小学数学论文：以培养简算意识为目标的简算教学研究与实践.doc

理解简算本质 演绎简算真谛 以培养简算意识为目标的简算教学研究与实践【摘 要】计算教学是小学数学的重要教学内容之一，其中“简便计算”更是计算教学中不可忽略的重要组成部分。本文基于对人教版小学数学教材中简便计算教学内容与简算意识培养这两个不同层面的梳理与分析，提出简算认识的四个“不等式”，进而改进并落实简便计算教学中培养学生简算意识的教学策略：在运算定律教学“前”渗透简算意识；在运算定律教学“中”形成简算意识；在运算定律教学“后”升华简算意识。【关键词】 简便计算 简算意识 数感培养 “简算”被视作对学生进行思维训练的一种重要手段，是培养学生利用规则实现计算优化思想的重要途径。但在实际教学与调研中，笔者发现，当简算成为要求时，即学生面对要求为“计算时能简算的要简算”的计算题时，基本都能选择简便方法进行计算。而与之相对应的实际问题，学生的简算应用水平大多处于“一般”甚至于“较弱”的水平，这反映了学生将简算当做一种要求而未形成简算意识。简算，何以“简化”成了一种要求？学生简算的意识，缘何缺失？以上问题的出现，是教师对教材的解读问题，还是教学方法不合理的问题？应以怎样一种认识让学生在简算教学中获得思维的提升，数感的形成？基于对以上问题的思考，笔者自2009年9月开始，与本校数学教师一起，试图通过以下三个层面的研究与实践，理解简算教学的本质，演绎简算教学的真谛。一、以简算意识培养为目标的教材梳理简算是依据算式、数据的不同特点，利用运算定律、性质及数与数之间的特殊关系，使计算的过程简化、简洁的计算方法。学习简算的目的是化繁为简，使计算迅速、正确、灵活、合理。简算是培养学生细心观察、认真分析、善于发现事物规律，训练学生思维深刻性、敏锐性、灵活性，提高计算效率，发展计算能力的重要手段。所谓简算意识，即指面对一个运算问题，能从多个起点，产生多种联想来开拓运算途径，并灵活、合理选择运算途径，获得运算结果的一种思考方式。这种思考方式必须在运算问题的解决中逐步形成并强化，而简便计算是简算意识的显性表现。在小学数学里，加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律与分配律以及数的分解与组合、其他一些运算性质，是学生进行简算的主要依据，这些运算规律，并不只是为简便计算做的铺垫，更为重要的是对运算规律的一种新发现，而且这种规律的渗透，从一年级的进位加法的计算就已开始，即在学生规范地总结运算定律、性质及进行简便计算之前，在前期的理解算理与总结算法的过程中，学生已经形成了一定的简算意识，而在学习了小数与分数的四则运算后，自觉地运用运算定律与性质进行简便计算，更是简算意识的进一步深化，具体梳理如下。人教版教材以简算意识培养为目标的内容梳理册序类 型 举 例（选自教材例题或习题）简算思想阶段一上P101页例：9+5=？ 思考：把9凑成10 或者把5凑成10 （情境题）凑整思想渗透简算意识一下P62页例：24+9=？ 思考：24+6=30 30+3=33 （情境题）或者 4+9=13 13+20=33二上P27页例：85-40-26=？ 思考：85-（40+26） （情境题）做一做：54+20+16=？ 思考：54+16=70 70+20=90 P72页例：7+7+7+7+7=？思考：57=35 75=35 （情境题）减法性质加法交换律以乘算加二下作业本例：5489=？ 思考：5498=48变换顺序三上P24页例：500-185=？ 思考：500-100=400 400-85=315P84页例：5083=？ 思考：5003=1500 （情境题） 83=24 1500+24=1524凑整、少减再减和、差变化规律乘法分配律渗透形成简算意识三下P63页例：2412=？ 思考：2410=240 242=48 240+48=288（情境题）P100页例： 6025=? 思考：60（25） （情境题）乘法分配律渗透除法性质渗透四上P46页例：163=？ 思考：103=30 63=18 30+18=48 （情境题）P118页例：1539=585 79224=33 15039=？ 39612=？ 15390=？ 158448=？