函数连续性在矩阵分析中的应用.doc

函数连续性在矩阵分析中的应用在数学分析的学习中知道，函数的连续性具有非常好的特性，比如局部有界性，介值性等，这使得很多问题在函数连续的基础上可以变得简单，那么函数连续性在高等代数中是否也有同样的好处，可以将问题简单化呢？类似于矩阵特征多项式和含字母矩阵的k阶主子式等这样一类都是关于参数的多项式，而多项式为一连续函数，因此函数的连续性可以应用在矩阵中，从而引发了对函数连续性在矩阵的各方面的应用，比如：在伴随矩阵，矩阵的正定性以及矩阵对应行列式的计算等各方面的应用。一、预 备 知 识定义、函数在一点连续的定义：若函数在的邻域包含本身有定义，并且，我们就称在点连续。定义、函数在某一区间内有定义：若函数在开区间内每一点都连续，也就是说对内任何一点皆成立，则称在内连续，对闭区间来说，在上连续的定义是指：在内连续，同时有，则称在内连续。引理、由初等函数的连续性知，多项式在上为连续函数。定理、（代数基本定理）任意一个n次复系数多项式一定有n个复数根，其中n1.定理、设是任意一个n次复系数多项式，n0，则恰有n个复数根，而且，其中是的首项系数。引理、证明：由于，故，从而，于是，证得.引理、引理4、对上的任一矩阵A，存在，使得在上有可逆，其中.证明： 其中A=则是关于的多项式，由多项式的根的存在性定理知它具有个根，设不全为零，并记，取正数，使得，于是对任意的，即可逆。引理：设n阶实矩阵，若，则。证明：若，则A的列向量线性相关，故存在不全为零的数，使 不妨设是中最大的数，则，于是，则，于是，矛盾！二、函数连续在伴随矩阵中的一些应用对于方阵A，存在等式,特别地，若A可逆就有，但若A不可逆时，这个等式就不成立，在讨论有关伴随矩阵的一些特性时，对A可逆的情况，利用可方便证明相关结论，对A不可逆的情况，往往可利用这样一类矩阵配合函数的连续性进行推导。2.1、用表示阶方阵的伴随矩阵，证明： 证明：i）当A可逆时，可逆且有ii)当A不可逆时，令，由引理四，存在定区间，使得可逆，由情形i）知有，从而当时，取极限有.综合情形i），ii）有结论：、证明：证明：i）先证明A,B可逆的情形。当A,B均可逆时，即，这时有：即证得ii)再证明A,B不可逆的情形。令，则存在公共的，使及均可逆。事实上， 其中A=，则是关于的多项式，因此由多项式的根的存在性定理知它具有个根，设不全为零，并记，取正数，使得，于是对任意的，即可逆。同理， 其中B=，则是关于的多项式，因此由多项式的根的存在性定理即定理二知它具有个根，设不全为零，并记，取正数，使得，于是对任意的，即可逆。取，则当任意的，均有且，即这时与均可逆，这时由情形i）即有，从而当时，取极限有。综上所述，无论A,B是否为可逆矩阵，均有成立。注：在的证明过程中，当A,B可逆时，证明的过程是简单的，利用即可得到，而当A,B不可逆时，与不存在，因此，公式不可用，那么借助与，由行列式的知识知它们的行列式都是的次多项式，再由多项式的知识找出一个区间，使得在这个区间上与的行列式均不为零，即意将情形ii）归为情形i），最后利用函数的连续性得出结论。设A,B为任意两个方阵，若AB,则其伴随矩阵也相似，即.证明：i）当A,B均可逆时，由和有 , (1)因为A与B相似，故存在可逆方阵P,使得 (2)两边取行列式得,将（1）式代入（2）式中得到：因为，所以，即,在等式两边同乘得：，即于是有， 那么, 从而.ii）当A,B均不可逆时，令，由引理4，存在，使得在上有与均可逆，且有，即，由情形i）知，从而当时，取极限有.三、函数连续性在行列式计算中的应用分块矩阵能简化高阶矩阵的运算，可应用于高阶矩阵的逆矩阵和秩的求解、行列式计算等问题中，矩阵的特征多项式也是关于行列式的计算，并且是一类本身就带有参数的特殊行列式计算，以下我们应用函数的连续性来解决行列式计算的一些问题。 、 , 其中A,B,C,D且AC=CA证明：i）先证明A可逆的情形。 (1)显然,因此对（1）式两边取行列式得到由于，所以于是ii）再证明A不可逆的情形。记 其中A=，易知是关于的次多项式。