计算方法期末试题.doc

数学系08级数学与应用数学、信息与计算科学专业计算方法课程测试题B楚 雄 师 范 学 院 2010-2011 学年第一学期期末测试题 B 课程计算方法 考试时间： 120 分钟班级 姓名 学号 题 号一二三四五六七总分得 分评卷人一、 判断题（每题2分，共10分）（ ）1浮点数构成有限集合;（ ）2当一个矩阵的条件数较大，则该矩阵为病态矩阵;（ X ）3高次的Lagrange插值多项式很常用;（ X ）4梯形求积公式的代数精度为2;（ ）5Newton法有可能不收敛;二、 填空题（每题2分，共10分）1当浮点数集中的基数=2，尾数位数，阶码时，则该浮点数集中共有 28 个正数;2已知，用拉格朗日插值法计算的表达式为：;3已知在的值分别为,若用二次插值多项式计算，则其误差估计为：;4设向量，则;5用复化梯形求积公式求的近似值，要将区间分成 3 等分，才能保证误差不超过0.01;三、计算题（每题10分，共30分）1给定数据表如下：12341012试求三次牛顿插值函数。 解：先构造牛顿插值差分表， x=1:4;y=1 0 1 2; n=length(x); D=zeros(n); D(:,1)=y; for j=2:n for i=j:n D(i,j)=(D(i,j-1)-D(i-1,j-1)/(x(i)-x(i-j+1); end end DD = 1.0000 0 0 0 0 -1.0000 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 0 2.0000 1.0000 0 -0.3333故所求三次牛顿插值函数为： 2用最小二乘法求形如（为常数）的经验公式，使它与下表数据相拟合：01231010033330200001429解：为求出待定系数将函数变形为： 令，则所求函数变形为线性函数： （3分）由最小二乘法原理，可得正规方程组： （2分）利用MATLAB的polyfit(x,1./y,1)命令可得： 故所求拟合函数为： （5分）3已知一组实验数据如下表：13579110.74591.66013.69458.222318.299140.7254试求该数据的拟合曲线。解： x=1:2:11; y=0.7459 1.6601 3.6945 8.2223 18.2991 40.7254; plot(x,y,+) %从散点图中可以看出数据大致分布呈“指数型”: （4分） subplot(2,2,1) plot(log(x),y,+) subplot(2,2,2) plot(x,log(y),+) subplot(2,2,3) plot(log(x),log(y),+) polyfit(x,log(y),1) （3分）ans = 0.4000 -0.6931故 exp(-0.6931)=0.5因此拟合函数为 （3分）四、计算题（每题10分，共20分）1用列主元素消去法解方程组;解：该方程组的增广矩阵为： （6分） 故x3=7.5/2.5=3，x2=(8-2x3)=2, x1=-(13-4x2-x3)/2=1 （4分）2用迭代法解方程组（小数点后保留四位小数）;解：雅可比迭代法的迭代公式为： （4分）利用MATLAB求解如下： x1(1)=1;x2(1)=1;x3(1)=1; for i=1:20 x1(i+1)=1/5*(-12-2*x2(i)-x3(i); x2(i+1)=1/4*(20+x1(i)-2*x3(i); x3(i+1)=1/10*(3-2*x1(i)+3*x2(i); end x1,x2,x3 （4分）ans = 1.0000 1.0000 1.0000 -3.9998 2.9999 1.9998 -3.9999 3.0002 1.9999 -4.0000 3.0001 2.0000 -4.0000 3.0000 2.0000 -4.0000 3.0000 2.0000故原方程的近似解为 （2分）五、计算题（10分）对于函数，给出了的函数表，试用复化梯形公式、复化抛物线公式计算积分： x01/61/31/22/35/61y1.00000.97260.89480.77880.64120.49940.3679解：（1）复化梯形求积公式可得 利用MATLAB可求得： （5分）（2）复化抛物线求积公式可得 利用MATLAB可求得： （5分）六、计算题（10分）用迭代法求非线性方程在之间的实根的近似值;解：由于，利用牛顿迭代法可得迭代函数为 （5分）取迭代初值，利用MATLAB进行迭代可得： x(1)=1.5; for i=1:20 x(i+1)=x(i)-(sin(x(i)-(x(i)/2)2)/(cos(x(i)-x(i); end x1.5000 1.8043 1.8824 1.9337 1.9337 1.9338 1.9338因此该方程实根的近似值为 （5分）七、应用题（10分）已知数据表如下，应用数值微分的方法计算表中所列的导数。x12345y247910解： clear; h=1; x=1:h:5; y=2 4 7 9 10; n=length(x); dy=zeros(1,n); dy(1)=(-3*y(1)+4*y(2)-y(3)/(2*h); dy(n)=(3*y(n)-4*y(n-1)+y(n-2)/(2*h); for i=2:n-1 dy(i)=(y(i+1)-y(i-1