乘法分配律渗透积的变化规律商的变化规律四下1、定律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律2、其他：a-b-c=a-c-b a-b-c=a-(b+c) a-(b-c)=a-b+c a+(b-c)=a+b-c abc=acb abc=a(bc)a-b+c=a+c-b abc=acb （情境题）运算定律呈现其他运算性质结合情境明算理升华简算意识五上P12页例： 0.254.784 0.65201由整数简算向小数简算推广五下P119页例：2/5+1/3+3/5 1/4+1/3+1/4+2/3由整数、小数简算向分数简算推广六上P14页例：3/51/65 （1/10+1/4）4 873/86六下整数、小数和分数四则简便计算综合复习以上通过对小学一至六年级小学数学教材计算教学的梳理，我们对于教材中简算教学的“暗线”或者“明线”的编排有了一个清晰的认识，从“渗透简算意识”到“形成简算意识”直到“升华简算意识”，对比小学各年级各阶段的简算意识的渗透或深化，我们有了以下的思考。二、以简算意识培养为目标的教学启示 从以简算意识培养为目标的教材梳理中，让笔者对简算的教学本质有了更加深刻地理解，对于破解长期困扰笔者的学生简算意识薄弱，学生为简算而“简算”的现状有了一些教学的启示。1.简算意识简便计算简算意识是属于数感的范畴，这种思维方式必须通过运算问题的解决逐步形成和不断强化。而且一旦习得，可以迁移到相同类型的新问题情境中，能给学生的学习行为带来显著变化。而简便计算是灵活、正确、合理地运用各种定义、定理、定律、性质、法则等等，改变原有的运算顺序进行计算，使计算更简便，因此简便计算属于技能的范畴。通过教材整理，我们发现在低段一二年级就有简算意识的渗透。如一年级上册101页例题，9+5=？，教材实际上提出了这样的两种方法：（1）9+5=9+（4+1）=（9+1）+4=10+4=14（2）9+5=4+5+5=4+（5+5）=14。从上面的运算中不难看出，这里涉及到了简算中的一个重要方法：凑整，同时运用加法结合律进行简便计算的一个过程。而且属于不能直接运用题中数据，需要拆分才能进行简便运算的一类。所以，看似简单的凑十法，其思维是不简单的，包含着一系列逻辑推理过程，此时，可以利用这个机会引导学生去观察发现这些方法其实都蕴含了一个共同的数学思想方法：都是为了先“凑整”，从而使计算更加快速、简便。由于渗透了高一层次的数学思想方法，因此学生面对以后其它的一些计算问题时就站得更高、思路更广，对“简算”也就更容易理解、更容易掌握。这只是一个例子，其他如表格中减法性质、变换顺序、少减再减、多减要加等等简算思想都在低段就开始渗透，这些都为简算意识的进一步培养以及算理学习埋下伏笔。2.简算算理理解简算算法教学通过教材整理，显然,教材中“简算算理”的理解并不等同于算法教学，尤其不是通过一二个特例的算法教学来进行的，而是建立在真实的生活背景上，源自通过情境的创设激活学生的生活经验,学生的计算是在他们独立判断后的一种带有个性的选择,对算理的理解是学生的学习经验达到一定量的基础上的一种质的飞跃。情境作为一种平台和载体所呈现的教学内容激发了学生积极的学习情感,引发深层次的数学思考,从而帮助学生将算法的优化内化为自觉的行为。我们发现教材中从一年级开始就依托现实情境来帮助学生加深对简算算理的理解，教材的这种安排从一年级逐步开始直到四年级下册达到顶峰。在这么长的跨度中，让学生主动参与到算理的形成过程中来,将抽象的算理以生活经验数学化的形式恰当地反映出来,为学生顺利掌握简算技能提供丰富的感性认识,做好知识与技能上的储备，同时也促使学生充分理解算理，主动建构知识。如四年级下册43页例题（右图），学生对于先把两个除数乘起来，很容易在乘法结合律的影响下，产生错误的猜想“除法结合律”，为了让学生明白算理，出示并让学生记忆“一个数连续用两个数除，每次都能除尽的时候，可以先把两个除数相乘，再用它们的积去除被除数，结果不变。”其实这样很多学生没有真正理解这个算理，往往会弄巧成拙。而教材依托现实情境解决了这样的问题，255表示先求出总棵数，再用总价除以总棵树就是树苗单价，学生理解起来就比较容易。可见好的情境不仅能提供较好的数学学习内容，还能引起相关经验的回忆，形成解决问题的策略，加深学生对算法多样化和优化的体验，从而生成更深层次的思考。