中等数学2013.01.pdf

2 中 等 数 学 有关正方形共点问题 的解题思路 武 炳 杰 复旦大学数学科学学院 o 9级 2 0 0 4 3 3 中圈分类号 O1 2 3 1 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 3 0 1 0 0 0 2一 O 3 本讲适合初 中 正方形是一个 很常见 的图形 本文 旨在 通过一些几何变换和基本图形 针对三角形 四边形各边向外作正方形的问题及多个正方 形共顶点的图形做一些分析 尤其针对如何 处理中点 垂直及共点的关系 提升处理相关 问题的能力 1 由正方形产生旋转 9 O 的全等三角形 例 1 如 图 l 四边形 A D F C 四边 形 C B E G均为正方形 是 D E的中点 M N i A B 证明 是 A B的中点 F A N l B K 图 1 2 0 0 4 全国初中数学联赛 分析 由正方形的两个对角点向过另 一 顶点的直线作垂线可以得到两个旋转了 9 0 的全等三角形 利用这个基本图形便可迎 刃而解 进一步 可知点 M到 A B的距离即是 A B长度的一半 则 是定点 证明 如图 1 分别过点 D c E作 A B 的垂线 垂足分别为 l 易知 D J A A I C 收稿 日期 2 0 1 2 0 9 1 2 E K B B I C 所以 A J I C B K 而在直角梯形 D J K E中 是 D E 的中 点 且 M N上A B 故MN是中位线 从而 是 的中点 也是 A B的中点 2 用 中位线性质证明线段垂直且相等 当涉及到正 方形 中心时 旋 转 9 0 的全 等三角形则需要利用联结各边 中点来产 生 运用中位线的性质转移直角及等量以达到证 明的结论 首先给出下面一个基本图形 例 2 如图 2 在 A B C两边 A B A C上 分别向外作正方形 A B D E 正方形 A C F G 设 日 K M 分别 是 B E C G B C的 中点 证 明 MH上 MK 且 MH MK 一 F B M C 图 2 1 9 9 1 太原市初中数学竞赛 证明如图 2 易知 A E C逆时针旋转 9 O 便得到了 A B G 所以 E C l B G 且 EC BG 又 分别是船 C G B C的中点 则 3 2 0 1 3年第 1 期 M H E C M K B G 因此 MH上 MK 且 M f H 过此基本图形可继续考虑四 一 边 形 喜 譬 器 甫 形 H 麓 la IJr t 方 形 证 明 两组对边上正7 j 彤 刚比 等且 1 孜蔼条线 与正方 形的边关 系不 十 嘉 萎 嚣 作 为 引 理 来 得 到 两 对 垂 直 且 相 寺 刚 构 造 亲 盖 三二 f电a N图 3 作 出 满 足 条 件 的 图 形 取 n 曼 作M P M q M K n n r 1 矗 r 群 囊 r 0 罔 3 古臼 和 删 MQ 针 MR 旋 MS Q M S 直且相等 则 顺时针疑转 肥 一 器嚣三 角 形 第 三 等 边向外作的正方形中心 口 j 以得到力 出 直且相等的 八雠的三边 A B B c c A 1 4 1 1 喃 恫 军 雾 为 边 分 别 向 外 作 正 方 形 甲 L 竹 力 一 G i f Y l E 析 G 注 A 意 F 到 11 E 正 G方 形 A 的 F 中心其实是对 伯 姥 箸 主 蒡 奄 霎 器 嘉 甏 中 心 连 线 这产生了很多对笙寺二 彤 反院 盖 盖 直 且 相 丝 方形 ED 中 G 等 所以 顺时针旋转 j 何 八 A DF 一 从而 A F与 E G垂直且相等 3 利用倍长中线证明线段垂直且相等 由 中位线转移线段的作用 从而买 俐碹眦悄 9 0 形 励形A 伽 廿与 5 A F 已 C翟 IAt 11 i 占 于 的中点为 让明 n一 J L DH 1 由于 D G所在的 A D G由正方 形 的 淼一 姜 要 竺 萼 悄 移 到 另 一 个 正 方 形内 产 生 全 寺 二 肜 使得 D H H I 联结 D G C B F 面 对 墨 A D G 簇 两对边相等且垂直一 所以 也州引 转9 0 后可得 G 4 中 等 数 学 故 D G I 为等腰直角三角形 斜边上的 中线 H G垂直且等于斜边的一半 D H 4 利用基本图形构造三角形的垂心 重心证 明三线共点 c 例 6 在 k A B C中 以 C B C为边分别 向外作正 方形 A C E F 正 方形 B C G H A H与 B F交于点 证明 C K上 A B 证明 如 图 6 联 结 以 G C E作 口 GCED l冬I 6 易知 G C D相 当于 C B A逆时针旋 转 9 0 故 c D上 且 H B与 B C及另一对 与 c D都互相相等且垂直 于是 B C D 相当于由 H B A逆时针旋转 9 0 得到 因此 A H上 B D 同理 B F上 A D 故 K为 A B D的垂心 K D l A B 所以 D C K三点共线 从而 C K l A B 练习 题 1 如 图 7 已知正 方 形 A B C D 正 方形 A E F G是共点 同向的 证 明 D G C F B E三线 共点 1 9 8 8 加拿大数学奥林匹克训练题 提示 联结 D B 由基本图形知 D G上 B E 于是 D C 四点共圆 