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1 3矢量场的旋度 一 矢量的环流 1 定义 线 在矢量的场中 矢量沿某一闭合路径的线积分 称为该矢量沿此闭合路径的环流 2 有旋场 无旋场 保守场 在某一矢量的场中 矢量沿任意闭合路径的线积分 恒等于零 则该矢量场为无旋场 反之 为有旋场 二 旋度 1 环流密度 在矢量场中来研究其M点的性质 取包含此点的一个面元 其边界为C 保持面元的方向不变 而以任意方式趋近于零 则 环流密度 环量 环量面密度 讨论 与的边界C保持一致 取最大值 与有一夹角 则 当 时 有旋矢量场与面元的法向分量垂直 环流密度有最大值 此即被称为的旋度大小 的方向就称为旋度的方向 与不在同一平面上 2 旋度的定义 矢量的旋度 记作 故 即 任意方向的环流密度 旋度的物理意义 旋度的计算 矢量的旋度为矢量 是空间坐标的函数 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度 在直角坐标系下 故 例 求矢量场在 点M 1 0 1 处的旋度及沿 方向的环流密度 解 矢量场的旋度 在点M 1 0 1 处的旋度 在点M 1 0 1 处沿方向的环流密度 三 矢量场旋度的重要性质 旋度的散度恒等于零 证明 旋度与散度的定义都与坐标系无关 应用 斯托克斯定理 证明 将S分成许多面元 其相应面元的边界为 对每一个面元 其边界的环绕方向均取与大回路C一致的环绕方向 则 相邻两面元 的边界 在公共边界上的积分等值异号 相互抵消 又 故 证毕 例1 4已知 现有一个在面内的闭合路径C 此闭合路径由和之间的一段抛物线和两段平行于坐标轴的直线组成 如图所示 求 1 矢量场的A旋度 2 计算环流 积分区域为如图
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