有限与无限的问题.ppt

1 有限与无限的问题 数学文化 课程组 2 高等数学与初等数学的区别 3 更加全面 更加深刻 更加细微 更加本质 更加理论化 更加系统化 4 高等数学与初等数学的区别 从研究 常量 发展到研究 变量 从研究 有限 发展到研究 无限 初等数学更多地在 有限 的领域里讨论 更多地以 有限 为手段和工具进行讨论 高等数学则更多地在 无限 的领域里讨论 更多地以 无限 为手段和工具进行讨论 5 什么是悖论悖论 从 正确 的前提出发 经过 正确 的逻辑推理 得出荒谬的结论 悖论 paradox 具体是指 由一个被承认是真的命题为前提 设为B 进行正确的逻辑推理后 得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B 反之 以非B为前提 亦可推得B 那么命题B就是一个悖论 所谓正确 6 例如 甲是乙 与 甲不是乙 这两个命题中总有一个是错的 但 本句话是七个字 与 本句话不是七个字 又均是对的 这就是悖论 7 再如 万物皆数 学说认为 任何数都可表为整数的比 但以1为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比 这也是悖论 1 外祖母悖论我会穿梭时空 回到过去 把我自己的外祖母杀了 我外祖母没了 我妈就没了 我也就没了 而我没了 就没有人杀我外祖母 我外祖母就不会死 那我又有了 而有了我 外祖母就没了 我也就没了 这就是悖论 自己与自己就有矛盾 3 说谎者循环 A说 下面是句谎话 B说 上面是句真话 2 说谎者悖论 自指引发的悖论 我正在说谎 有克利特人中的一个本地中先知说 克利特人常说谎话 乃是恶兽 又馋又懒 圣经 提多书 第一章 物理学中 平行宇宙 这一理论中 世界不是只有一个 而是有许多平行的世界存在 按照如今的历史过程 罗马帝国时代 大英帝国时代 工业时代 第一次世界大战 第二次世界大战 电脑网络 如果将整个工业时代去掉 那至此以后的历史轨迹将会得到巨大的改变 或者两次世界大战都不会出现 又或者世界大战将会在我们的另外一个平行的世界里存在 也就是说另外一个世界如今的我们可能正在遭受着战争的阴影 这个时候 外祖母悖论 就有了合理的解释 一个人可以回到过去杀死自己的外祖母 但这将导致世界进入两个不同的轨道 一条中有那个人 原先的轨道 而另一条中没有那个人 TheTimeMachine TheMatrix 13 一 芝诺悖论 由无限引出的芝诺 前490 前430 是 南意大利的 爱利亚学派创始人巴门尼德的学生 他企图证明该学派的学说 多 和 变 是虚幻的 不可分的 一 及 静止的存在 才是唯一真实的 运动只是假象 于是他设计了四个例证 人称 芝诺悖论 这些悖论是从哲学角度提出的 1 两分法 向着一个目的地运动的物体 首先要先走完路程的1 2 再走完剩下总路程的1 2 再走完剩下的1 2如此类推 以至无穷 永远不能到达终点 结论是 无穷是不可穷尽的过程 运动永远不可能开始的 15 2 阿基里斯 Achilles 悖论 阿基里斯追不上乌龟 3 飞矢不动悖论 一支飞行的箭是静止的 由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的 因此箭就不能处于运动状态 4 操场或游行队伍 A B两件物体以等速向相反方向运动 从静止的C看来 比如说 A B都在1小时内移动了2公里 可是 从A看来 则B在1小时内就移动了4公里 由于B保持等速移动 所以移动2公里的时间应该是移动4公里时间的一半 因而一半的时间等于两倍的时间 18 2 症结 有限与无限 的矛盾无限段长度的和 可能是有限的 无限段时间的和 也可能是有限的 3 芝诺悖论的意义 1 促进了严格 求证数学的发展2 较早的 反证法 及 无限 的思想3 尖锐地提出离散与连续的矛盾 空间和时间有没有最小的单位 19 芝诺的前两个悖论是反对 空间和时间是连续的 后两个悖论则是反对 空间和时间是离散的 在芝诺看来 这两种理论都有毛病 所以 运动只是假象 不动不变才是真实 芝诺的哲学观点虽然不对 但是 他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题 引起人们长期的讨论 促进了认识的发展 不能不说是巨大的贡献 从惊讶到思考 数学悖论奇景 21 二 有无限个房间 的旅馆1 客满 后又来1位客人 客满 1234 k 2345 k 1 空出了1号房间 22 2 客满后又来了一个旅游团 