三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.1 直线方程和两条直线的位置关系课件.ppt

8 1直线方程和两条直线的位置关系 1 直线的倾斜角与斜率 0 180 不存在 3 直线方程的几种形式 2 两条直线的斜率与它们平行 垂直的关系 k1 k2 k1 k2 1 4 两条直线的交点坐标设两条直线的方程为l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 则这两条直线的交点坐标就是方程组的解 1 若方程组有唯一解 则这两条直线相交 此解就是交点坐标 2 若方程组无解 则这两条直线平行 此时这两条直线无交点 反之 亦成立 5 距离 c c 1 2015浙江五校第一次联考 若直线ax by c 0同时经过第一 第二 第四象限 则a b c应满足 a ab 0 bc0 bc 0c ab0d ab0 令y 0 则x 0 即bc0 故选a c 2 若直线l y kx 与直线2x 3y 6 0的交点位于第一象限 则直线l的倾斜角的取值范围是 a b c d 答案b直线2x 3y 6 0与x轴 y轴交于 3 0 0 2 由图可知k 时交点在第一象限 则倾斜角的范围为 c 3 过点p 1 2 作直线l 使直线l与点m 2 3 和点n 4 5 距离相等 则直线l的方程为 a y 2 4 x 1 b 3x 2y 7 0或4x y 6 0c y 2 4 x 1 d 3x 2y 7 0或4x y 6 0答案d由题意知直线l与mn平行或经过mn的中点 当l与mn平行时 直线l的斜率为 4 故直线l的方程为y 2 4 x 1 即4x y 6 0 当l经过mn的中点时 mn的中点为 3 1 直线l的斜率为 故直线l的方程为y 2 x 1 即3x 2y 7 0 故选d c 4 已知直线l1 y 2x 3 直线l2与l1关于直线y x对称 则直线l2的斜率为 a b c 2d 2答案a l2 l1关于直线y x对称 l2的方程为 x 2y 3 即y x l2的斜率为 故选a c 5 过点p 2 3 并且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 答案3x 2y 0或x y 5 0解析若截距为0 则所求直线方程为y x 即3x 2y 0 若截距不为0 设所求直线方程为 1 由p 2 3 在直线上 可求得a 5 则所求直线方程为x y 5 0 因此满足条件的直线方程为3x 2y 0或x y 5 0 c 直线的倾斜角与斜率典例1 2015浙江金华调研 11 经过p 0 1 作直线l 若直线l与连结a 1 2 b 2 1 的线段总有公共点 则直线l的斜率k和倾斜角 的取值范围分别为 答案 1 1 解析如图所示 为使l与线段ab总有公共点 则kpa k kpb c 又kpa 1 kpb 1 故k 1 1 当0 k 1时 0 当 1 k 0时 故倾斜角 的取值范围为 1 求斜率的常用方法 1 已知直线上两点时 由斜率公式k x1 x2 来求斜率 2 已知倾斜角 时 由k tan 90 来求斜率 3 方程为ax by c 0 b 0 的直线的斜率为k 2 求倾斜角的取值范围的一般步骤 1 求出斜率k tan 90 的取值范围 2 利用三角函数的单调性 借助图象或单位圆确定倾斜角 的取值范围 3 斜率与倾斜角的关系直线倾斜角的范围是 0 而这个区间不是正切函数的单调区间 因此根据斜率求倾斜角的范围时 要分与两种情况讨论 由正切函数图象可以看出当 时 斜率k 0 当 时 斜率不存在 当 时 斜率k 0 1 1 2015杭州模拟 5 直线xsin y 1 0的倾斜角的取值范围是 a b 0 c d 答案d解析直线xsin y 1 0的斜率k sin 1 sin 1 1 k 1 当0 k 1时 倾斜角的范围是 当 1 k 0时 倾斜角的范围是 综上 倾斜角的取值范围是 c 1 2 2014浙江镇海中学阶段性测试 设直线的斜率为k 且 k 则直线的倾斜角 的取值范围为 答案 解析解法一 依条件有 tan 而y tanx在区间和上都是增函数 故应分 tan 0和0 tan 两种情形讨论 当 tan 0时 即有tan tan tan 得 当0 tan 时 即有tan0 tan tan 得0 c 综上得直线的倾斜角 的取值范围为 解法二 函数y tanx在区间和上的图象 如图 两直线y 和y 分别交y tanx的图象于点a和点b 由图象可知直线的倾斜角 的取值范围为 直线方程典例2 2015浙江台州期末 18 15分 根据所给条件求直线的方程 1 直线过点 4 0 倾斜角的正弦值为 2 直线过点 3 4 且在两坐标轴上的截距之和为12 3 直线过点 5 10 且到原点的距离为5 解析 1 由题设知 该直线的斜率存在 故可采用点斜式 设倾斜角为 则sin 0 从而cos 则k tan 故所求直线的方程为y x 4 c 即x 3y 4 0或x 3y 4 0 2 由题设知截距不为0 设直线方程为 1 又直线过点 3 4 从而 1 解得a 4或a 9 故所求直线方程为4x y 16 0或x 3y 9 0 3 当斜率不存在时 所求直线方程为x 5 0 当斜率存在时 设为k 则直线方程为y 10 k x 5 即kx y 10 5k 0 5 解得k 则直线方程为3x 4y 25 0 所求直线方程为x 5 0或3x 4y 25 0 求直线方程的两种方法 1 直接法 根据已知条件 选择适当的直线方程形式 直接写出直线方程 选择时 应注意各种形式的方程的适用范围 必要时要分类讨论 2 待定系数法 