实验报告—数值分析.doc

数值分析实验报告姓 名： 学 号： 专 业： 指导教师： 刘 建 生 教 授 日 期： 2015年12月25日 实验一 Lagrange/newton插值一：对于给定的一元函数的n+1个节点值。试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。数据如下： 0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05 0.41075 0.578150.696750.90 1.00 1.25382 求五次L计算,的值（提示：结果为, ） 1 2 3 4 5 6 7 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 试构造Lagrange多项式，计算的,值。（提示：结果为, ） 二：实验程序及注释MATLAB程序：function f=lagrange(x0,y0,x )n=length(x0);m=length(y0); format longs=0.0;for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(x-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=s+y0(k)*p;End f=s; end结果运行：结果与提示值完全吻合，说明Lagrange插值多项式的精度是很高的；同时，若采用三点插值和两点插值的方法，用三点插值的精度更高。若同时采用两点插值，选取的节点距离x越近，精度越高。三：采用newton插值进行计算算法程序如下：format long; x0=0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05 ;y0=0.41075 0.578150.696750.90 1.00 1.25382 ;x=0.596; n=max(size(x0);y=y0(1); %disp(y);s=1;dx=y0; for i=1:n-1 dx0=dx; for j=1:n-i dx(j)=(dx0(j+1)-dx0(j)/(x0(i+j)-x0(j); end df=dx(1); s=s*(x-x0(i); y=y+s*df; %计算 %disp(y);enddisp(y)运行结果：绘制出曲线图：与结果相吻合。所以newton法和Lagrange法的思想是一样的。Lagrange适合理论分析，但Lagrange法不如newton法灵活。Lagrange如果节点个数改变，算法需要重新编写，而Newton法克服这一缺点，所以应用更为灵活。实验二 函数逼近与曲线拟合 一、问题提出 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t的拟合曲线。 t(分钟)0510152025303540455055y（10）01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64要求： 1、用最小二乘法进行曲线拟合； 2、近似解析表达式为f(x)=at+ at+ at；3、计算出拟合函数f(x)，并列出出f(x)与y(x)的误差； 4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、绘制出曲线拟合图。2、 问题分析3、从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。三、实验程序及注释三次拟合程序（最小二乘法）：t=0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55%输入时间t的数据y=0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64%输入含碳量数据p,s=polyfit(t,y,3)%调用MATLAB最小二乘法的程序进行三次拟合并给出误差分析format long%14位精度小数plot(t,y,*r)%绘制被拟合数据点的离散图hold onplot(t,y1,b)%绘制三次拟合函数图（其中y1是拟合之后的数据）xlabel(时间t（分钟）) %注释x轴ylabel(含碳量/10-4) %注释y轴title(三次拟合图) %注释图名grid%坐标系网格化四次拟合程序（最小二乘法）：p,s=polyfit(t,y,4) %调用MATLAB最小二乘法的程序进行四次拟合并给出误差分析format long%14位精度小数plot(t,y,*r)%绘制被拟合数据点的离散图hold onplot(t,y2,b)%绘制三次拟合函数图（其中y2是拟合之后的数据）xlabel(时间t（分钟）) %注释x轴ylabel(含碳量/10-4) %注释y轴title(四次拟合图) %注释图名grid%坐标系网格化四、实验数据结果及分析三次拟合可以得到其拟合多项式为：=0.00003436415436t-0.00521556221556t+0.26339852739853t+0.01783882783883 拟合函数与被拟合函数图之间的对比如下：（1） 红色星号为原始数据；（2） 带圈的曲线为最小二乘后而成的结果曲线。由此可见拟合函数与原函数离散数据点拟合成程度相当好，通过p,s=polyfit(t,y,n)对拟合误差进行分析，如图：图2-2由此可知，三次拟合精度较好。为了提高结果的可信度，我们另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较。