高中数学 1.1 空间几何体 1.1.7 柱、锥、台和球的体积优化训练 新人教B版必修2.doc

1.1.7 柱、锥、台和球的体积5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.充满氢气的气球飞艇可以供游客旅行.现有一个飞艇,若要它的半径扩大为原来的4倍,那么它的体积应增大到原来的( )a.4倍 b.8倍 c.64倍 d.16倍解析：设气球原来半径为r,则现在半径为4r,此时体积v=（4r）3=64.故选c.答案：c2.圆台的轴截面等腰梯形的腰长为a,下底边长为2a,对角线长为,则这个圆台的体积是( )a. b.c. d.解：由ad=a,ab=2a,bd=a知adb=90,分别过d点、c点作dhab,cgab.知dh=a,hb=.de=hf=a.v圆台=(a2+a2+a2).答案：d3.一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的直径，则这个圆柱的体积与球的体积的比值为_.解析：代入圆柱和球的体积公式求比即可.设球的半径为r，则圆柱的底面半径是r，高是2r，v球=r3，v柱=r22r=2r3.v柱v球=2r3r3=32.答案：3210分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ）a. b. c. d.解：设正方体的棱长为x,则正方体的对角线长为，由题设有，解得x=.所以选d.答案：d2.半径为r的半圆卷成一个圆锥,这个圆锥的体积是( )a. b. c. d.解：设圆锥的底面半径为r,则2r=l=r.r=r.圆锥的高h=.v锥=r2h=.答案：a3.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )a. b. c. d.解：正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8知a=1.则此球的直径为2，故选a.答案：a4.如图1-1-7-1，在四面体abcd中，截面aef经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心o，且与bc、dc分别截于e、f，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥a-befd与三棱锥a-efc的表面积分别是s1、s2，则必有( )图1-1-7-1a.s1s2c.s1=s2 d.s1、s2的大小关系不能确定解：连结oa、ob、oc、od，则vabefd=voabd+voabe+vobefd,vaefc=voadc+voaec+voefc.又vabefd=vaefc而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故sabd+sabe+s四边形befd=sadc+saec+sefc又面aef公共，故选c.答案：c5.正方形abcd的边长为1，分别取边bc、cd的中点e、f，连结ae、ef、af，以ae、ef、fa为折痕，折叠这个正方形，使b、c、d重合于一点p，得到一个三棱锥如图1-1-7-2.求此三棱锥的体积.图1-1-7-2解：d=c=b=90，翻折后ape=epf=apf=90.rtpef可以看作底面，而ap可以看作是高.比较发现：ap=1，pepf，pe=pf=.vapef=spefap=1=(立方单位).30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.正方体形容器有相邻两面中心各有一小孔,则此封闭容器最多盛水量是正方体总容量的( )a. b. c. d.解析：设正方体棱长为2a,则最多盛水容积为(2a)3-a22a=7a3.又总容积为8a3.故选b.答案：b2.若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径,则圆锥、圆柱、球的体积之比为( )a.134 b.132c.124 d.142解：设球半径为r,则v圆锥=r2(2r)=r3,v圆柱=r22r=2r3,v球=r3.v锥v柱v球=2=132.答案：b3.oa是圆锥底面中心o到母线的垂线,oa绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分,则母线与轴的夹角的余弦值为( )a. b. c. d.解析：如图,设圆锥的高为h,母线与轴的夹角为,则圆锥的底面半径r=htan.v圆锥=r2h=h3tan2.又oa=hsin,故o1a=hsincos.故曲面将圆锥分成两部分的上部分体积为v1=o1a2(do1+o1o)=h3sin2cos2.所剩另一部分的体积为v2=v圆锥-v1=h3tan2-h3sin2cos2.又v1=v2，故h3sin2cos2=h3tan2-h3sin2cos2.解之,得cos4=,cos=.答案：d4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )a.16 b.20 c.24 d.32解析：由v=sh得s=4，即正四棱柱底面边长为2.该正四棱柱的主对角线即为球的直径，所以球的表面积v=4r2=4()2=d2=(22+22+42)=24，选c.答案：c5.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( )a. b. c. d.解析：截去的每个小三棱锥的体积为=（）4，则剩余部分体积v=1-（）48=.答案：d6.已知球面上的四点p、a、b、c,且pa、pb、pc两两互相垂直,pa=pb=pc=2,则此球的体积为( )a. b. c. d.解析：以pa、pb、pc为三边作一个正方体,则此球是正方体的外接球,其直径等于正方体的对角线长,即2r=,所以r=.因此,球的体积为r3=.故选a.答案：a7.圆台的体积为52 cm3,上、下底面积之比为19,则截得该圆台的圆锥体积为_.解：设圆台的上、下底面半径分别为r、r,则rr=13.而v台=h(r2+rr+r2)=52,设圆锥高为h,则,h=h.h()=52.hr2=52.r2h=162.v锥=r2h=162=54.答案：548.圆锥的母线长是它的高的2倍,过顶点的最大的截面交底面得一条弦,底面圆心到弦的距离为2 cm,求圆锥的体积.解：设po=x,则pa=2x,oa=,最大截面为pad(apd=90).设ocad,则oc=2,ac=.由oc2+ca2=oa2可得x=2.v=()2x=8.9.将半径为72 cm的扇形oab剪去小扇形ocd,余下扇环abcd的面积为648 cm2,围成圆台后,其上、下底半径差为6 cm.求该圆台的体积.解:设圆台上、下底面半径、母线、高分别为r、r、l、h,依题意得方程组解之,得v台=(62+122+126)( cm2).