所以 D H C D B C 4 5 o 同理 E H F 4 5 D 图 7 从而 D H G三点共线 因此 D G C F B E三线共点 2 如图 8 在 R t A B C中 已知 A C B 9 0 B C 口 A C b 以其各边 为边 向外作 正方形 得到一个凸六边形 D E F G H L则这个 六边形的面积 S H i 网 8 D 提 示 A B C A E M D B N 答案 2 a z 2 a b 2 6 3 六个正方形 A C D E 如 图 9放 置 若三个正方形 A C的面积之和为 5 三个正方形 D E F的面积之和为 S 求 图 9 提示 仿例 6 通过旋转 9 0 产生平行四 边形 利用边长平方和等于对角线平方和 答案 3 2 0 1 3年第 1 期 5 一 组对边相等的四边形的性质及应用 沈 文 选 湖南师范大学数学奥林匹克研究所 4 1 0 0 8 1 中图分类号 01 2 3 1 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 3 0 1 0 0 0 5 0 0 5 本讲适合高中 一 组对边相等的凸 凹 折 四边形有如下 一 系列有趣的结论 本文先将其作为性质介 绍 再举出例题 1 知识介绍 性质 l 在凸或折 四边形 中 一组对边 相等且平行的充分必要条件是该四边形的四 个顶点为平行 四边形的四个顶点 性质 2 在凸或折 四边形 中 一组对边 相等且不平行 另一组对边平行的充分必要 条件是该四边形的四个顶点为等腰梯形的四 个顶点 性质 3 在 四边形 凸 凹 折 中 一组 对边相等且不平行的充分必要条件是另一组 对边 中点 的联 线 与 相 等 两边 所 在 直 线 成 等角 性质 3的证 明 如图 l 在 四边形 凸 凹 折 A B C D中 A B与 D C相 等且 不平 行 收稿 日期 2 0 1 2 1 0 1 9 修回 日期 2 0 1 2 1 1 1 2 a b c 网 1 由中位线定理知 M P B D C N P 二 二 甘 直线 M N与直线B A C D成等角 性质 4 在 四边形 凸 凹 折 中 一组 对边相等且不平行的充分必要条件是以相等 的边各 自为弦 另一组对边所在直线的交点 或对角线的交点 为一公 共点的相交两 圆 为等圆 性质 4的证明 因为两弦所对的圆周角 相等 所以 由正弦定理即证 4 如 图 l 0 在A A B C中 已知 A 9 0 A的平分线为 A D 以 A B A C为边向 外作正方形 中心分别为 证明 A D B F C E三线共点 提示 仿例 6 将两个三角形旋转9 O 可 证这三条线段恰是拼成的 E F G的三条高 所以 共点于垂心 网l0 2 0 1 3年第 1 期 5 一 组对边相等的四边形的性质及应用 沈 文 选 湖南师范大学数学奥林匹克研究所 4 1 0 0 8 1 中图分类号 01 2 3 1 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 3 0 1 0 0 0 5 0 0 5 本讲适合高中 一 组对边相等的凸 凹 折 四边形有如下 一 系列有趣的结论 本文先将其作为性质介 绍 再举出例题 1 知识介绍 性质 l 在凸或折 四边形 中 一组对边 相等且平行的充分必要条件是该四边形的四 个顶点为平行 四边形的四个顶点 性质 2 在凸或折 四边形 中 一组对边 相等且不平行 另一组对边平行的充分必要 条件是该四边形的四个顶点为等腰梯形的四 个顶点 性质 3 在 四边形 凸 凹 折 中 一组 对边相等且不平行的充分必要条件是另一组 对边 中点 的联 线 与 相 等 两边 所 在 直 线 成 等角 性质 3的证 明 如图 l 在 四边形 凸 凹 折 A B C D中 A B与 D C相 等且 不平 行 收稿 日期 2 0 1 2 1 0 1 9 修回 日期 2 0 1 2 1 1 1 2 a b c 网 1 由中位线定理知 M P B D C N P 二 二 甘 直线 M N与直线B A C D成等角 性质 4 在 四边形 凸 凹 折 中 一组 对边相等且不平行的充分必要条件是以相等 的边各 自为弦 另一组对边所在直线的交点 或对角线的交点 为一公 共点的相交两 圆 为等圆 性质 4的证明 因为两弦所对的圆周角 相等 所以 由正弦定理即证 4 如 图 l 0 在A A B C中 已知 A 9 0 A的平分线为 A D 以 A B A C为边向 外作正方形 中心分别为 证明 A D B F C E三线共点 提示 仿例 6 将两个三角形旋转9 O 可 证这三条线段恰是拼成的 E F G的三条高 所以 共点于垂心 网l0 6 中 等 数 学 性质 5 在 四边形 凸 凹 折 中 一组 对边相等且不平行的充分必要条件是以相等 的两边为割线段 端点在不 同的圆上 以这 两条边所在直线的交点 为一公 共点 的相交 两圆的公共 弦平 分这相等两边所 在直线 的 夹角 性质 5的证明 如图 2 两圆O0 o0 交于 P Q两点 点 A C在O0 上 点 D在 o0 上 A B与 DC交 于点 P 联结 Q A Q B Q C Q D b c 图 2 由 Q A 8 Q D C 或 Q C D Q B A Q C D 或 Q D C 知 Q A 8 Q C D 或 