2010年考研数三试题及答案.doc

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及参考答案一、选择题（18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定的位置上）（1）若，则（ C ）（A） （B） （C） （D）【详解】方法一 方法二，（2）设函数，是一阶非齐次微分方程的两个特解，若常数，使得是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则（ A ）（A）， （B）， （C）， （D），【详解】是的解；是的解，（3）设函数、具有二阶导数，且，是的极值，则在处取得极大值的一个充分条件是（ B ）（A） （B） （C） （D）【详解】记，在处取得极大值的一个充分条件：因为，又有必有.（4）设，则当充分大时有（ C ）（A） （B） （C） （D）【详解】当时，本题属于初等函数性质的运用（5）设向量组可由向量组线性表示，下列命题正确的是（ A ）（A）若向量组线性无关，则 （B）若向量组线性相关，则（C）若向量组线性无关，则 （D）若向量组线性相关，则【详解】 本题考察的知识点是向量组的线性相关性的性质以及向量组的线性表示。直接运用定理就能得到结论。记向量组向量组，向量组向量组，则（A）若向量组线性无关，则；（B）若向量组线性相关，则；（C）若向量组线性无关，则；（D）若向量组线性相关，则.（6）设是实对称矩阵，且，若，则相似于（ D ）（A） （B） （C） （D）【详解】本题考察的知识点是矩阵的相似的性质，实对称矩阵可对角化的性质，矩阵的特征值，矩阵的秩等。由实对称矩阵知和对角矩阵相似，且对角元为的特征值，由条件满足，可推得特征值必满足，可知的特征值必为或，再由相似矩阵有相同的秩知的特征值必为个和个，故选D（7）设随机变量的分布函数为，则（ C ）（A） （B） （C） （D）【详解】，答案为C评注：本题实际上是考查分布函数的性质，即对任意随机变量，均有，这样的问题在辅导教程中出现过多次，属于基本概念的考查。（8）设为标准正态分布的概率密度函数，为上均匀分布的概率密度函数，若（，），则，满足（ A ）（A） （B） （C） （D）【详解】由概率密度的性质知，即。答案为A评注：本题实际上是考查密度函数的性质与正态分布和均匀分布的基本性质，这里还需要知道的是标准正态分布取负值的概率为，以及均匀分布的的计算问题，这些基本概念及运算是在辅导中反复强调的。二、填空题（914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上）（9）设可导函数由方程所确定，则【解析与点评】（10）设位于曲线（）下方，轴上方的无界区域为，则绕轴旋转一周所得空间区域的体积为【解析与点评】（11）设某商品的收益函数为，收益弹性为，其中为价格，则.【解析与点评】收益弹性：（12）若曲线有拐点，则 3 【解析与点评】曲线有拐点（13）设，为阶矩阵，且，则 3 【解析与点评】本题考查的知识点有矩阵的运算及矩阵的行列式的性质。因为，再利用矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积，得到结果。（14）设为来自总体（）的简单随机样本，统计差，则【解析与点评】评注：本题实际上是考查随机变量数字特征的基本性质的题目，只要知道简单随机样本的定义就不难给出直接的结论，本题属于最基本的题型。三、解答题（1523小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）（15）（本题满分10分）求极限。【解析与点评】方法一因为，只需考虑当时，由运算法则及无穷小量替换得到所以。方法二因为，（16）（本题满分10分）计算二重积分，其中由曲线与直线及围成。【解析与点评】区域关于轴对称，所以原式。（17）（本题满分11分）求函数在约束条件下的最大值和最小值。【解析与点评】令得可能的最值点为：因为在两处，在两处，在两处，所以，。（18）（本题满分10分）（I）比较与（）；（II）记（），求。【解析与点评】（）令当时，故当时当时，从而 又由得（）方法一，由（）知，因为所以 由夹逼准则得方法二 由夹逼准则的方法三 由（）知，又因为，所以所以因为，所以评点：本题主要考点：初等函数性质，积分的保号性与比较性质，分部积分法与极限运算。注意本题中积分为第二类广义积分（19）（本题满分11分）设函数在内连续，在内存在二阶导数，且。（I）证明：存在，使得；（II）证明：存在，使得。【解析与点评】（I）设，则根据拉格朗日中值定理，存在，使即。由题设知，故（II）介于在上的最大最小值之间，根据连续函数的介值定理，存在。由题设知，故。由于，且，根据罗尔定理，存在，使，从而存在，使得（20）（本题满分11分）设，已知线性方程组存在两个不同的解。（I）求，； （II）求的通解。【解析与点评】（I）设为的2个不同的解，则是的一个非零解，故。于是或当时，因为，所以无解，舍去当时，对的增广矩阵施以初等行变化因为有解，所以（II）当，时，所以的通解为，其中为任意常数。【点评与分析】本题考查的知识点是线性方程组的理论及求解的能力。由题设非齐次线性方程组有两个解，就有无穷多解，其导出组就有非零解，导出组的系数矩阵列不满秩，其行列式等于零。从而求出参数的值。利用方程组有解的条件，判断的取值。再利用方程组有解的条件，通过消元法求得的值。最后通过对增广矩阵作初等行变换，求得方程组的通解。（21）（本题满分11分）设，正交矩阵使得为对角矩阵，若的第一列为，求，。【解析与点评】由题设，为的一个特征向量，于是，解得。由于的特征多项式，所以的特征值为，属于特征值的一个单位特征向量为；属于特征值的一个单位特征向量为令，则有，故为所求矩阵考点：本题考查的知识点是实对称矩阵和对角矩阵相似的理论和计算。由题设得到的第一列是矩阵的一个特征向量，由此可以求得参数及它的特征值，再求的全体特征值和特征向量，因为特征值都是单根，不需正交化，进过单位化，就得到正交矩阵。（22）（本题满分11分） 设二维随机变量的联合密度函数为，。求及。【解析与点评】先考虑的边缘密度，由公式知，这里及恰好为正态分布以及的密度函数，故。又由于当时，有，评注：本题实际上是考查二元正态分布的边缘分布与条件分布为题。在本题中，要时刻牢记一元正态分布的概率密度的定义以及基本性质，这样可避免进行复杂的数学运算，而直接应用相关的理论，这种技巧和方法，在推导二元正态分布的条件分布时，进行估详细的介绍介绍。属于基本题型（23）（本题满分11分）箱内有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1、2、3个，现从箱中随机取出2个球，设为取出的红球个数，为取出的白球个数。（I）求随机变量的概率分布； （II）求。【解析与点评】（I）由于的可能取值为，的可能取值为，。 所以，可能的