旅游团中有无穷个客人1234 k 2468 2k 空下了奇数号房间 23 3 客满后又来了一万个旅游团 每个团中都有无穷个客人1234 k 10001200023000340004 10001 k 给出了一万个 又一万个的空房间 24 全面 深刻地揭示本质的回答是容易推广的 25 2 客满后又来了一个旅游团 旅游团中有无穷个客人1234 k 2468 2k 空下了奇数号房间共两个这样的旅游团 所以把房间两个一份 两个一份地分 可以让两个旅游团的1号客人 2号客人 分别入住 26 3 客满后又来了一万个旅游团 每个团中都有无穷个客人1234 k 10001200023000340004 10001 k 给出了一万个 又一万个的空房间 27 全面 深刻地揭示本质的回答是容易推广的 该旅馆客满后又来了9857个旅游团 每个团中都有无穷个客人 如何安排 该旅馆客满后又来了10亿个旅游团 每个团中都有无穷个客人 如何安排 28 是否有人想提什么问题 29 4 该旅馆客满后又来了无穷个旅游团 每个团中都有无穷个客人 还能否安排 无穷大 任何一个其他问题都不曾如此深刻地影响人类的精神 任何一个其他观点都不曾如此有效地激励人类的智力 然而 没有任何概念比无穷大更需要澄清 Hilbert 30 三 无限与有限的区别和联系1 区别1 在无限集中 部分可以等于全体 这是无限的本质 而在有限的情况下 部分总是小于全体 31 当初的伽利略悖论 就是因为没有看到 无限 的这一个特点而产生的 1234567891011 n 149162536496481100121 n2 该两集合 有一一对应 于是推出两集合的元素个数相等 但由 部分小于全体 又推出两集合的元素个数不相等 这就形成悖论 32 2 有限 时成立的许多命题 对 无限 不再成立 1 实数加法的结合律在 有限 的情况下 加法结合律成立 a b c a b c a b c 33 在 无限 的情况下 加法结合律不再成立 如 34 2 有限级数一定有 和 是个确定的数无穷级数一定有 和 则不是个确定的数 称为该级数 发散 反之称为 收敛 35 2 联系在 有限 与 无限 间建立联系的手段 往往很重要 1 数学归纳法通过有限的步骤 证明了命题对无限个自然数均成立 2 极限通过有限的方法 描写无限的过程 如 自然数N 都 使时 36 3 无穷级数通过有限的步骤 求出无限次运算的结果 如4 递推公式 n 2 3 37 3 数学中的无限在生活中的反映1 大烟囱是圆的 每一块砖都是直的 整体看又是圆的 2 锉刀锉一个光滑零件 每一锉锉下去都是直的 许多刀合在一起的效果又是光滑的 38 3 不规则图形的面积 正方形的面积 长方形的面积三角形的面积 多边形的面积 圆面积 规则图形的面积 不规则图形的面积 法 用方格套 想像成透明的 方格越小 格子的数目越多 所得面积越准 39 法 首先转化成求曲边梯形的面积 不规则图形 若干个曲边梯形 再设法求曲边梯形的面积 划分 求和 矩形面积之和近似等于曲边梯形面积 越小 就越精确 再取极 就得到曲边梯形的面积 40 四 潜无限与实无限1 潜无限与实无限简史潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程 认为无限只存在于人们的思维中 只是说话的一种方式 不是一个实体 41 从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学家都持这种潜无限的观点 他们认为 正整数集是无限的 来自我们不能穷举所有正整数 例如 可以想象一个个正整数写在一张张小纸条上 从1 2 3 写起 每写一张 就把该纸条装进一个大袋子里 那么 这一过程将永无终止 因此 把全体正整数的袋子看作一个实体是不可能的 它只能存在于人们的思维里 亚里士多德只承认潜无限 不承认直线是由点构成 42 但康托不同意这一观点 他很愿意把这个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实体 这就是实无限的观点 康托的工作是划时代的 对现代数学产生了巨大的影响 但当时 康托的老师克罗内克尔 却激烈反对康托的观点 所以康托当时的处境和待遇都不太好 高斯反对实无限 反对把无穷量作为现实的实体 认为无限只不过是一种说话的方式 实无限 潜无限只是一个硬币的两个面 两种无穷思想经历了此消彼长 两种无限在现代数学中都是有用武之地 微积分采用潜无限 非标准分析采用实无限无穷本身是一个矛盾体 既是一个需无穷逼近的过程 