Q D C 则 A B C D甘 Q A 8 Q C D Q A Q C Q A Q C A 铮 Q P C Q A C Q C A Q P B 铮 与直线A B C D成等角 性质 6 折四边形相交两边相等且不垂 直 或凸四边形对角线相等且不垂直 的充 分必要条件是以另一组对边或两对角线 或 一 组对边 各自为弦 相交两边 或对角线 的交点为一个公共点的两圆的另一个交点在 以相交两边 或对角线 各自为直径的两圆 的公共弦上 性质 6的证 明 如图 3 在折 四边形 A B C D 中 A B与 C D交于点 G A D G的外接 圆与 B C G的外接圆的另一个交点为 设 分别为A B C D的中点 o 与oJ7v 交于 P Q两点 即直线 P Q为这两圆的等幂轴 3 注意到 同弧上的圆周角相等 则 X A G X D G XBG xCG 故 X A B X DC 此时 X M X N分别为这两个三角形的中 线 从而 xM XN A M 丽 其中 A M D N分别为 o 的半径 显然 k l 否则与题设不符 于是 点 位于P Q上 即 点 对 O 的幂相等 昔 A M2 一 X M2 D N l X 铮 1 k A M 1 k D N 车 AM DN 车 AB CD 2 应用 例 1 两圆 交 于点 A B 过点 的一条直线分别与圆 Jr 交于点 c D 过 点 的另一条直线分别与圆 厂 交于点 E 直线 C F分别与圆 交于点 P Q 设 分别是弧P B Q B的中点 若 C D 2 0 1 3年第 1 期 7 E F 证明 C F 四点共圆 2 0 1 0 中国数学奥林匹克 证明如图 4 联结 E D 嘲 4 在凹四边形 C D E F中 应用性质 5 知 A B 平分 C B F 由 分别是弧P B Q B 的中点 知 C M F N分别平分 B C F B F C 故 A B C M 刚 共点于 B C F的内心 从而 在 圆 中 由相交弦定理有 G I M A I I B NI I F 于是 由相交 弦定理 的逆定理 知 C F 四点共圆 例 2 给定凸四边形 A B C D B C A D 且 B C不平行于A D 设点 E F分别在边 B C A D 的内部 满足 B E D F 直线 A C与 B D交于 点 P E F与 B D交于点 Q 直线 与 A C交 于点 R 证 明 当点 层 F变动时 P Q R的外 接圆经过除点 P外的另一个定点 第 4 6 届 I M O 证明如图 5 C 图 5 由 B C与 A D不平行 知 A P D 的外接 圆与 P B C 的外接圆除交于点 P外 必交于 另一点 则 为定点 由 B C A D 应用性质 4 知 A P D的外 接圆与 P B C的外接圆为等圆 联结 M A M F M D M P M C M E M B 由 D A M B P M B C M 知 DM BM 同理 A M MC 注意到 D F B E 则 F D M E B M 所 以 MF ME 且 F MD E MB 同理 F MA E MC 于是 E MF B M D C M A 即等 腰 M E F 等腰 M B D 等腰 M C A的顶角 相等 从而 其底角也相等 有 MEF MB D MC A 因此 E Q及 E C 尺分别 四点 共圆 于是 MQ B ME B MR P 从而 Q P R M 四点共圆 例 3 圆心为 D D 的两个等圆交于 P Q两点 0是公共弦P Q的中点 过 P任作 两条割线 A B C D A B C D均不与P Q重合 点 A C在oD 上 点 D在OD 上 联结 A D B C M N分别为 A D B C的中点 已知点 D D 不在两圆的公共部分内 点 均不 与 0重合 证明 N 0三点共线 证明如 图 6 联结 A C B D 0 1 A 0 C 02 D 0 2 B I 三 一 一 一 一 J 一 L 一 一 一 一 0 J o 7 网 6 E h O 与oD 为等圆知 C Ol 0 2 B A O1 DO2 应用性质4 知 A C D B 分别在四边形 A C B D 四边形 0 0 2 C 8 中 等 数 学 四边形 0 0 D A中应用性质 3 知直线 MN与 A C D B成等角 直线 O N与 0 C 0 B成等 角 直线 O M与 0 A 0 D成等角 注意到 同时与两相交 或平行 直线成 等角的直线是相互平行的 从而 MN O N O M 三直线重合 故 N 0三点共线 例4 在锐角 A P D的边 A P P D上各 取一点 B c 四边形 A B C D的两条对角线交 于点 Q A P D B P C的垂心分别为 证明 若 经过 A B Q的外接圆和 C D Q的外接 圆的交点 则它必 定经过 B Q C的外接圆和 a Q D的外接圆的交点 y 点 与 Q不重合 y 与 Q不重合 第2 9届俄罗斯数学奥林匹克 证明如图 7 罔 7 由点 y均与 Q不重合 知 A D与 B C 必 相 交 设 交 于 点 尺 则 在 完 全 四边 形 A B P C R D 中 注意到 以完全四边形的三条对 角线为直径的圆共轴 且完全四边形 的四个 三角形的垂心在这条根轴上 即知点 日 均在以A C B D为直径的两相交圆的公共 弦所在的直线上 应用性质6 即知点 也在这条公共弦 所在的直线上时 