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1 第六章定积分及其应用 4 定积分的计算和定积分的应用 前一章讨论了已知一个函数的导数 如何求原来的函数 这是积分学的一个基本问题 不定积分 这一章将讨论积分学的另一个基本问题 定积分 1 定积分的概念 2 定积分的性质 3 定积分与不定积分的关系 本章的主要问题有 2 实例1求曲边梯形的面积A 第一节定积分的概念 一 问题的提出 3 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然 小矩形越多 矩形总面积越接近曲边梯形面积 四个小矩形 九个小矩形 4 曲边梯形如图所示 5 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 6 实例2 求变速直线运动的路程 思路 把整段时间分割成若干小段 每小段上速度看作不变 求出各小段的路程再相加 便得到路程的近似值 最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值 7 1 分割 2 求和 3 取极限 路程的精确值 8 定义 二 定积分的定义 9 记为 积分上限 积分下限 积分和 10 注意 11 12 定理1 定理2 三 定积分存在定理 13 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 四 定积分的几何意义 14 例1利用定义计算定积分 解 15 16 五 定积分的性质 性质1函数的和 差 的定积分等于它们的定积分的和 差 即 性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即 17 性质3如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即设a c b 则 性质4如果在区间 a b 上f x 1 则 另外 按定积分的补充规定 不论a b c的相对位置如何 总有等式 18 性质5 推论2 推论1如果在区间 a b 上f x g x 则 性质6设M m分别是函数f x 在区间 a b 上的最大值及最小值 则 19 性质7 定积分中值定理 积分中值公式的几何解释 20 例2 解 所以f x 在 1 2 上单调减少 21 例3 证 则 22 例4 解 由积分中值定理 有 23 6 2微积分基本定理 由 6 1知定积分是一个复杂和式的极限 但要想通过求积分和的极限来得到定积分的值 却非常困难 下面寻求一种计算定积分的非常简便的新方法 牛顿 莱布尼兹公式 Newton LeibnizFormula 计算法 Fundamentaltheoremsofcalculus 24 一 积分上限函数 设函数f x 在 a b 上可积 对于x a b 则函数f x 在 a x 上可积 定积分对每一个取定的x值都有一个对应值 记为 x 是积分上限x的函数 称为积分上限函数 或称变上限函数或变上限积分 注1 25 定理1 原函数存在定理 设函数f x 在 a b 上连续 则积分上限函数就是f x 在 a b 上的一个原函数 证 取 x 充分小 使x x a b 则 于是 26 由于 x 0时 x 而f x 是连续函数 上式两边取极限有 亦即 或 27 注2对于变上限的复合函数有以下推论 推论若 x 在 a b 上连续 x 在 a b 上可导 则 28 例1 解 2 2 29 30 例2设f x C 且满足方程 求f x 解 在方程两端对变量求导得 31 例3求 其中f x 是 内的连续函数 解由于 所以 32 二 微积分基本公式 定理2设f x 在 a b 上连续 F x 是f x 在 a b 上的一个原函数 则 证因F x 与都是f x 在 a b 上的原函数 只能相差一个常数C 即 33 微积分基本公式或牛顿 莱布尼茨公式 则 34 由牛顿 莱布尼兹公式知 要求 x 在 a b 上的定积分 只须先求出 x 在 a b 上的一个原函数F x 再 计算F x 在 a b 上的改变量F b F a 即可 35 例4计算下列定积分 36 例5求 原式 例6设 求 解 解 37 2 利用定积分的几何意义求定积分 2 a 0 解根据定积分的几何意义知 表示由曲线 及x轴所围成的 圆的面积 而此 圆面积为 所以 38 3 求由方程 所确定的隐函数y y x 的导数 解方程两边对x求导数得 又由已知方程有 即 于是有 39 4 当x为何值时 I x 有极值 解 令 得驻点 又 所以当x 0时 I x 有极小值 且极小值为I 0 0 40 解 4 41 6 已知f x 连续 且f 2 3 求 解 42 由牛顿 莱布尼兹公式知 计算定积分 6 3定积分的计算方法 第五章知求函数的原函数 即不定积分 的方法有凑微分法 换元法和分部积分法 因而在一定条件下 也可用这几种方法来计算定积分 的关键在于求出 x 在 a b 上的一个原函数F x 而由 43 例1计算 一 凑微分法 例2计算 解 44 1 在 上单调连续且具有连续导数 2 a b 则 二 换元积分法 定理1若 x 在 a b 上连续 而x t 又满足 证设F x 是 x 的一个原函数 45 此式称为定积分的换元公式 3 求出 在应用换元公式计算定积分时 应注意以下几个问题 1 所选择的代换式x t 必须满足定理中的两个条件 2 换元积分的关键是换限 记住 上限对上限 下限对下限 求不定积分那样把 t 还原成x的函数 而只须直接将t的上 下限代入相减即可 后 不必象 46 例1当a 0时 计算 47 例2 1 