3.运算定律简便计算通过整理教材，我们发现了简算和运算定律之间的关系，同时也引起了我们的一些思考：简算的目的，不是为了简算而“简算”。简算能使计算过程变得简洁、计算步骤变得明了，加快计算速度、提高学习效率。运算定律与性质则是对四则运算改变原来的运算顺序或结构之后，结果仍旧相等这一规律的概括。因此，运算定律与性质与简单计算同样属于不同范畴的两个概念，运算定律与性质属于规则范畴，对简便计算是属于运算范畴。平时我们会发现原本不必要用简算的计算，学生硬是煞费苦心的改变数的形式，然后套上相应运算定律使计算变得“简便”。如17325（20027）2520025272550006754325，这种现象是教学完简便计算之后，老师遇到比较尴尬的场面，学生尝到了不需笔算就能解决2544的甜头，在看到17325时，想着也能借用运算定律避免笔算，因而千方百计的将“讨厌”的173进行变化，来迎合心中的运算定律。这种现象正是学生错误的简便意识和对定律认知不够导致滥用定律进行简便造成的。因此，在实际教学中，我们可以让学生用两种或多种方法计算，以加深学生对简便计算的认识与体验。4.简便计算简单计算顾名思义，“简算”就是用简便方法进行计算。虽然最后的计算很简单，但从思考过程来看，简算其实并不简单。以五年级上册整数乘法运算定律推广到小数练习二中的一题简算题目：4.82.5为例，通过下表把两种不同方法的思考过程列出进行比较，就可以看出简算过程的复杂性。步骤方法一：简算方法二：竖式第1步观察数的特点提取“2.5”这个特殊数字，联想整数25无第2步由25想到254,结果为100，这样可以使计算简便无第3步回到2.5，再迁移到2.54=10这个特殊的算式无第4步再观察4.8，思考把4.8拆分为：41.2无第5步迁移乘法结合律，计算2.54直接竖式计算4.82.5第6步再计算101.2，得计算结果得到结果从表中看出，简算的思维含量相对较多，我们可以比较一下竖式计算的思维是摆竖式就可以了，需要的计算方法是：小数乘法的口算、笔算的计算方法。使用竖式计算不需要区分题目中数据的特点，只需要按照程序进行操作，具有较少的思维含量。因此在某种程度上，学生更愿意使用竖式计算也是一种“求简”心理，只不过这种“简便”简化的是思维过程。而简便计算的背后蕴含更多的是如何使计算简便的思维方法：如对整数简算的联想、对整数简算方法的迁移、小数简算与整数简算的对比和沟通，对原始数据的综合与分析，运算定律的应用等，表面看计算是简单了，但思维过程不简单。那么，如何让学生从思维的简单走向计算的简便（思维的不简单），这就需要我们在计算教学中打破只看学生计算结果、计算速度的形式化的东西，我们更要明白计算机学的任务不仅只是让学生掌握熟练的计算技能，更重要的还要使学生在计算中体验化繁为简、化未知为已知的思想，形成会观察、善思考、会迁移、能巧算的思维品质，唯有思维的灵动才能有计算的鲜活，从而潜移默化地培养学生的简算意识。基于小学各阶段简算内容的梳理，我们对于教材中小学简算各阶段编排的意图有了清晰的认识；基于围绕简算“四个不等式”深入的思考，我们对于简算的教学价值有了更清晰的认识，为此我们采取了以下教学策略来试图改进我们简算意识培养方面的教学行为。三、以培养学生简算意识为目标的教学策略改进全日制义务教育数学课程标准（实验稿）在 “数与代数”的具体目标中指出，“探索和理解运算定律，能应用运算律进行一些简便运算”。对“数的运算”“应关注口算，加强估算，鼓励算法多样化”，“应避免繁杂的运算，避免将运算与应用割裂开来”的要求来看，“简便计算”的功能显然已经不同于传统课程观对“简便计算”的理解。基于上面的分析和思考，我们提出了三个层次的教学策略来培养学生的简算意识。（一）在运算定律教学“前”渗透简算意识笔者认为，简算应渗透于计算教学之开始阶段，即低段计算教学开始就应把简算意识渗透于内，避免在运算定律教学之前，对简算、巧算只字不提。如果在教学运算定律之前适当渗透，在教学中关注学生多样化算法中呈现的最真实的想法与最自然的理解，将有助于学生理解、比较与优化计算方法，提高运算能力和解决问题的能力，增强数感积累丰富的数学活动基本经验。这种萌芽状态的学习体验，必将给学生的后续学习带来积极影响。