这两个圆为等圆 又应用性 质6 即知点 y 在这条公共弦所在的直线上 例 5 锐角八 A B C的外接圆在点 曰 处的切线交于点 D 是A B的中点 证明 C BC D 4 2 0 0 7 I M O中国国家队培训题 证明如图8 过点A作与 B C切于点 c 的o0 O0 与 C D交于点 Q 联结 A Q并延 长与o0 交于点 联结 e Q并延长与o0 交于点 F 联结 C F C E 上 网 8 则 A Q D A F C A C B A B D 于是 A D B Q四点共圆 注意到 D A D B 则 a Q D D Q 8 从而 A Q C C 又 Q A C Q C B 则 A C Q C B Q 这说明 过点 B Q C的圆 即oD 与 A C切于点 延长 C M至点P 使 MP C M 则四边形 C A P B为平行四边形 注意到式 应用性质 5 即知 AE FB 此时 C F C A C E C B 故 C B E C E B B C A 1 8 0 一 C B P 2 0 1 3年第 1 期 9 即知 E B P三点共线 同理 F A P三点共线 又可推证 AC F B叩 在等腰梯形 C F P B中 F C M 船 P Q C E 故 A C M F 伽 一 F C A Q C E一 B C E B C Q B C D 注 此例应用调和四边形性质可简捷 推证 例6 已知 A B C的 B内的旁切圆与 切于点 D c内的旁切圆与 A B切于点 E M 分别为 B C D E的中点 证 明 MN平 分 A B C的周长 且与 A的平分线平行 第 2 1 届世界城市 冬季 数学竞赛 证明如图 9 设 MN分别与 A C A B交 于点 G F L为 G F的中点 B 酗 C 图 9 由题设知 D E分别为旁切圆o o 的切点 则 l E B C A c c 厶 于是 由性质 3知 g BF M MG C A F A G 且 ML与 A的平分线平行 又由性质 3知 B F C G 即 BM BF C G MC AF A C MC 从而 MN平分 A B C的周长 练习 题 1 在凸四边形 中 已知经过一组对边 中 点的直线同两条对角线所成的角相等 证明 这两条对角线相等 提示 应用性质 3 2 已知 A 日是 A B C中 的平分线 在边 A B A C上截取 B D C E M 是 D E的中 点 是B C的中点 证明 M N A H 提示 应用性质 3 3 在等腰 A B C中 A B A C 假如 1 M是边 B C的中点 D是直线 A M 上 的点 且 O B l A B 2 Q是边 B C上不同于 B C的任意点 3 点 在直线 A B上 点 在直线 A C 上 使得 E Q F是不同的三个共线点 证 明 O Q 1 当且仅当 Q E Q F 第 3 5届 I MO 提示 O Q l E F O B l A B 甘 B E 0 Q四点共圆 甘 O EQ O B C O A C 铮 A E 0 F四点共 圆 筒 O F C A A E O O Q C 甘 0 Q F C四点共圆 对 A E F及截线 B Q C应用梅涅劳斯定 理得 AB 丝 B E Q F C A Q F F C 故 Q E Q F甘 B E F C 甘 四边形 B E O Q的外接圆与 四边形 Q O C F的外接圆相等 直径均为 d 铮 d s i n O E Q O Q d s i n A O F Q 甘 O E Q o F Q 铮 O Q L E F 参考文献 1 裘宗沪冷岗松 国际数学奥林匹克试题解答 M 北京 开明出版社 2 0 0 6 2 周家集训队教练组 数学奥林匹克试题集锦 2 0 0 4 M 上海 华东师范大学出版羊 十 2 0 0 4 3 沈文选 完全四边形的优美性质 J 中等数学 2 0 0 6 8 4 国家集训队教练组 数学奥林匹克试题集锦 2 0 0 7 M 上海 华东师范大学出版社 2 0 0 7 中 等 数 学 用特殊换元解一类三元不等式 张 伟 军 上海市闵行区第二中学 2 0 0 2 4 0 中圈分类号 0 1 2 2 3 文献标识码 A 常见约束条件是 n b C R 口 b C k 证明关于 0 b c 的三元不等式 在 A B C中 t a n孚 tan 詈 tan 詈 tan 导 tan 导 tan 孚 1 由式 自 然产生换元 口 k v b c 口 一 c 一 V 一 其 中 c 0 t c t c 0 t 詈 B C是 A B C的三个内角 将变换 代入式 得 上 1 x y y z 即 戈 Y 名 x y z 式 关于 Y 具有升幂降幂的功能 用处很大 换元 的好处是将关于 n b c 的 三元不等式转 化为关 于 Y 的三 元不等 式 解决了对题 目人手难 的困难 证明的关键 是结合等式 Y z x y z 作恒等变形 例 1 设正实数 0 b c 满足口 b c 1 证明 1 a 1 b 1 C 2 十 旦b 旦 C 一 一 一 一 一 一 l l 1 一 一 一 口 J 2 0 0 4 日 本数学奥林匹克 收稿 日期 2 0 1 2 0 5 3 1 黄 生 汉 湖南省绥宁县第一中学 4 2 2 6 0 0 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 3 