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学年第二学期期末考试试卷一、单选题（共15分，每小题3分）1设函数在的两个偏导， 都存在，则 ( )A在连续 B在可微 C 及 都存在 D存在2若，则等于（ ） 3设是圆柱面及平面所围成的区域，则） 4若在处收敛，则此级数在处（ ） A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 敛散性不能确定5曲线在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分） 1设，则 .2交 换的积分次序后，_4. 已知，则 .5. 函数的极小值点是 .三、解答题（共54分，每小题6-7分）1.（本小题满分6分）设, 求,.2.（本小题满分6分）求椭球面的平行于平面的切平面方程，并求切点处的法线方程.4. （本小题满分7分）将展开成的幂级数，并求收敛域。5（本小题满分7分）求由方程所确定的隐函数的极值。6（本小题满分7分）计算二重积分及围成.7.（本小题满分7分）利用格林公式计算，其中是圆周（按逆时针方向）.8.（本小题满分7分）计算，其中是由柱面及平面所围成且在第一卦限内的区域.四、综合题（共16分，每小题8分）1（本小题满分8分）设级数都收敛，证明级数收敛。2（本小题满分8分）设函数在内具有一阶连续偏导数，且，证明曲线积分与路径无关若对任意的恒有，求的表达式参考答案及评分标准一、单选题（共15分，每小题3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A二、填空题（共15分，每小题3分）1.-1 2. 4 5. (2,2)三、解答题（共54分，每小题6-7分）1解：; (3分) =+ ( 6分).2. 解：记切点 则切平面的法向量为满足： ，切点为：或 (3分)，切平面： ( 4分)， 法线方程分别为：或者 ( 6分)4. 解：=, ( 2分)因为 ，,所以=,其中 ，即.( 5分)当时，级数为发散；当时，级数为发散,故=， ( 7分)5. 解：由, 得到与, ( 2分) 再代入，得到即。 由此可知隐函数的驻点为与。 ( 4分)由，可知在驻点与有。( 5分)在点，因此 ，所以为极小值点，极小值为；( 6分)在点，因此 ，所以为极大值点，极大值为， ( 7分)6. 解：记，则.（2分） 故 ( 4分) （7分）7. 解：所围区域：,由格林公式，可得= =.(7分)OOOOO装O订O线OOOOOxyz118. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便,此时，所以 ( 4分)=. (7分)四、综合题（共16分，每小题8分）1证明：因为，（2分）故存在N，当时，因此收敛。（8分）2
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