解 48 注由几何意义知 此定积分 即为圆 在第 象限的面积 49 例3设 x 在 a a 上连续 则 证 1 若为 x 偶函数 则有 x x 令x t 则dx dt 且 从而 50 2 若 x 为奇函数 则有 x x 令x t 则dx dt 且 从而 注利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的定积分的计算 51 奇函数 例4计算 解 原式 偶函数 单位圆的面积 52 证 1 设 53 2 设 54 55 例6 解 上式两边对x求导 得 两边对x求导 得 56 例7设函数f x 求 解设u x 2 则当x 1时 u 1 当x 4时 u 2 于是 57 三 分部积分法 定理2若u u x 及v v x 在 a b 上有连续导数 则 证因d uv udv vdu 两边积分得 例8计算 58 59 例9计算 解 60 例10计算 解 61 例11设求 解 62 63 例12设在 0 1 上连续 求 解 64 例13证明定积分公式 证 65 积分关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止 66 于是 67 思考题 68 思考题解答 69 70 8 解令 则 当x 0时 t 0 当 时 于是 71 72 解令 则 当x 1时 t 1 当x 2 t 11 于是 73 3 证明下列等式 x 0 证令 则 即 74 4 若f t 是连续函数且为奇函数 证明 若f t 是连续函数且为偶函数 证明 是奇函数 是偶函数 证令 若f t 为奇函数 则f t f t 从而 所以 是偶函数 若f t 为偶函数 则f t f t 从而 所以 是奇函数 75 5 设f x 在 内连续 且F x 试证 若f x 单调不减 则F x 单调不增 证 其中 在x与0之间 当x 0时 x 由f x 单调不减有 即 当x 0 时 x 由f x 单调不减有 即 综上所述知F x 单调不增 76 3 利用分部积分公式证明 证明 77 练习题 0 0 78 6 4定积分的应用 定积分的应用极其广泛 以下仅介绍它在几何与经济上的应用 并希望同学们通过本节的学习能熟练地掌握运用元素法将一个量表达成为定积分的分析方法 一 微元法的基本思想 o x y x a b B A x x x H C D E F 如图 我们已经知道 曲边梯形AabB的面积S y 微元法 元素法 x dx 正好是区间 a b 上的任意小区间 x x x 上的窄曲边梯形 DEFH面积 S的近似值 这里的被积表达式 即 79 2 以微分表达式 x dx为被积表达式 在 a b 上作定积分 根据微分的定义有 求曲边梯形AabB的面积S的方法为 1 在 a b 上任取一个小区间 x x dx 求出总量S的微分dS x dx 当 x dx 0时 S x dx o dx o x y x a b B A x x x H C D E F y 面积微元 即可 面积微元进行求和累加 dS 于是 S 80 抛开S的具体含义 把这种思想加以抽象 就得到微元法思想的一般表述 数学上将这种思想方法称之为微元法 总量A的微分dA x dx 称为总量A的积分微元 则有dA x dx 可加性 即整个区间上的总量等于各子区间上相应分量之和 若总量A与变量x的变化区间 a b 有关 且对区间有 且在区间 x x dx 上对应分量的近似值 为 x dx 总量 81 1 若平面图形D被夹在直线x a与x b之间 且其上下边界的方程分别为y x 和y g x 则图形的面积为 o y y x a b x dx x y g x x 二求平面图形的面积 82 例1计算由两条抛物线 所围成图形的面积 解 o x 1 1 x x dx 1 y 为了求出面积 一般先划出两条曲线所围成的图形 为了定出图形的所在范围 应先求出这两条抛物线的交点 为此 解方程组 即这两条抛物线的交点为 0 0 及 1 1 从而知道这图形在直线x 0及x 1之间 取x为积分变量 且x 0 1 微元为 则 83 例2计算由抛物线y x2 1与y x2 x所围图形的面积A 两抛物线交点由 解得 及 1 0 与x 1之间 解 于是图形位于直线x 取x为积分变量 84 2 若平面图形D被夹在直线y c与y d之间 且其左右边界的方程分别为x y 及x y 则图形的面积为 o x y c d y dy y x y x y 85 o y 4 2 2 y y dy 例3计算由抛物线与直线y x 4所围成图形的面积 解 8 4 即这两条抛物线的交点为 2 2 及 8 4 解方程组 图形在直线y 2及y 4之间 取y为积分变量 且y 2 4 微元为 x x y 4 86 则 思考 若选x为积分变量 应该如何做 o x y 2 2 8 4 4 8 4 87 例4求由曲线y sinx y cosx及直线x 0 所围图形的面积A 解得 取x为积分变量 有 2 1 解两线交点由 88 例5求椭圆 所围图形的面积A 解因为椭圆关于两坐标轴对称 所以椭圆所围图形的面积是第一象限内那部分面积的4倍 即有 x acost 则dx asintdt 令 当x 0时 t 当x 时 t 0 于是 89 例6设曲线x轴与y轴在第一象限所围的图形被曲线分为面积相等的两部分 试确定a值 解如图 而 再由 得 解方程组 90 求由下列曲线所围成的平面图形的面积 1 91 92 5 y x轴与直线y x及x 2 93 94 已知介于过x轴上点x a及x b且垂直于x轴的两平行平面之间的立体 其在x a x b 处垂直于x轴的截面面积可以用x的连续函数A x 来表示 求该立体的体积V 在 a b 