O l一 0 0 1 0 0 2 证 明应 用换 兀 知 式 3 鱼 互 2 f 上 三 1 Y Y z y J o Y 一 专 一 南 一 惫 2 x z x v x v z z 上式左边 L y x z y z y 2 z 2 z 2 x 2 x 2 y 2 x y z z 一x x y z x y 一 x y z y 一 z 壶 簪 丢 I l 1 1 丢 ta n 导 ta n 孚 tan 3一 故式 成立 且当 n 6 c 时 上式 等号成立 注 原不等式是代数型 换元 将其转 化成 A B C中的不等式 t an A B y tan T n 导 a 3 侈 4 2 设 a b c R 0 b c 1 证明 i 证明应用换元 知 1 v 2 z 1 一 2 0 1 3年第 1 期 l l 同理 1 n2 故原不等式 小 南 小 南 而 铮 2 7 1 7 x Y y z 7 x 42Y Y 3 4 y 4 z 2 7 1 7 x y y z 一 3 4 x Y z 4 y 4 z 一1 4 x Y z f 甘 7 f x 了 z x I 0 孑一 詈 3 4 一 6 一 Q 上式显然成立 当 Y z 时 不等 式中的等号成立 注 将所证的不等式配成代数和非负 是证明不等式的一种策略 其 例3 设正实数 a b C 满足 a 6 c 3 证明 口 z 6 2 口 6 证明应用换元 可将不等式变成 x Zy 2 y Z z2 铮 4 Y 2 2 I 8 1 x a y z 戈 4 x 2 y 2 z 4 1 3 x 4 Y x 2 y 4 z 2 2 Y 2 I X 6 2 0 x y 乱 6 x 1 2 x y z y 2 t8 1 4 Y 2 Y 4 2 Y 2 4 中 表示 轮换 对称 和 当a b c l 时 不等式等号成立 例 4 设 a b c 是满足 a b c 1的非 负数 证明 6 6 c c a 2 第 2 5届 I MO 证明式 左边不等式显然成立 且当 a b c 三个数中有零时 不等式 显然成立 下面设 a 0 b O C 0 应用换元 式 右边变形为 x 2y z x Z 2z 5 一 咎 1 3 x y 5 4 7 x 铮1 3 x y 一 5 4 x y z 7 x 2 铮6 X 2 z 7 l 5 由舒尔不等式及均值不等式知上式成 立 当 时 不等式中等号成立 顺便指出 利用换元 也可解复杂的不 等式问题 例5 设正实数 a b c 满足 口 b 2 c 2 a b c 4 器 2 0 1 1 美国数学奥林匹克 证明题设不等式变形为 a b b c 2 C 0 4 应用换元 得 6 r 6 c r c a r x y y z q q z 其中 O r 2 x c o t A y c B c c C A B C为 A B C的三个内角 m c 寺 去 于 是 口 r I 1 一 1 去 6 r 1 1 一 去 中 等 数 学 一 道国 I l 竞赛题的两种新证法 黄 全 福 安徽省安 庆市怀宁县江镇中学 2 4 6 1 4 2 中圈分类号 0 1 2 3 1 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 3 O 1 0 0 1 2 0 2 题 目在凸四边形 A B C D中 已知 A DB ACB C A B DBA 3 0 且 D 曰C 证明 线段 D B C A D C可 以围成一个直 角三角形 第 9 届丝绸之路数学竞赛 2 0 1 0 这是一道构思巧妙 有一定难度的平面 几何题 笔者给出两种不同于文 1 的证法 证法 1 如图 1 作正 A B H 联结 C H 图 1 收稿 日期 2 0 1 2 0 5 2 4 与 D B交于点 E D H与 c A交于点 F 为方便 记 A C B O t A D B J B C AB DBA Y 则 C B H C B E E B H 3 0 1 2 0 一 Y 1 5 0 O t Y DAB 1 5 0 一 又 3 0 卢 O l Y 一 故 CBH DAB 结合 C B D A B H A B 于是 C B H D A B C H DB BHC A B D 同理 D H C A A H D B A C 故 C H D A H B A H D B HC 6 0 4 Y 9 0 从而 D C C H2 4 D H 2 D B 4 C A 即 由线段 D B CA D C能围成一个直角三角形 c 寺 去 r歹 2 一 一 老 2 4 一 故 持 争 十 字 寻 丢 a b c I 3 B 不等式等号成立 中 等 数 学 一 道国 I l 竞赛题的两种新证法 黄 全 福 安徽省安 庆市怀宁县江镇中学 2 4 6 1 4 2 中圈分类号 0 1 2 3 1 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 3 O 1 0 0 1 2 0 2 题 目在凸四边形 A B C D中 已知 A DB ACB C A B DBA 3 0 且 D 曰C 证明 线段 D B C A D C可 以围成一个直 角三角形 第 9 届丝绸之路数学竞赛 2 0 1 0 这是一道构思巧妙 有一定难度的平面 几何题 笔者给出两种不同于文 1 的证法 证法 1 如图 1 作正 A B H 联结 C