因此，由多项式的根的存在性定理即定理二知它具有个根，设不全为零，并记，取正数，使得，于是对任意的，,即可逆。由于AC=CA,故,如果全为零，则同样存在正数，使得对任意，可逆，并且，于是，由i）中证得的结论，得知，上式两端都是关于的多项式，从而是关于的连续函数，因此当时，上式就化为注：在对分块矩阵的计算中，采取左乘（或右乘）初等矩阵，但当矩阵A不可逆时则要构造函数,找到一个区间，使该函数在基上连续且可逆，将情况归于情形i），最后应用函数的连续性证得。另外，类似的，当一矩阵可逆时结论易证，那么在考虑其不可逆的情况时，可以尝试利用函数连续性将问题归为可逆一类。若A,B是n阶方阵，则AB与BA有相同的特征多项式。证明:i)若A可逆，则，即这时有AB与BA有相同的特征多项式。ii）若A不可逆，记，由引理4知对任意的t,存在，使得在上，有可逆，由i)证得的结论知这时有和有相同的特征多项式，即，上式两端都是关于t的多项式，从而是关于t的连续函数，因此当t趋于零时，上式就化为。综上，对任意方阵A,B，AB与BA均有相同的多项式。、对n阶方阵A,B,若AB=BA,且，那么有.证明：i）当A可逆时，对AB=BA分别左乘，右乘得,因为AB=BA且，所以即为幂零矩阵，故的特征值全为0，从而E+的特征值全为1，即,即。反过来，当B不可逆时，取,由引理4知，对任意的t,存在，使得在上有可逆，由i）中的结论知这时有，上式两端都是关于t的多项式，从而是关于t的连续函数，因此当t趋于零时，上式就化为。综上所述，满足AB=BA,且条件时有。四、 函数连续性在其他一些方面的应用除了伴随矩阵，矩阵行列式的计算，我们知道一个矩阵是否正定（或负定）可通过其左右顺序主子式是否大于0（或小于0）进行判断，而各个顺序主子式是各阶子式的行列式，像引言中谈到的，若这是一个含参数的矩阵，则各个顺序主子式均是关于这个参数的多项式，也是关于参数的连续函数，所以函数的连续性同样可应用到矩阵正定性的判断中。另外，在证明矩阵的一些性质时，若针对可逆矩阵时成立，那么对不可逆矩阵，我们可以通过像引理四一样地构造一个可逆矩阵，得证结论，再由函数的连续性知对原矩阵也有相同的结论。设A为实对称矩阵，则有：1) 当正实数充分大时，是正定矩阵;2) 当正实数充分小时，是正定矩阵;3) 时，存在实维向量，使.证明：1)首先，由于A是实对称矩阵，故对任意实数， 其中A=其次，令为的顺序主子式，即它们分别是的各阶子式的行列式，由行列式的知识知，将各个行列式展开都是首项系数为1的实系数多项式，于是也是关于的连续函数，由多项式的知识，对充分大的正实数，可使，因此，对充分大的正实数t，可使得为正定矩阵。2）由于对任何正实数都有，而当充分小时，为充分大的正数，因此由1）知为正定矩阵，从而也是正定矩阵。3）令，存在，使，又，是一连续函数，由介值性定理知，存在，使，即。下面考虑齐次线性方程组，由于它的系数矩阵为，而，由齐次线性方程组的知识知，方程组有非零解，即，其中设，在等式两边同时乘上得到，即,那么，由于且，所以，故，那么即为所求实维向量。注：在第3）的证明中，先利用到函数的介值性，接着联系齐次线性方程组的知识得证。 与任意可逆矩阵可交换的矩阵必为数量矩阵。 证明：设A与任意n阶可逆矩阵可交换，则与也可交换，及与可交换，现在设，则由AB=BA可得，从而得 ，于是当时得。又由AC=CA可得从而又得，即A为数量方阵。由该结论下面讨论不利用特殊矩阵而证得与任意不可逆矩阵可交换的均是数量矩阵。即设A与任意不可逆n阶方阵可交换，则A必为数量矩阵。设B为任一不可逆矩阵，且AB=BA, 令， 其中则是关于t的n次多项式，因此，由多项式的根的存在性定理即定理二知它存在n个根，设不全为零，并记，取正数，使得，于是对任意的，即可逆。又有,即A与可交换，由我们知A为数量矩阵，证得结论。注：在对这个结论的证明中，可采用取特殊矩阵讨论得出结论，但以上得用在可逆满足结论的情况下构造一个新的矩阵，再应用函数的连续性，亦可证得结论，不失为另一种证法。、设n阶实矩阵，证明：若，则。证明:令，则是一个实系数多项式，当时，有，由引理5知，对上的任何