北邮随机信号答案ch8.pdf

第 8 章习题解答 第 8 章习题解答 8 1 图 8 13 为二元对称信道示意图 为交叉概率 即信道输入为 0 或 1 时 输出为 1 或 0 的概率 而且 是一个很小的量 设先验概率相等 试求 1 保证总错误概率最小的判决规则 2 1 2 时的错误概率 图8 13 二进制对称信道 0 1 0 1 1 1 图8 13 二进制对称信道 0 1 0 1 1 1 解 由题意可知 如果 1 2 8 2 7 检测概率为 2 1 2 2 1 1 1 exp 2 2 D zN PP zHdzQ N N 8 2 8 当采用最小错误概率准则且 P H1 P H0 时 0 1 判决表达式为 1 0 1 2 H z H 0 则 2 0 0 1 ln 2 H z NA H 检验统计量z为样本均值 为了确定判决的性能 首先需要确定检验统计量的分布 2 0 z HN AN 2 1 z HNAN 所以 虚警概率为 2 0 2 2 1 exp1 2 2 F zANA PP zHdzQ N N 当采用最小错误概率准则且 P H1 P H0 时 0 1 0 判决表达式为 0 1 0 H z H 1 22 F N AN A PQQ 2 M NA PQ 总的错误概率为 01 2 eFM N A PP HPP H PQ 8 4在 两 种 假 设 下 观 测z的 概 率 密 度 如 图 8 14所 示 已 知 先 验 概 率 为 10 0 7 0 3P HP H 试求其判决域及错误概率 0 图8 14 概率密度示意图 1 f z H z 0 1 2 1 1 0 f z H 1 1 1 2 z 1 2 0 图8 14 概率密度示意图 1 f z H z 0 1 2 1 1 0 f z H 1 1 1 2 z 1 2 解 1 1 1 2 f z Hz 0 11 1 1 22 f z Hzz 1 0 1 01 z f z H z zf z H 很显然 判决规则应该为 如果 1z 试求贝叶斯准则下的判决表达式 在 01 1 2P HP H 条件下 将结果推广到 N 个独 立观测下的最小错误概率准则的判决表达式 并导出总错误概率的表达式 8 7 设有九个独立观测 1 2 9 ii zsvi 其中 0 1 0 1 3 H s H 在假设下 在假设下 i v为相互独立的正态随机变量 其均值为 0 方差 2 0 09 现令虚警概率 8 10 如 判决规则定为当 9 1 iT i GzG 时 则判为1 3s 试求 T G的值及相应的检测概率 D P 8 8 设两个假设下 M 个独立观测为 0 1 2 ii ii Hzv Hzv 其中 i v为均值为零 方差为 2 的正态白噪声 依据 M 个独立样本 1 2 i z iM 采用 纽曼 皮尔逊准则进行检验 且令虚警概率0 05 试求最佳判决门限及相应的检测概率 解解 两种假设下的似然函数为 2 0 1 1 exp 42 M i i z fH z 2 1 1 1 2 exp 42 M i i z fH z 1 exp 1 M i i z z 判决表达式为 1 0 1 0 1 ln M i i H z H 0 05 检测门限 1 2 0 05Q M 检测概率为 2 1 1 2 2 exp 4 2 2 D zM PP zHdzQ MM 8 9 许多情况下 两种假设下观测值的密度函数是离散的 在密度函数中使用冲激函数照样 可以推导似然比检验 假定在两种假设下观测值是泊松分布的 1 11 exp 0 1 2 n m P zn Hmn n 0 00 exp 0 1 2 n m P zn Hmn n 其中 10 mm 1 试证明似然比是 1 10 10 0 ln lnln H mm z mm H 试证明错误概率为 1 0 0 0 1 exp n F n m Pm n 和 1 1 1 0 exp n M n m Pm n 画出接收机工作特性 假定 01 1 2mm 解 参见 信号检测与估计学习指导和习题解答 pp110 8 10 考虑下列二元假设检验问题 0 1 Hzv Hzsv 其中s和v是独立随机变量 exp 0 0 0 exp 0 0 0 ass f s s bvv f v v 其中 1 exp 0 ba zszs f z s H zs 0 2 若采用贝叶斯准则 则有 100001000 011110111 CCP HCCq CCP HCCp 则 检测门限 1000 0111 CCq CCap 3 若采用奈曼 皮尔逊准则 则虚警概率 0 exp exp FA b Pf z Hdzbaz dza a 所以有检测门限 1 FA aP In ab 8 11 某些雷达问题中 必须在所谓杂波的有害干扰背景中 确定目标是否存在 由海面 陆地等返回的反射波可以用对数正态分布来描述 2 0 2 1 ln exp0 0 0 22 xm fx mxm x 或用韦布尔分布 Weibull 来描述 1 1 exp 0 0 0f xxxx 实际情况下 可以得到杂波反射的 N 个独立测量值 1 2 i x iN 根据这些测量值要求 在不知道非随机参数 m 和 的情况下 确定杂波是对数正态分布的 还是韦布尔分布 的 实现这一检验常用的办法是把测量值取自然对数变换 即 ln ii zx 若 i x是对数正态分布的 则 i z是参数为m和 的正态分布 2 0 2 1 exp1 2 22 i i zm fziN 若 i x是韦布尔分布的 则 i z是按第一类极值分布 1 1 expexpln 1 ii i zaza f zab bbb 在利用变换后的测量结果求广义似然比时 宜假定a和b的最大似然估计是 6 amb b 式中 是欧拉常数 m 和 是m和 的最大似然估计 试证明检验统计量为 1 1 exp 6 N i i zm D N z 8 12 如四个假设 0123 HH HH观测 z 分别为二 四 六 八个自由度的 2 分布 参见习 题 1 18 其先验概率相等 且代价因子 00110110 0 1cccc 试按似