H 图 1 收稿 日期 2 0 1 2 0 5 2 4 与 D B交于点 E D H与 c A交于点 F 为方便 记 A C B O t A D B J B C AB DBA Y 则 C B H C B E E B H 3 0 1 2 0 一 Y 1 5 0 O t Y DAB 1 5 0 一 又 3 0 卢 O l Y 一 故 CBH DAB 结合 C B D A B H A B 于是 C B H D A B C H DB BHC A B D 同理 D H C A A H D B A C 故 C H D A H B A H D B HC 6 0 4 Y 9 0 从而 D C C H2 4 D H 2 D B 4 C A 即 由线段 D B CA D C能围成一个直角三角形 c 寺 去 r歹 2 一 一 老 2 4 一 故 持 争 十 字 寻 丢 a b c I 3 B 不等式等号成立 2 0 1 3年第 1 期 I 3 仔细观察图 1 对照已知条件不难发现 此题隐含了一个重要条件 A B A D B C 事实上 若 A B A D 则 A B B C 此时 ADB ACB A D 同样导出矛盾 证法 2 如图 2 设 A C与 B D交于点 P D C 图 2 易知 A P D 3 0 D P C 1 5 0 令 A B A D B C 1 A C B C A B A D B D B A 3 f 3 3 0 由 i 3 0 3 o 9 0 3 0 3 O f s i n 3 0 s i n 3 0 l J C O S 3 0 d 3 0 C O S 9 0 0 由等腰 A B D 等腰 B A C易得 A C 2 c o s D B 2 c o s B 则 A C D 曰 4 c o s C O S 2 1 C O S 2 a 1 C O S 2 3 4 4 c o s 3 C O S 3 4 2 C O S 一 观察 A P D知 PD AD 一 1 1 s i n 1 5 0 一 一s i n A P D s i n 3 0 一 P D 2 s i n 1 5 0 一 p 2 s i n 3 0 同理 P C 2 s i n 3 0 在 P D C中利用余弦定理得 DC PC PD 一2 PC PDe o s DPC 4 s in 3 O s i n 3 O 4 3 s i n 3 0 s i n 3 0 卢 4 卜 cos 卢 一 卢 4 2 C O S 一 口 比较式 得A C D B D C 因此 由线段 D B C A D C能围成一个直 角三角形 参考文献 1 王琪题目翻译并解答 第 9 届丝绸之路数学竞 赛 2 0 1 0 f J 中等数学 2 0 1 1 增 刊 声 明 1 为适应我 国信息化建设的需要 扩大本刊及作者知识信息交流渠道 本刊 已进入 C N K I 中国期刊全文数据库 2 为促进科学文化知识的传播 推进文献信息服务事业单位的发展 本刊已进入 中文科 技期刊数据库 3 为实现科技期刊编辑 出版发行工作的电子化 推 动科技信息交流的网络化进程 本刊 已加入 万方数据 数字化期刊群 本刊所付稿酬包含数据库 网上发行使用费和本刊编辑部的使用权 如作者不同意所著 文章被收录 请在来稿中声明 本刊将做适当处理 本刊编辑部 l 4 中 等 数 学 另解一道中国国家集训队选拔考试题 万 喜 人 湖南图书馆培训楼万喜学校 4 1 0 0 1 1 中图分类号 01 2 3 1 文献标识码 A 文章 编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 3 O l o o l 4 0 1 题 目 如 图 1 在锐角 A B C中 已知 A 6 0 H为 A B C的垂心 点 J7 v 分别 在边 A B A C上 H MB H N C 6 0 0为 H MN的外心 点 D 与 在直线 B C的同 侧 使得 D B C为正三角形 证明 H 0 D 三点共线 1 J D 圈 1 2 0 1 2 中国国家集训队选拔考试 本文介绍两种证法 证法 1 如图1 联结 H O H D 易知 D 0 H三点共线 甘 B H O B H D 且 B HO B HM MHO 1 8 0 一 B M t t 一 M B H 9 0 一 M I V t t 1 8 0 一 6 0 一 9 0 一 B A C 9 0 一 7 V B AC 1 2 0 一 MN H B AC A NM B MN 而 x D B C为正三角 形 则可把 D B H 绕点 D逆时针旋转 6 0 至 X D C K位置 联结 I l K 显然 D H K是正三角形 由 B MH C N H MB H N C H MB H N C H 收稿 日期 2 0 1 2 0 5 一l 5 HM l i b CK HN HC CH 又 MH N 1 2 0 一 B AC KC H 则 H MN C K H C HMN B H D C K D 6 0 H M N B MN BHO BHD 证法 2 如图 1 联结 O B O C 故 D 0 H三点共线 牟 B 1 l t z B OH c n H 5 C 0 1 I BD BHs i n DB H O H BHs i n BHO C D s i n DC H明 C Hs i n 0 s i n DB H s i