备考时要特别注意三次函数、指数函数与对数函数(以e为底....pptVIP

第3讲 导数的综合应用 1 求参数的取值范围 与导数相关的参数范围问题是高考中考查的一个重点 大多给出函数的单调性 属运用导数研究函数单调性的逆向问题 解题关键在于灵活运用等价转化 分类讨论 数形结合等思想方法 建立关于字母参数的不等关系 2 用导数方法证不等式 用导数证不等式的一般步骤是 构造可导函数 研究单调性 或最值 得出不等关系 整理得出结论 3 平面图形面积的最值问题 此类问题的求解关键在于根据几何知识建立函数关系 然后运用导数方法求最值 上述三类问题 在近几年的高考中都是综合题 难度较大 体现了在知识交汇点处命题的思路 注重考查综合解题能力和创新意识 复习时要引起重视 4 利用导数解决生活中的优化问题 优化问题可归结为函数的最值问题 从而可用导数来解决 用导数解决优化问题 即求实际问题中的最大 小 值的主要步骤如下 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 即将优化问题归结为函数最值问题 2 求导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和使f x 0的点的函数值大小 最 大者为最大值 最小者为最小值 4 检验作答 即获得优化问题的答案 A 则物体在t 3s的瞬时速度为 A 30C 45 B 40D 50 2 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图4 3 1 则函数f x 在开区间 a b 内有极小值点 A 图4 3 1 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 3 函数f x x3 ax2 3x 9 已知f x 在x 3时取极值 则a D A 2 B 3 C 4 D 5 4 函数f x 12x x3在区间 3 3 上的最小值是 5 曲线y xex 2x 1在点 0 1 处的切线方程为 16 y 3x 1 考点1求参数的范围问题 答案 C 互动探究 1 对于任意实数x f x m恒成立 求m的最大值 2 若方程f x 0有且仅有一个实根 求a的取值范围 考点2利用导数证明不等式问题 互动探究 考点3 利用导数解决实际优化问题 例3 2011年江苏 请你设计一个包装盒 如图4 3 2所示 ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得A B C D四个点重合于图中的点P 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E F在AB上 是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点 设AE FB xcm 1 某广告商要求包装盒的侧面积Scm2最大 试问x应取何值 2 某厂商要求包装盒的容积Vcm3最大 试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 解析 设包装盒的高为h cm 底面边长为a cm 1 S 4ah 8x 30 x 8 x 15 2 1800 所以当x 15时 S取得最大值 图4 3 2 引入恰当的变量 建立适当的模型是解题的关键 第 1 中侧面积S是关于x的二次函数 可以利用抛物线的性质求最值 也可以利用导数求解 而第 2 题中容积V是关于x的三次函数 因此只能利用导数求最值 互动探究 3 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比 已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元 而其他与速度无关的费用是每小时96元 为使行驶每公里的费用总和最小 则此轮船的航行速度为 A 10公里 小时B 15公里 小时C 20公里 小时D 25公里 小时 答案 思想与方法 8 利用数形结合思想讨论函数的图象及性质 例题 2011年 江南十校 联考 已知函数f x ax3 bx2 cx在x 1处取得极值 且在x 0处的切线的斜率为 3 1 求f x 的解析式 2 若过点A 2 m 可作曲线y f x 的三条切线 求实数m的 取值范围 m的取值范围是 6 2 图4 3 3 令g x 2x3 6x2 6 则g x 6x2 12x 6x x 2 由g x 0得x 0或x 2 g x 极小值 g 0 6 g x 极大值 g 2 2 画出草图知 如图4 3 3 当 6 m 2时 m 2x3 6x2 6有三解 关于导数的应用 课标要求 1 了解函数的单调性与导数的关系 能利用导数研究函数的 单调性 会求不超过三次的多项式函数的单调区间 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值 极小值 以及闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值 最小值 3 体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性 体会 导数在解决实际问题中的作用 1 用导数求最值时 要步骤规范 表格齐全 若解析式中含 有参数 要注意讨论参数的大小 2 如果连续函数在某区间内只有一个极值