于是，进行四次拟合：其中，拟合得到的多项式为：=0.00000060256410t-0.00003191789692 t-0.00293227466977t+0.23806931494432t+0.06044871794872拟合如图2-3图2-3同样对四次拟合进行误差分析可得：图2-4由此可见，四次拟合误差0.494930.50824(三次拟合误差)，精度更高。五、实验结论在用高阶多项式对某一函数进行曲线拟合时,并不是拟合出来的多项式与被拟合函数在整个区间上都能符合,polyfit()只能保证在输入数据x所能达到的区间上及其附近.求得的多项式可以最大限度在逼近原函数。利用最小二乘法对本问题进行的曲线拟合精度较高，而且，在一般情况下，拟合的多项式次数越多，精度越高。 实验三 数值积分与数值微分 一、问题提出 计算下列积分值：（1） （2） （3） （4） 要求：1、 编制数值积分算法的程序； 2、 分别用两种算法计算同一个积分，并比较其结果； 3、 分别取不同步长，试比较计算结果（如n = 10, 20等）； 4、 给定精度要求，试用变步长算法，确定最佳步长。二、问题分析由上可知这四个积分找不到用初等函数表示的原函数，直接计算起来很困难，因此我们考虑利用函数在若干点得函数值，近似地计算该函数在一个区间上得定积分。这里采用的方法有三种：复合梯形公式，复合Simpson公式，Romberg算法。三、实验程序及注释1、复合梯形公式MATLAB程序：function I=T_quad(x,y)%复化梯形求积公式，其中，% x为向量，被积函数自变量的等距节点；% y为向量，被积函数节点处的函数值；n=length(x);m=length(y);if n=m error(the length of X and Y must be equal!); return;endh=(x(n)-x(1)/(n-1);a=1 2*ones(1,n-2) 1;I=h/2 * sum(a.*y);%2、复合Simpson公式MATLAB程序：function I=S_quad(x,y)% x为向量，被积函数自变量的等距节点；% y为向量，被积函数节点处的函数值；n=length(x);m=length(y);if n=m error(the length of X and Y must be equal!); return;endif rem(n-1,2)=0 %如果n-1不能被2整除，则调用复化梯形公式 I=T_quad(x,y); return;endN=(n-1)/2;h=(x(n)-x(1)/N;a=zeros(1,n);for k=1:N a(2*k-1)=a(2*k-1)+1; a(2*k)=a(2*k)+4; a(2*k+1)=a(2*k+1)+1;endI=h/6*sum(a.*y);%3、Romberg算法MATLAB程序：function I=R_quad_iter(fun,a,b,ep)% Romberg求积公式，其中，% fun为被积函数；% a,b为积分区间端点，要求ab;% ep精度系数，缺省值为1e-5.if nargin 1; T(m+1,k+1)=(4k*T(m+1,k)-T(m,k)/(4k-1); M=M/2;k=k+1; end if abs(T(k,k)-T(k-1,k-1)ep break; end m=m+1;endI=T(k,k);%4、 自适应步长梯形公式：function I=R_quad_iter(fun,a,b,ep)% 梯形递推求积公式，其中，% fun为被积函数；% a,b为积分区间端点，要求ab;% ep精度系数，缺省值为1e-5.if nargin 4 ep=1e-5;end;N=1;h=b-a;T=h/2*(feval(fun,a)+feval(fun,b);while 1 h=h/2;I=T/2; for k=1:N; I=I+h*feval(fun,a+(2*k-1)*h); end if abs(I-T)3*tol h=h/2; T0=T; s=0; for i=1:n x=a+h*(2*i-1); s=s+zhuci_tixing_f(x); end T=T0/2+h*s; n=2*n; delt=T-T0;endjifen=T; num=n; end执行程序后的结果：实验分析： 逐次分半的积分算法具有很高的精度，对于复杂的工程实践问题具有很高的应用价值。同时，在利用复合梯形公式、复合Simpson公式以及Romberg算法等计算数值积分时，精度已经很高，并且随着步长越小，积分精度越高。另外，当给定一个精度的时候，我们还可以利用自适应步长法，确定所需要的最佳步长和结果。 同样在对比中可见：simpson公式的收敛速度比梯形公式的收敛速度快。实验四 线性方程组的直接解法一、问题提出 给出下列几个不同类型的线性方程组，请用适当算法计算其解。 1、 设线性方程组 参考解：2、 设对称正定阵系数阵线方程组 参考解： 3，三对角形线性方程组 参考解：要求：1、 对上述三个方程组分别利用Gauss顺序消去法与Gauss列主元消去法；平方根法与改进平方根法；追赶法求解（选择其一）； 2、 应用结构程序设计编出通用程序； 3、 比较计算结果，分析数值解误差的原因； 4、 尽可能利用相应模块输出系数矩阵的三角分解式。二、问题分析直接法就是经过有限步算术运算，可求得线性方程组精确解得方法（若计算过程中没有舍入误差）。但是实际运算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。我们经常采用的一些方法，如Gauss顺序消去法与Gauss列主元消去法、平方根法与改进平方根法、追赶法等等。