n BH o s i n D C H s in C H o 由证法 1 得 BHO BMN 1 8 0 一 A肘 同理 C l I O C N M 1 8 0 一 A N M 所以 s i n B HO s i n A MN A N 8 1 1 1 C Ho S l n A N M A M 又 A HN C NH一 C A H DBC 一 CBH DBH 同理 A H M D C H 则 s i n D B H s i n A H N s i n DC H s i n A I t M AN s i n BHO A M s i n C l I O 从而 式 成立 进而命题得证 参考文献 1 2 0 1 2中国国家集训队选拔考试 J 中等数学 2 0 1 2 7 2 0 1 3年第 1 期 1 5 一 道数学奥林匹克题的另解 冯 有 兵 江西师范大学附属中学 3 3 0 0 4 6 中图分类号 O 1 5 7 1 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 3 0 l 一 0 0 1 5一 O l 题目设 m是正整数 Tt 2 一1 数轴 上 n 个点所成的集合为 P 1 2 t 一 只蚱蜢在这些点上跳跃 每步从一个 点跳到与之相邻的点 求m的最大值 使得对 任意 P 从点 跳 2 0 1 2步到点 的跳 法种数为偶数 允许中途经过点 y 第九届中国东南地区数学奥林匹克 解首先 若 m 1 1 则存在两点 1 与 2 0 1 3 两者仅有 1 种跳法 故 1 1 0 其次说明当m 1 0时 对任意x y P lo 从 到 的跳法种数为偶数 女 图 1 记 A 0 8 2 0 1 2 2 1 0 2 4 2 0 1 2 矛盾 故均相交的情形与 l 0 一 B l 2 0 1 2 2 0 4 8一 的折线构成一一对应 S 4 c 0 1 2 2 o 4 8 y x 因此 符合条件的跳法总数为 S S t 一 s 2一 3 下面说明S m o a 2 S 3 m o d 2 注意到 S s 的组合数上标相差 l 0 2 4 于是 只需说明 c 0 1 2 E 2h 0 ll 20 2 4 m o d 2 j 1 则 一 I n 的值是 A 正数 B 零 C 负数 D 以上皆有可能 3 在 A B C中 若 A B为锐角 且 s i n 1 s i n B s i n C 则对 A B C的形状描述最准确的是 A 直角三角形 B 等腰三角形 c 等腰直角三角形 D 以上均不对 4 设椭圆与 轴交于 8两点 对 于椭 圆上不同于 A 的任 意一点 P 直线 A P与 P的斜率之积均为 一 则椭圆的离心率 为 A B c 1 去 03 03 z 02 s 在正四面体 A B C D中 M 分别是 B C D A的中点 则直线 A M 和 B N所成角的 余弦值是 A B c 了2 D 鲁 6 在半径为 1 的球面上有不共面的四个 点 A B C D 且 AB CD BC DA Y C A BD 则 Y A 2 B 4 C 8 D 1 6 二 填空题 每小题 9分 共 5 4分 7 函数 Y 1 C O S 一丁 c 丁 c 的图 像与 轴围成的区域面积是 8 已知六边形 A B C D E F是边长为2的正 六边形 一条抛物线经过 A B C D四点 则 该抛物线的焦点到准线的距离是 9 已知复数 满足 I z I 1 且 z b i 口 b 为实数 则 n b的最大值是 1 0 函数 Y I l I l 一2 I I 一l 0 I 的最小值是 一 一 卜 nly l 2 若对一切正实数 Y 不等式 Y 4 co s 2 x 1 a s i n x 9 都成立 则实数0的取值范围是 三 解答题 每小题 2 0分 共 6 0分 1 3 已知双曲线 的两个焦点坐标分别为 F 一 2 0 和 2 0 双曲线的一条切线与 轴 交 于Q 寺 0 且 斜 率 为2 1 求双曲线的方程 2 若切线与双曲线的切点为 P 证明 F P Q F 2 P Q 1 4 电脑每秒钟以相同的概率输出一个 数字l 或2 将输出的前几 个数字之和被3 整 除的概率记为P 证明 1 P 1 一 P 2 P 2 o l2 2 0 1 3年第 1 期 2l l 5 已知三次 函数 4 x 础 6 c a b C R 满足 一 1 1 l 1 求 a b C 的所有可能取值 参 考 答 案 一 1 C 当 n 1时 a S 一 S 2 n一 3 因此 a 3 a 1 7 3 4 2 B 设 Y I n 则 e 故原式 e 一 Y 0 3 A 若 A L B 詈 则 s i n A C O S B s i n B C O S A 故 s i n A s i n s i n A C O S B s i n B C O S A s i n A B s i n C 矛盾 同理 若 A B 也推出矛盾 所以 A B 4 D 不妨设 A 1 0 B 一1 0 P Y 则 z一 的 斜 率 为 z 的 斜 率 为 依 题 意 得 一 吉 一 l 十 I 由此得椭圆方程为 2 y 1 故离心率为 2 5 C 不妨设正四面体的棱长为 1 则 4 1 A B A B l A B D B l AC A B AC DB 0 l k 而A B c I N B A B 故 劢 商 A