如一年级教学连加、连减时，在学生熟知了按顺序计算后，可以引导学生先从简便运算的角度去观察题目。如“4+8+2”的计算，我们可以问一问“怎么算可以更快一点？为什么8加2先算比较快？”等。 而到了二年级加减法教学时，因为受平时训练的影响，学生计算时往往受特殊数的干扰，凭印象凑数，所以为了减少这样的干扰，渗透简算意识，在巩固练习中有意设计一些题目，如：121+68。计算时很多学生会把68看做70，与121相加后再减去2，只有少数几个学生直接计算。于是就有了以下的交流：“这道题你为什么直接计算而不用以前的更快的算法了？”我借机问学生。学生说：“因为这道题直接计算没有进位，因此没有必要把68看做70进行计算”。“哎呀，真是这样！” 其他同学如梦初醒，恍然大悟。“请大家说说，通过刚才的练习，你有什么感受？”有学生说：“我明白了，不是所有的题都可以，要看它是不是连续进位或退位，如果没有就可以直接算。”“那你刚才为什么那样算了？”笔者追问，让孩子认识到自己做计算题的不良习惯。“我没有认真看、认真想，看见68接近70就想着把它看成整十数算起来会简单。”学生略带愧意第反省自己。笔者继续问：“你们知道该怎样做计算题了吗？”学生回答：“先要观察。”“观察什么？”笔者追问。“数的特点和运算符号” 通过这样的经历，学生对怎样做计算题、加减法的简算解决的是什么样的问题等等，都有了深刻的认识。创设简算与不简算对比情景，对形成简算意识产生了积极的推动。我们不必过多地讲述准确的算理或原理，只需让他们充分交流，充分感悟体验就可以了，正所谓“随风潜入夜，润物细无声”。（二）在运算定律教学“中”形成简算意识在中段运算定律出现后，为了巩固运算定律教学使之熟练应用与计算当中，我们往往会安排大量运用运算定律进行简算的题目，使得简算作为一种外在要求去执行，执行题目的要求、老师的规定、老师的允许等。学生对某个题目的简算不是出于主动意愿，而是受题目的暗示或要求被动地执行指令。而教材或教师展示的算法可能是最优的，但对于学生而言未必就是喜欢的能接受的。因此，只有让学生通过自己的思维充分地体验，经历算法的形成过程，才能让学生自主地选择简算，从而培养学生的简算意识。如计算12532和10189，你能用几种方法计算？尽可能让学生采用多种方法解决问题。学生尝试后，将所有方法展示出来：（1）直接竖式计算；（2）乘法结合律计算：12532=125（84）=（1258）4=10004=4000；（3）乘法分配律：12532=125（30+2）=12530+1252=3750+250=4000；（4）12532=（120+5）32=12032+325=4000 然后，引导学生对各种计算方法进行纵向对比、分析，最后大家一致认为，此题利用乘法结合律计算更为简便些。而对于10189，采用乘法分配律计算最为简便：10189=（100+1）89=10089+189=8900+89=8989，然后再引导学生对两题进行横向对比分析，从中得出了什么情况用乘法结合律计算简便，什么时候用乘法分配律计算简便，进一步让学生明确，运用乘法分配律或乘法结合律进行简便计算的条件是不一样的，乘法分配律一般针对两种运算，而乘法结合律只针对于连乘计算当中。由此可见，一道式题或一组式题，让学生经历解决策略的多样性，经历一个完整计算过程的体验，通过学生横纵双向对比，学生就能较灵活的选择适当的方法简算了，已达到知识灵活应用及培养学生灵活解决问题能力的目的，从而使学生头脑中的“简便算法”成为学生自己计算当中的一种自主行为，而不是教师对学生计算方法上的一种指令或思维上的束缚，这样也许能更好地帮助学生逐渐形成良好的简算意识。（三）在运算定律教学“后”升华简算意识在中段运用定律简算的教学内容结束之后，到了高段简便运算通常不被提起，学生又开始循规蹈矩的按原来的顺序计算。因此简算意识的思想方法要进一步落实，需要在应用范围上进一步扩充，鼓励学生自觉简算，使优化思想和简算意识不只用在计算上，也可用在其他问题的解决，这样既能进一步增强学生的简算意识，同时也能进一步提高学生问题解决的优化意识。特别是通过在问题解决过程中，通过简算这个媒介，生成新的有价值的探究和思考，更应该值得我们去关注、肯定和鼓励。因为通过这样的思考，更能体现简算价值和简算意识培养的重要性。如在圆柱表面积的计算练习课上。有一个很