（新课标）高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第3讲 均值不等式及其应用习题.doc

2017高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第3讲 均值不等式及其应用习题a组基础巩固一、选择题1下列命题中正确的是 ()a函数yx的最小值为2b函数y的最小值为2c函数y23x(x0)的最小值为24d函数y23x(x0)的最大值为24答案d解析yx的定义域为x|x0，当x0时，有最小值2，当x0时，有最大值2，故a项不正确；y2，取不到“”，故b项不正确；x0时，3x24，当且仅当3x，即x时取“”，y2(3x)有最大值24，故c项不正确，d项正确2若a，b均为大于1的正数，且ab100，则lgalgb的最大值是 ()a0b.1c2d答案b解析a1，b1，lga0，lgb0.lgalgb1.当且仅当ab10时取等号3若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于 ()a1b.1c3d4答案c解析因为x2，所以x20，则f(x)x(x2)2224，当且仅当x2，即x3时取等号即当f(x)取得最小值时，x3，即a3.4(2015湖南)若实数a，b满足，则ab的最小值为 ()a.b.2c2d4答案c解析解法一由已知得，且a0，b0，abb2a2，ab2.解法二由题设易知a0，b0，2，即ab2，选c.5已知x0，y0，且4xyx2y4，则xy的最小值为 ()a.b.2c.d2答案d解析x0，y0，x2y2，4xy(x2y)4xy2，44xy2，即(2)(1)0，2，xy2.6已知a0，b0，若不等式0恒成立，则m的最大值为 ()a4b.16c9d3答案b解析因为a0，b0，所以由0恒成立得m()(3ab)10恒成立因为26，当且仅当ab时等号成立，所以1016，所以m16，即m的最大值为16，故选b.二、填空题7点p(x，y)在直线x3y20上移动，则z3x27y3的最小值是_.答案9解析z3x27y323239.8(2015山东师范大学附属中学高三模拟)已知x0，y0，若m22m恒成立，则实数m的取值范围是_.答案4m2解析根据题意，x0，y0，则0，0，所以28即的最小值为8.若m22m恒成立，必有m22m8恒成立，所以m22m8，m22m80，即4m2.9(2015重庆)设a，b0，ab5，则的最大值为_.答案3解析()2ab42929ab418，所以3，当且仅当a1b3且ab5，即a，b时等号成立所以的最大值为3.10已知ab0，则a2的最小值为_.答案16分析由b(ab)求出最大值，从而去掉b，再由a2，求出最小值解析ab0，ab0.b(ab)2.a2a2216.当a2且bab，即a2，b时等号成立a2的最小值为16.三、解答题11(1)已知a，b，cr，求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2abc(abc)(2)已知a，b，c(0，)，且abc1，求证：9.证明(1)a4b42a2b2，b4c42b2c2，c4a42c2a2，2(a4b4c4)2(a2b2b2c2c2a2)即a4b4c4a2b2b2c2c2a2.又a2b2b2c22ab2c，b2c2c2a22abc2，c2a2a2b22a2bc，2(a2b2b2c2c2a2)2(ab2cabc2a2bc)即a2b2b2c2c2a2ab2cabc2a2bcabc(abc)(2)abc1，33()()()32229.当且仅当abc时，取等号12(2015浙江嘉兴调研)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(x0)(单位：米).(1)将总费用y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求最小总费用答案(1)y225x360(x0)(2)x24 m时最小费用为10440元解析(1)设矩形的另一边长为a m，则y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知xa360，得a，y225x360(x0)(2)x0，225x210 800，y225x36010 440.当且仅当225x时，等号成立即当x24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元b组能力提升1(2015河北“五个一名校联盟”高三质量监测)函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图像恒过定点a，若点a在直线mxny20上，其中m0，n0，则的最小值为 ()a2b.4c.d答案d解析由函数yloga(x3)1(a0，且a1)的解析式知，当x2时，y1，所以a点的坐标为(2，1)，又点a在直线mxny20上，所以2mn20，即2mn2，所以22，当且仅当mn时等号成立所以的最小值为，故选d.2若不等式a在t(0,2上恒成立，则a的取值范围是 ()a，1b.，2c，d，1答案d解析，而yt在(0,2上单调递减，故t2，(当且仅当t2时等号成立)，2()2，因为，所以2()21(当且仅当t2时等号成立)，故a的取值范围为，13(2015江西南昌市高三调研)若正数a，b满足1，则的最小值为 ()a16b.25c36d49答案a解析因为a，b0，1，所以abab，所以4b16a20.又4b16a4(b4a)4(b4a)()204()204236，当且仅当且1，即a，b3时取等号所以362016.4已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值答案(1)64(2)18解析(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12，得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.(2)由2x8yxy0，得1，则xy()(xy)1010218.当且仅当x12且y6时等号成立，xy的最小值为18.5(2015江苏徐州质检)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形abcd和efgh构成的面积为200 m2的十字形区域现计划在正方形mnpq上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.(1)设总造价为s元，ad的长为x m，试建立s关于x的函数关系式；(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？答案(1)s38 0004 000x2(0x10)(2)至少投入118000元解析(1)设dq