B 吉 I A MI l l 则 与 删 所成 角的余弦值是 A M 2 了 6 C 构造一个 长方体 使得 四面体 A B C D的 六条棱分别是长方体某个面的对角线 此时 长 方 体 的 体 对 角 线 长 为 其 恰 好 等于外接球面的直径 故 y z 8 二 7 2 作出四条直线 Y 2 一 7 c 丌 Y 0 则所给函数的图像落在上述四条直线所围成 的长方形 内部 且关于 Y轴对称 在第一象限 内 的 部 分 函 数 图 像 关 于 点 詈 1 成 中 心 对 称 因此 这部分函数图像与 轴 Y 轴所围 成区域的面积等于相应长方形面积的一半 从 而 整个 函数图像 与 轴围成 的区域 面积为前述长方形面积的一半 即 2 兀 8 建立平面坐标系 使得 A 一 2 3 B 一 1 0 C 1 0 D 2 则可求得该抛物线方程为 一1 故抛物线焦点到准线的距离为 9 由I z I 1 l z l 1 a b 1 a b 2 a b 2 2 2 中 等 数 学 故凸 6 且当口 6 时 等号成立 从而 口 b 的最大值是为 1 0 2 5 注意到 l 一1 I l 一1 0 I I 一1 一 一 1 0 I 9 且等号当 1 1 0 时成立 同理 I 一 2 l l 一 9 I 7 I 一5 l l 一6 I 1 且等号分别当 2 9 5 6 时成 立 因此 y 9 7 1 2 5 且当 5 6 时等号成立 故所求最小值为 2 5 1 1 lim 鱼 一 古 l i r a 直 1 n 1 l 丁 n 几 Z Z 1 2 一 3 3 依题意知 c s2 in 号 对一切正实数 Y成立 则不等式 的左端必 小于或等于右端的最小值 3 令 t s i n 故 一 t a t 2 t 一 l 1 取 t 一1 得 口 一3 取 t l 得 口 3 当口 一 3 3 时 易证对任意的 t 一 1 1 均有 一 t a t F P Q F 2 P Q 解法2 设双曲线方程为 一 1 由半焦距 c 2 知 口 b 4 又设点 P x Y 则过 P的切线方程为 0 Y o Y 2 一 l 口 D 与 所 给 的 切 线 方 程 Y 2 一 丢 即 2 0 1 3年第 1 期 2 x Y 1比较知 0 2a Y o b 将 其 代 人 萼一 Y o 1 得4 口 2 一 b 1 与 a b 4联立解得 a l b 3 因此 双曲线方程为 一 1 从而 切点坐标为 Y o 2 a b 2 3 余下同解法 1 l 4 证法 1 这 凡个数字共有 2 种可能 情形 设其中数字和被 3 整除的有 种 则不 被 3 整除的有2 一 种 对于 1 个数字的情形 若其和被3整 除 则前 n 个数字之和不被 3整除 反之 对 于前 n个数字之和不被 3整除的每种情形 有唯一的第 n 1 个数字可使前 n 1 个数字 之和被 3整除 因此 l 2 一 这表明 概率p 满足递推关系式 P 川 1 p p 一 一 p 一 P2 0 1 2 1 一 号 们 p 一 1 p 2 0 l 2 5 证法 2 若 输出的前 几个数字之和被 3 整除的概率为 P 则不被 3整除的概率为 1 p 要使输出的前 n 1 个数字之和被 3 整除 则必须使前 n个数字之和不被 3整除 且此时第 n 1 个数字也随之确定 所以 由条件概率的公式得 P 1 p 余下同证法 1 证法 3 n个数字共有 2 种可能情形 下面计算其和被 3 整除的种数 这等于多 项式 的展开式中 等 项 的系数之和 即 1 其 中 一 丢 字 i 为 三 次 单 位 根 是 其 共轭复数 故式 2 2 一 1 因此 所求的概率为 2 一 可 验 证 p 川 丢 1 一 p 及 p 1 5 由 题意 当 1 时 均有 一 1 1 故 一1 4 a b c 1 一 1 4一 a b c 1 一 1 1 a b c 1 一 号 一 号 一 c 得 一 2 8 2 b 2 从而 b 一 3 得 一 2 l 6 2 从而 6 一 3 因此 b 一 3 代入不等式 得 口斗 c 0 a c 0 从而 a c 0 下面证明 4 x 一 3 x 满足条件 事实上 若 一1 1 则令 C O S t t R 故 C O S t 4 c o s 3 t 一3 c o s t c o s 3 t 又 一1 c o s 3 t 1 则 一1 1 综上 a 0 b 一 3 c 0 丁龙云提供 中 等 数 学 2 0 1 2年全国高中数学联赛湖北赛区预赛 中图分类号 G 4 2 4 7 9 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 3 0 1 0 0 2 4 0 4 一 填空题 每小题 8分 共 6 4分 1 函 数 的 值 域 为 2 已知 3 s i n O t 2 s i n 1 3 s i n O t C O S 一 2 s i n 卢 C O S 1 则 C O S 2 3 已知数列 a 满足 a 1 E N a l 等 n 为 偶 数 3 1 a 为奇数 若 a I a 2 a 3 2 9 则 a I 4 设集合S 1 2 1 2 A a a a 是 5的子集 且满足 a1 a 2 b 0 交于 两点 P是椭 圆 C上异于 的 任一点 若直线 删 P N的斜率之积为 一 1 则椭圆 C的离心率为 6