1 地球正常重力场的概念2.1.2 矩的概念 (3

4、) 当k=2时称为二阶矩，即设r为dm到原点的距离，即有r2=(x2+y2+z2)，称为物体对原点的转动惯量（或惯性矩）。 2.1 地球正常重力场的概念2.1.2 矩的概念 设r为dm分别到直角坐标系三个平面的距离，即x, y, z , 则有分别对应为物体对YOZ, XOZ, XOY三个坐标平面的转动惯量（或惯性矩）。2.1 地球正常重力场的概念2.1.2 矩的概念 设r为dm分别到三个直角坐标轴的距离，即rx, ry, rz ，则有分别为物体对X, Y, Z三个坐标轴的转动惯量（或惯性矩）。在地球形状理论中，通常用A, B, C表示Jx, Jy, Jz 。2.1 地球正常重力场的概念2.1.

5、2 矩的概念 在地球形状理论中，通常用A, B, C表示Jx, Jy, Jz 。坐标面转动惯量与坐标轴转动惯量之间存在以下关系：2.1 地球正常重力场的概念2.1.2 矩的概念 设二阶矩中r分别为xy, yz, xz，则称分别为物体的离心矩或惯性积，通常写成Jxy, Jyz, Jxz 。对于惯性轴与物体对称轴重合时，惯性积等于零，即Jxy= Jyz= Jxz =0.2.1 地球正常重力场的概念2.1 地球正常重力场的概念2.1.3 正常重力位与扰动位 引力位的球函数表达式2.1 地球正常重力场的概念2.1.3 正常重力位与扰动位 引力位的球函数表达式2.1.3 正常重力位与扰动位2.1 地球正

6、常重力场的概念令则2.1.3 正常重力位与扰动位U 为正常重力位，T 为扰动位。2.1 地球正常重力场的概念2.1.3 正常重力位与扰动位 首先来看正常引力位Vnormal。2.1 地球正常重力场的概念2.1.3 正常重力位与扰动位 2.1 地球正常重力场的概念2.1.3 正常重力位与扰动位用直角坐标系表示积分将上面坐标变换代入Vnormal，并考虑到对称性，化简即得2.1 地球正常重力场的概念2.1.3 正常重力位与扰动位由于假设了地球是以Z轴为旋转轴的旋转椭球体，即有A=B，则2.1 地球正常重力场的概念2.1.4 地球的椭球面方程由于 = /2- ，所以2.1 地球正常重力场的概念2.1

7、.4 地球的椭球面方程当 = 0时，有r = a（赤道半径），即其中m 表示赤道上离心力与引力之比，约为1/288。 n 与 m是同等量级的小量。将m, n 代入上式，得2.1 地球正常重力场的概念2.1.4 地球的椭球面方程为了方便讨论，考虑地球扁率的一次方量级（约1/300），有则有这就意味着 p 点位于球面上。2.1 地球正常重力场的概念2.1.4 地球的椭球面方程 如果令U为某一常数，即上述方程即为重力等位面方程。 当 =0时，赤道处的重力位为即有则2.1 地球正常重力场的概念2.1.4 地球的椭球面方程将上式分母按1+(n+m/2 )-1泰勒展开，只保留 m, n 一次项，则有得到地

8、球椭球体面方程。2.1 地球正常重力场的概念2.1.4 地球的椭球面方程证明：考虑绕Z轴旋转的标准椭球面方程为 （ a, c 分别为椭圆的长短轴）球坐标中有 令扁率为则有 或2.1 地球正常重力场的概念2.1.4 地球的椭球面方程将(1- )-2展成级数并略去 的二级小量代入，可得再将展成级数并略去 2sin 的二级小量，即有精确到扁率量级的旋转椭球体面方程克莱饶地球椭球比较2.1 地球正常重力场的概念2.1.4 地球的椭球面方程其扁率为若保留 (2)项，可得到更高精度的椭球面方程，如克拉索夫斯基椭球面方程2.1 地球正常重力场的概念2.1.5 克莱饶（Clairaut）定理 正常重力公式指的