内取小区间 x x dx 用以底面积为A x 高为dx的柱体体积近似代替小区间 x x dx 上对应的体积部分量 则得体积元素 三 求立体的体积 1 平行截面面积已知的立体的体积 于是 95 对于介于过y轴上点y c及y d且垂直于y轴的两平行平面之间的立体 若在y c y d 处垂直于y轴的截面面积可以用y的连续函数B y 来表示 则其体积为 96 例7一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心 并与底面交成角 计算这平面截圆柱体所得立体的体积 解建立如图所示的坐标系 o x y x y R R S x 面积为S x 则由三角形的面积公式 有 设x为 R R 上之任意一点 过该点且垂直x轴的截面 则 从而底面圆的方程为 97 都可以分别看成是由矩形绕它的一条边 直角三角形绕它的直角边 直角梯形绕它的直角腰 半圆绕它的直径旋转一周而成的立体 所以它们都是旋转体 2 旋转体的体积 圆柱 圆锥 圆台 球体 o x y y x a b 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这条直线叫做旋转轴 上述旋转体都可以看作是由连续曲线y x 直线x a 直线x b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴 旋转一周而成的立体 98 的体积微元 在 a b 上作定积分得 下面用微元法来求它的体积 o x y x a b x x dx y 在 a b 上任取一个小区间 x x dx 窄曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片 则此小区间上的 近似值 为 o x y y x a b x x dx 99 o x y c d y dy y x y 类似地 由曲线x y 直线y c d c d 与y轴所围成的曲边梯形 绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为 100 计算由椭圆所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积 该旋转椭球体可以看作是由 和x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体 解 例8 101 例9求曲线和y 0所围成的图形分别绕x轴及y轴旋转所得旋转体的体积 o y 1 1 2 0 x 解为了确定积分区间 应先求两曲线之交点 绕x轴旋转的体积微元为 x 解方程组 在 0 2 上作定积分得 102 则绕y轴旋转的体积微元为 o x y 1 1 2 0 1 故 103 104 四 定积分的经济学应用 1 由边际函数求总函数 设某产品的固定成本为C0 边际成本函数为C Q 边际收益函数为R Q 其中Q为产量 并假定该产品处于产销平衡状态 则 总成本函数 总收益函数 总利润函数 105 例10设某产品的总成本C 单位 万元 的边际成本是产量x 单位 百台 的函数总收入R 单位 万元 的边际收入是产量x的函数 1 求产量由1百台增加到5百台时总成本与总收入各增加多少 2 已知固定成本C 0 1万元 分别求出总成本 总收益 总利润与产量x的函数关系式 3 产量为多少时 总利润最大 并求此时的最大总利润 总成本及总收益各为多少 106 解 1 产量由1百台增加到5百台时总成本与总收入分别为 2 因总成本是固定成本与可变成本的和 则总成本函数为 总收益为 则总利润函数为L x R x C x 107 故当产量x 4 百台 时 有最大利润L 4 9 万元 得驻点x 4 此时的总成本为C 4 19 万元 R 4 28 万元 及总收入为 108 2 消费者剩余和生产者剩余 供给曲线描述的是生产者根据不同的价格水平所提供的商品数量 供给曲线是单调递增的 需求曲线则反映了顾客的购买行为 需求曲线随价格的上升而单调递减 在市场经济中 有时一些消费者愿意对某种商品付出比他们实际所付出的市场价格P 更高的价格 由此他们所得到的好处称为消费者剩余 CS 109 右边第一项表示消费者愿意支出的货币量 第二项表示消费者的实际支出 有时也有一些生产者愿意以比市场价格低的价格出售他们的商品 由此他们所得到的好处称为生产者剩余 PS 110 3 资本现值与投资问题 现有货币元 若按年利率r作连续复利计算 则t年后的价值为ert元 反之 若t年后要有货币A元 则按连续复利计算 现在应有Ae rt元 称此值为资本现值 设在时间区间 0 T 内t时刻的单位时间收入即边际收入 或称为收入率 为f t 则在时间区间 t t dt 内收入的近似值为 在 0 T 内总收入的现值为 若按年利率为r的连续复利计算 其现值为 111 若收入率f t a a为常数 称此为均匀收入率 如果年利率r也为常数 则总收入的现值为 112 五 定积分在其他方面的应用 例11城市人口数的分布规律是 离市中心越近人口密度越大 离市中心越远 人口密度越小 若假设该城的边缘处人口密度为0 且以市中心为心 r为半径的圆型区域上人口的分布密度为 r 10000 20 r 人 每平方千米 试求出这个城市的人口总数N 解城市半径可由 r 10000 20 r 0得r 20千米 113 解 例12若某公路在距第1个收费站x千米处的汽车密度 以每千米多少辆汽车为单位 为 试求距第1个收费站40千米的一段公路上有多少辆汽车 114 2 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积 115 116 6 5