三阶非线两点边值问题的正解的存在.docx

三阶非线性两点边值问题的正解的存在性三阶非线性两点边值问题的正解的存在性 吉林省公主岭市第三高级中学 张娜摘要：讨论了三阶非线性两点边值问题 正解的存在性.利用锥上的不动点定理证明了该问题至少存在两个正解.关键词：三阶常微分方程；边值问题；正解的存在性；锥.Abstract：The existence of a positive solution to two-point boundary value problems are considered for third-order nonlinear differential equation ,is studied with .At least two positive solution exists by using the Fixed Point Theorem in cones.Key words: third-order nonlinear differential equation; boundary value problem; existence of a positive solution; cone. 目 录中文摘要Abstract1、引言1 1.1研究背景1 1.2研究问题12、基本理论2 2.1基本概念22.2基本引理23、主要结果54、致谢85、参考文献91、引 言1.1 研究背景常微分方程作为一门学科是伴随着微积分的形成而产生的,在十七世纪作为微积分的一部分,微分方程和微积分彼此不分,十八世纪由于天文学,力学,物理学的需要,同时也是由于解决许多复杂的问题需要专门的技术,这样微分方程开始成为了一门独立的学科,在数学及许多应用学科中,发挥着越来越大的作用,直到现在作用仍然有增无减.非线性微分方程的边值问题是微分方程领域中一个十分重要的研究领域.近几年来,人们在对三阶微分方程的两点边值问题正解的存在性研究方面做了许多工作,起到了举足轻重的作用,并且非线性边值问题在自然科学,生产实践以及工程技术领域中都有广泛的应用.最近,国内外许多学相继用不动点定理,非线性抉择和迭合度理论等研究给出非线性边值问题正解的存在性的一些结果.文献10,11中只在局部范围内对此类问题进行了研究,本文将在更广泛的范围内研究边值问题至少存在两个正解的情况,使其更具有实际意义.1.2 研究问题本文研究如下三阶非线性两点边值问题 正解的存在性.这里是非负常数,且.以下,我们总假定: 区间上不恒为零; 存在使得则, , 其中.在第二部分我们给出了基本理论,包括基本概念和基本引理第三部分我们给出了本文的主要结果及证明2、基 本 理 论2.1 基本概念定义2.1.1 设是Banach空间,是中的非空闭集如果满足 任给有； 若则，则称是中的锥定义2.1.2 设是B空间,设线性；称是紧算子，如果在中是紧集，其中是中的单位球定义2.1.3 连续算子,若把中的任一有界集映为中的紧致集,则称为全连续算子.定义2.1.4 所谓是边值问题(1),(2)的正解,是指是边值问题(1),(2)的解,且.2.2 基本引理引理2.1 边值问题 有唯一解这里是边值问题(3),(4)的Green函数.引理2.2 证明 设 当时,有故 当时,有 故 ,从而引理2.3 这里证明 当时,有 当时,有引理2.3证毕.不难验证边值问题(1),(2)等价于积分方程 (5)记 (6)(在本文中仅用到sup范数).这里 显然是中的一个锥.引理2.4 .证明 由引理2.3可知注意到的事实,可得.证明完成.引理2.5设是一个空间，为中的一个锥.对于,定义.假设是一个全连续算子,对于,使得. 对于,如果,那么 ; 对于,如果,那么 .3、主 要 结 果定理3.1 假设满足,则边值问题(1)和(2)至少有两个正解和,使得.证明 任取使得 (7)由,存在,使得,且当时,有.可断言,对于,事实上,对于, 由引理2.5得 (8)同样满足及(7),存在,使得.对于所有的,选取.由,得到.于是又由引理2.5得 (9)另一方面,又由,对于,其中,如得.因此,对于,.显然,对于,.再次由引理2.5得. (10)由不动点指数的可加性和(8),(9),(10),有且.因此,有一个不动点且有一个不动点.这两个都是边值问题(1)和(2)的解.对于有和. 定理证毕.5、参 考 文 献1 Zhao Weili.Singular perturbations for third order nonlinear boundary value problems J. Nonliear Analysis TMA,1994,23(10):1225-1242.2 L.H.ERBE.Multiple positive solutions of some boundary value problems J.SIAM Rev.1987.3 Gregus M.Third order linear differential equations M. Reidel D,Dordrecht, the Netherland.1987.4 Guo D,Laskshmikantham V. Nonlinear problems in abstract conesM. Academic Press San Diego, 1988.5 TROY WC.Solution of Third-order Differential Equation Relevant to Draining and coating Flows J. SIAM.J.Math.Anal.1993,24.6 Guo Da Jun. Some fixed point theorems on cone maps J. Kexue Tonghao, 1984, 29 (5):575-578. 7 J.S.W.WONG,On the generalized. Emden-Fowler equation, SIAM Rev.17(1975).339- 360.8 赵为礼.三阶微分方程边值问题解的存在性J.吉林大学学报,1984,(2):10-19.9 松昌松.具有奇性的三阶微分方程边值问