9、是计算地球椭球在其表面上的正常重力值的公式。我们知道，将要求椭球体面上某一点的正常重力，只要对该点的正常重力位求梯度即可。重力方向就是正常重力位的梯度方向，也即是椭球面内法线 n 的方向。从数值上说，求椭球体面上某一点的正常重力 就等于正常重力位 U 对位函数内法向 n 求导数 2.1 地球正常重力场的概念BnpZO2.1.5 克莱饶（Clairaut）定理将 对 r 求导 并将 和代入得2.1 地球正常重力场的概念2.1.5 克莱饶（Clairaut）定理化简后只保留 m，n 一次项，得到正常重力公式近似表达为当 = 0时，有赤道上的重力则有精确到扁率量级的，与克莱饶地球椭球对应的正常重力公

10、式。2.1 地球正常重力场的概念2.1.5 克莱饶（Clairaut）定理令则在= /2处，有得到地球重力扁率由 得到克莱饶定理可以用于确定椭球的参数。2.1 地球正常重力场的概念表示正常场地球模型的重力扁率和旋转椭球的扁率之间的关系称为Clairaut 定理（1738） 通过建立正常重力或正常重力位的概念，我们可以得到在一个与地球基本形状相符的旋转椭球体表面上的重力等位面，并由此可以得到这个等位面上的重力值。这个等位面就是我们希望找到的正常重力等位面和正常重力值。这种方法又称为“拉普拉斯方法”。 然而，当需要更高精度的公式时，例如保留4阶球函数，其所表示的球体就不再是一个标准的旋转椭球体，而

11、是一个在中纬度与严格的椭球体存在较大差异的“扁球体”。本节将通过斯托克斯定理和索米格兰纳公式的引入，讨论“严密”公式。2.2 斯托克司定理和索米格兰纳公式克莱饶定理第二章 地球正常重力场2.1 地球正常重力场的概念2.2 斯托克司定理（Stokes）和索米格兰纳（Somigliana）公式2.3 正常重力公式2.4 正常重力场的梯度2.2.1 斯托克司定理（Stokes, 1849）（1）如果知道了一个等位面的形状 （2）它内部所包含的物质的总质量 M（3）以及整个物体绕某一固定轴作匀速旋转的角速度 则这个等位面上及其外部所有点上的重力位都可以单值地被确定，而无需知道地球内部质量的具体分布情况

12、。 2.2 斯托克司定理和索米扬那公式M逆定理：如果已知一个封闭水准面上的重力值，且其外部无质量，就可以确定这个封闭面的形状。（参见局部重力场逼近理论和方法, pp.7）2.2.1 斯托克司定理关于斯托克司定理的应用，必须强调几个问题：1. 定理规定了大地水准面以外不能有质量存在，因此，必须将陆地物质的产生的引力效应去掉，才能应用；2. 斯托克司问题是根据已知的大地水准面形状来求外部重力位和重力，但现实是我们要确定大地水准面的形状。解决办法：首先解地球椭球的斯托克司问题，求外部正常重力位和重力值，然后利用实测的重力位与正常重力位的差值去求大地水准面相对于地球椭球体面的起伏和倾斜，以此确定大地水

13、准面的形状。2.2 斯托克司定理和索米格兰纳公式2.2.2 索米格兰纳公式 斯托克司定理告诉我们，正常重力场公式不必采用球谐函数级数展开方法去确定，而可以通过严密的公式导出。1929年意大利学者索米格兰纳直接从旋转椭球体面出发，导出一个封闭的正常重力公式。 设椭球的短铀c与OZ轴重合。长轴a在赤道平面内，则旋转椭球面方程为 2.2 斯托克司定理和索米格兰纳公式令 旋转椭球扁度uvz2.2.2 索米格兰纳公式用双曲椭球坐标表示拉普拉斯方程：双曲椭球坐标w,u,v与x,y,z的关系如下其中，u为改（归）化纬度余角，v为经度，w为椭球参数，c2=a2-b2, 且2.2 斯托克司定理和索米格兰纳公式2