也是一个可供研究的实体Hilbert认为 无穷是一个永恒之谜 无穷是人类心情宁静的最大敌人 44 康托GeorgFerdinandPhilipCantor 1845 1918 德国数学家 集合论的创始者 1845年3月3日生于圣彼得堡 今苏联列宁格勒 1918年1月6日病逝于哈雷 1862年17岁时入瑞士苏黎世大学 翌年转入柏林大学 主修数学 从学于E E 库默尔 K T W 外尔斯特拉斯和L 克罗内克 1866年曾去格丁根学习一学期 1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位 1869年在哈雷大学通过讲师资格考试 后即在该大学任讲师 1872年任副教授 1879年任教授 由于康托尔的无穷学说从根本上否定了 整体大于部分 的观念 而且他在无限王国走得如此远 以至于同时代的数学家和哲学家都不能理解他的观点 惧怕集合论 有人说 康托尔的集合论是一种 疾病 康托尔的概念是 雾中之雾 甚至说康托尔是 疯子 来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔 使他心力交瘁 患了精神分裂症 被送进精神病医院 1918年1月6日 康托尔在一家精神病院去世 康托的无穷集合论也导致了第三次数学危机 三次数学危机与 无限的联系 第一次数学危机的要害是不认识无理数 而无理数是无限不循环小数 它可以看成是无穷个有理数组成的数列的极限 第二次数学危机的要害是极限理论的逻辑基础不完善 而极限正是 有穷过渡到无穷 的重要手段 贝克莱的责难 也集中在 无穷小量 上 由于无穷和有穷的本质区别 所以极限的严格定义 极限的存在性 无穷级数的收敛性这样一些问题就显得特别重要 第三次数学危机的要害是 是其本身成员的所有集合的集合 这样界定集合的说法有毛病 人们犯了自我指谓 恶性循环的错误 而且 所有集合的集合 这样的说法涉及无穷多个集合 有些矛盾可能掩盖在其中难以发觉 特别是无穷集合之间也可能比较大小 这一新鲜事物让许多人难以接受 47 2 无限集合也有 大小 从 一一对应 说起实无限的观点让我们知道 同样是无限集合 也可能有不同的 大小 正整数集合是最 小 的无限集合 实数集合比正整数集 大 实数集合上全体连续函数的集合又比实数集合更大 不存在最 大 的无限集合 即对于任何无限集合 都能找到更 大 的无限集合 无穷集合 的本质 无穷集合 中一定可以找到一个真子集 与全集一一对应 如果一个集合中能够找到一个真子集 与全集一一对应 这个集合一定是 无穷集合 49 这需要 一一对应 的观点 1 一一对应 双射 单射 满射 2 集合的势 A 集合中元素的多少3 N 可数无穷势a Q a4 R 不可数无穷 称连续统势c 无理数比有理数多得多 50 5 无穷集合可能有不同的势 其中最小的势是a 不存在最大的势 6 连续统假设 长期未彻底解决 连续统假设 可数无穷a是无限集中最小的势 连续统势c是 否 次小的势 51 康托1882年曾认为他证明了这一假设 后来发现证明有错 直到现在 这一问题仍吸引着一些数学家的兴趣 无限可分与原子论 很多思想家都研究过无穷大 古希腊的哲学家们就一条线段 或者就任何数量而言 是不是可无限地被分割 或者说是不是可以最终得到一个不可分割的点 即 原子 等问题 展开了无休止的争论 他们的现代追随者 物理学家们今天仍然还在设法解决同一个问题 他们使用巨大的粒子加速器寻找 基本粒子 那些构成整个宇宙的基本砖块 天文学家一直在从另一个极端的 无限广阔的 尺度上思索着无穷大问题 我们的宇宙真像它所呈现在晴朗的黑夜那样无穷无尽 或是它有一个边界 在这个边界之外什么东西也不存在 吗 有限宇宙的可能性似乎是对我们常识的一种挑战 我们可以在任何方向上一直走下去而永远也到不了 边 这个事实不是很清楚吗 但是我们将不难看出 当研究无穷大时 常识 是一个非常差劲的向导 古希腊哲学家 诗人卢克莱修认为宇宙是无限的 在其哲理长诗 物性论 中曾提到 如果你说宇宙是有限的 那么我的拐杖就能扔出这个有限的宇宙去 德国数学家黎曼对这一问题给出了解答 举例说明 一只圆盘的表面是有限的 也是有界的 一只蚂蚁走到圆盘的边界就会掉下去 而一个足球的表面是有限的 却是无界的 无论蚂蚁在球面上怎么走都不会碰到边界 这种对 无限 和 无界 的区分 尤其是有限无界的提法具有很重要的哲学意义 否定了宇宙是无限的说法 即 这个宇宙是有限的 而不是无限的 这个宇宙不是无限宇宙中的有限宇宙 在这个宇宙之外已经没有任何空间了 55 五 哲学