具体步骤如下 设某种形式的直线方程 由条件建立关于参数的方程 组 解这个方程 组 求出参数 把参数的值代入所设直线方程 2 1 2015浙江镇海中学测试卷三 18 10分 已知直线l 2m 1 x m 2 y 5m 0 1 求证 直线l必经过定点 2 若直线l在两坐标轴上的截距相等 求直线l的方程 解析 1 证明 由题意得 m 2x y 5 x 2y 0 由得 c 直线l必经过定点 2 1 2 解法一 令x 0 得y 令y 0 得x 由题意得 解得m 0或 3 则直线l的方程为x 2y 0或x y 3 0 解法二 因为直线l在两坐标轴上的截距相等 所以直线l过原点或斜率为 1 从而有m 0或 1 所以m 0或m 3 则直线l的方程为x 2y 0或x y 3 0 两条直线的位置关系典例3 2015台州一模 9 6分 设直线l1 a 1 x 3y 2 a 0 直线l2 2x a 2 y 7 0 若l1 l2 则实数a的值为 若l1 l2 则实数a的值为 答案 1或 4解析若l1 l2 则有2 a 1 3 a 2 0 解得a 若l1 l2 则有 a 1 a 2 3 2 0 解得a 1或 4 经检验知均满足条件 c 1 判定两直线平行的方法 1 判断两直线的斜率是否存在 若斜率都存在 则先把直线化成斜截式 当k1 k2 且b1 b2时 两直线平行 若斜率都不存在 则两直线平行 且还要判断是否重合 2 直接用以下方法可避免对斜率是否存在进行讨论 设直线l1 a1x b1y c1 0 0 l2 a2x b2y c2 0 0 l1 l2 a1b2 a2b1 0且b1c2 b2c1 0 2 判定两直线垂直的方法 1 判断两直线的斜率是否存在 若斜率都存在 则先把直线化成斜截式 当k1 k2 1时 两直线垂直 若一条直线的斜率不存在 另一条直线的斜率为0 则两直线垂直 2 直接用以下方法可避免对斜率是否存在进行讨论 设直线l1 a1x b1y c1 0 0 l2 a2x b2y c2 0 0 l1 l2 a1a2 b1b2 0 3 符合特定条件的某些直线构成一个直线系 常见的直线系有 1 与ax by c 0平行的直线系 ax by m 0 m c 2 与ax by c 0垂直的直线系 bx ay m 0 3 过a1x b1y c1 0和a2x b2y c2 0交点的直线系 a1x b1y c1 a2x b2y c2 0或a2x b2y c2 0 3 1 2015浙江嘉兴桐乡一中调研 二 15 直线l1与直线l2交于一点p 且l1的斜率为 l2的斜率为2k 直线l1 l2与x轴围成一个等腰三角形 则正实数k的所有可能的取值为 答案 解析设直线l1 l2的倾斜角分别为 因为k 0 所以 均为锐角 直线l1 l2与x轴围成一个等腰三角形 有以下两种情况 1 2 则tan tan2 即 而k 0 解得k 2 2 则tan tan2 即2k 而k 0 解得k 综上 k 或 c 3 2 2015浙江舟山检测 17 15分 解答下列问题 1 求平行于直线3x 4y 2 0 且与它的距离是1的直线方程 2 求垂直于直线x 3y 5 0且与点p 1 0 的距离是的直线方程 解析 1 设所求直线方程为3x 4y c 0 c 2 则 1 c 3或c 7 故所求直线方程为3x 4y 3 0或3x 4y 7 0 2 设所求直线方程为3x y c 0 则 c 3或c 9 故所求直线方程为3x y 3 0或3x y 9 0 c 对称问题典例4 2013湖南 8 5分 在等腰直角三角形abc中 ab ac 4 点p是边ab上异于a b的一点 光线从点p出发 经bc ca反射后又回到点p 如图 若光线qr经过 abc的重心 则ap等于 a 2b 1c d 答案d解析以ab所在直线为x轴 ac所在直线为y轴建立如图所示的坐标系 c 由题可知b 4 0 c 0 4 a 0 0 则直线bc的方程为x y 4 0 设p t 0 0 t 4 由对称知识可得点p关于直线bc的对称点p1的坐标为 4 4 t 点p关于y轴的对称点p2的坐标为 t 0 根据反射定理可知直线p1p2就是光线rq所在直线 由p1 p2两点坐标可得直线p1p2的方程为y x t 设 abc的重心为g 易知g 因为重心g在光线rq上 所以有 即3t2 4t 0 所以t 0或t 因为0 t 4 所以t 即ap 故选d 对称问题的求解方法 1 中心对称 若点m x1 y1 与n x y 关于p a b 对称 则由中点坐标公式得 若直线关于直线外一点对称 则在已知直线上取两点 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标 再由两点式求出直线方程 或者求出一个对称点 再利用斜率相等 由点斜式得到所求直线方程 2 轴对称 点关于直线的对称 若两点p1 x1 y1 与p2 x2 y2 关于直线l ax by c 0对称 则线段p1p2的中点在对称轴l上 而且直线p1p2垂直于对称轴l 由方程组可得到点p1关于l对称的点p2的坐标 x2 y2 其中a 0 x1 x2 直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决 有两种情况 一是已知直线与对称轴相交 二是已知直线与对称轴平行 4 1 2015浙江湖州中学期中 4 圆 x 2 2 y2 5关于直线x y 1 0对称的圆的方程为 a x 2 2 y2 5b x2 y 2 2 5c x 1 2 y 1 2 5d x 1 2 y 1 2 5答案d解析设圆心 2 0 关于直线x y 1 0对称的点为 m n 则解得m n 1 故