14、.2.2 索米格兰纳公式联立上述三式，分别消去u,v、w,v 和 w,u，可得到一簇共焦点椭球面一簇共焦点单叶双曲面半平面（与z轴重合）可以证明，三个坐标曲面是正交的。2.2 斯托克司定理和索米格兰纳公式2.2.2 索米格兰纳公式按双曲椭球坐标系，拉普拉斯方程可写成代入边界条件，经过化简，得引力位、重力位为2.2 斯托克司定理和索米格兰纳公式对重力位沿椭球面内法线方向求导，化简可得索米扬娜公式分别令u=0和u=/2，可得赤道和两极处正常重力，并代入可得2.2 斯托克司定理和索米格兰纳公式2.2.2 索米格兰纳公式考虑到2.2 斯托克司定理和索米格兰纳公式令 重力扁度2.2.2 索米格兰纳公式2

15、.2 斯托克司定理和索米格兰纳公式2.2.2 索米格兰纳公式将后一项展开，若顾及二次项，则得若顾及则得正常重力公式的一般形式2.2 斯托克司定理和索米格兰纳公式2.2.2 索米格兰纳公式 需要说明的是，这里的展开与拉普拉斯方法展开不同，无论按扁率的二次方还是三次方展开，它都是一个规则旋转椭球面上的正常重力值。 若是二次方，索米格兰纳公式是顾及扁率平方小量的正常重力公式。2.2 斯托克司定理和索米格兰纳公式第二章 地球正常重力场2.1 地球正常重力场的概念2.2 斯托克司定理（Stokes）和索米格兰纳（Somigliana）公式2.3 正常重力公式2.4 正常重力场的梯度2.3 正常重力公式

16、地球从总体上说处于流体平衡状态，大地水准面接近于旋转椭球体面。所以假定：一个旋转椭球作为真实地球的理想模型，称为地球椭球。它产生规则的重力场称为正常重力场。 椭球表面正常重力场的数学表达式便称为正常重力公式。2.3 正常重力公式地球椭球必须满足四个基本条件，即椭球表面为等位面(称为正常大地水准面)；它的位W0与真实地球理想大地水准面的位相等；椭球中心与地球质心重合；椭球的质量M、惯性矩之差(C-A)以及自转角速度都和地球的相同。2.3 正常重力公式获得正常重力公式的两个途径：重力位级数展开取前面若干低阶项化简取与椭球面相近的等位面。例如克莱饶公式：直接对椭球面上引力位方程求解。例如索米格兰纳公

17、式：2.3 正常重力公式赫尔默特1909-1911年公式与赫尔默特公式配合使用的是克拉索夫斯基地球椭球，赫尔默特公式是精确到2量级的正常重力公式，即卡西尼1930年公式与海福特国际椭球配合使用的卡西尼正常重力公式为1979年国际地球物理和大地测量联合会颁布的公式常用的正常重力公式我国勘探行业2008年技术规范规定实用的公式由国际大地测量协会（IAG）推荐的1980年大地测量参考系统中的正常重力公式计算大地水准面上的重力值 ，即 基于WGS84椭球的公式2.3 正常重力公式第二章 地球正常重力场2.1 地球正常重力场的概念2.2 斯托克司（Stokes）定理和索米格兰纳（Somigliana）公

18、式2.3 正常重力公式2.4 正常重力场的梯度2.4.1 正常重力梯度 正常重力场梯度的形式：2.4 正常重力梯度2.4.2 正常重力水平梯度 通常情况下，地面直角坐标的北向坐标用x表示，而东向坐标用y表示。若z（地球椭球面内法向）方向指向地心，考虑到则2.4 正常重力梯度2.4.2 正常重力水平梯度一般水平梯度变化率很小，所以通常忽略第二项，则常用的水平梯度公式为 2.4 正常重力梯度2.4.3正常重力垂直梯度正常重力垂直梯度通常有两种形式： 1. 用球体近似代替椭球体，即有则2. 用对h进行泰勒展开，即有保留二次项，即有2.4 正常重力梯度2.4.3 正常重力垂直梯度 于是则一级近似二级近似 （采用赫尔默特1909年公式参数）2.4 正常重力梯度2.4.4 正常重力线的曲率 所谓重力线，就是在无如何