3、 实验程序及注释 % 列主元Gauss消去法：function x,det,index=Gauss(A,b)% 求线性方程的列主元Gauss消去法% A 为方程组的系数矩阵% b 为方程组的右端项% x 为方程组的解% det 为系数矩阵A的行列式的值% index 为指标变量，index=0 表示计算失败，index=1 表示计算成功% det 为系数矩阵 A 的行列式的值n,m=size(A);nb=length(b);% 当方程组行与列的维数不相等时，停止计算，并输出错误的信息if n=m error(A的行与列必须相等！); return;end% 当方程组与右端项的维数不匹配时，停止计算，输出错误信息if m=nb error(the columns of A must be equal the length of b); return;end% 开始计算，先赋初值index=1;det=1;x=zeros(n,1);for k=1:n-1 % 选主元 a_max=0; for i=k:n if abs(A(i,k)a_max a_max=abs(A(i,k);r=i; end end if a_maxk; for j=k:n z=A(k,j);A(k,j)=A(r,j);A(r,j)=z; end z=b(k);b(k)=b(r);b(r)=z;det=-det; end % 消元过程 for i=k+1:n m=A(i,k)/A(k,k); for j=k+1:n A(i,j)=A(i,j)-m*A(k,j); end b(i)=b(i)-m*b(k); end det=det*A(k,k);enddet=det*A(n,n);% 回代过程if abs(A(n,n)1e-10 index=0;return;endfor k=n:-1:1 for j=k+1:n b(k)=b(k)-A(k,j)*x(j); end x(k)=b(k)/A(k,k);end%改进平方根法：function L,D,index=LDL_Decom(A)% 求正定对称矩阵A的改进平方根分解，也称LDLT分解% A为要分解的矩阵% L为下三角阵% D为对角阵% index 为指标变量，index=0 表示计算失败，index=1 表示计算成功n=length(A);L=eye(n);D=zeros(n);d=zeros(1,n);T=zeros(n);index=1;for k=1:n d(k)=A(k,k); for j=1:k-1 d(k)=d(k)-L(k,j)*T(k,j); end if abs(d(k)=tol x0=x; x=B*x0+f; k=k+1; if(k=max1) disp(迭代次数超过300次，方程组可能无解); return; end二，%高斯赛德尔迭代法计算线性方程组function x,k=guass_seid_f(A,b,x0,tol) max1=300; D=diag(diag(A); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); G=(D-L)U; f=(D-L)b; x=G*x0+f; k=1; while norm(x-x0)=tol x0=x; x=G*x0+f; k=k+1; if(k=max1) disp(迭代次数太多，可能不收敛) end %k,x; end 三，%超松弛迭代法（sor)方法函数%超松弛迭代法的统一方程 function x,k=sor_f(A,b,x0,w,tol) max=300;if (w=2) error; return;end D=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=inv(D-L*w)*(1-w)*D+w*U);f=w*inv(D-w*L)*b;x=B*x0+f;k=1; while norm(x-x0)=tol x0=x; x=B*x0+f; k=k+1; if (kmax) disp(迭代次数过多，sor方法可能不收敛); return; end %k,x; %输出每一步迭代的结果，可不要 End实验结果：对比题中的参考值，精度很高。实验六 非线性方程求根一、问题提出 设方程有三个实根现采用下面六种不同计算格式，求 f(x)=0的根或1、 2、 3、 4、 5、 6、 实验程序代码： 本程序采用牛顿法求解非线性方程组： 也可自行编写简单迭代算法进行求解，此处没有给出。程序代码如下：%newton迭代法求解非线性方程function gen,time =newton(f,x0,tol) if (nargin=2) tol=1.0e-5;end df=diff(f); x1=x0; time=0; wucha=0.1; while(wuchatol) time=time+1; fx=subs(f,x1); df=subs(df,x1); gen=x1-fx/df; wucha=abs(gen-x1); x1=gen; end end分别带入各个迭代格式得：由收敛准则: 知道，当且仅当迭代方程满足以上的收敛条件时，非线性方程组才有解。实验七 矩阵特征值问题计算一、问题提出 利用冪法或反冪法，求方阵的按模最大或按模最小特征值及其对应的特征向量。 设矩阵A的特征分布为： 且 试求下列矩阵之一 （1） 求，及 取 结果（2） 求及 取 结果： （3） 求及取结果 (4) 取 这是一个收敛很慢的例子,迭代次才达到结果 （5） 有一个近似特征值,试用幂法求对应的特征向量，并改进特征值（原点平移法）。取 结果 运用MATLAB指令：V,D=eig(A)； 也可用幂法求解，程序在下面给出，可自行调试进行求解：（1）（2）（3）下面给出幂法的算法程序：已调试：function namda,q,time,date_na,date_q=mifa(A,tol,x0) if nargin =1 tol=1e-7; temp=length(A); x0=ones(temp,1); end if nargin=2 temp=length(A); x0=ones(temp,1); end m1=0; u=x0; time=0;while time500 v=A*u; vmax,i=max(a