B5第4章.doc

第4章 动能定理 功能原理 41第4章 动能定理 功能原理4-1 一个质量为的物体置于水平面上，物体与水平面间的摩擦系数。将物体用一个轻绳系住后跨在定滑轮上，滑轮距地面的高度为。现用一个竖直向下的恒力通过滑轮拉动物体，见图。求物体由位置处被拉到位置处，力所作的功。题4-1图hF30o60ox0x1x2分析 该题中虽然施以恒力，但是作用在物体上的力的方向时刻在变化，需要按照功的矢量定义式求解。解 选取坐标如图4-1所示，力所作的功为4-2 质量为2kg的质点受到力=3+5(N) 的作用。当质点从原点移动到位矢为=2+3 (m) 处时，此力所作的功为多少？它与路径有无关系？如果此力是作用在质点上的唯一的力，则质点的动能将变化多少？分析 该题属于典型的变力作功，需要按照功的矢量定义式求解。解 移动到任意点（x、y）时此力所做的功为故移到（2、3）处时 根据动能定理得质点的动能的变化为4-3 如图所示，质量分别为m1、m2的两木块A和B用劲度系数为k的轻弹簧相连，静止地放在光滑水平桌面上。今有一质量为m的子弹以水平初速度v0射入木块A并嵌在其中，设子弹射入过程的时间极短，试求弹簧的最大压缩长度。 题4-3图mv0BA分析 子弹m与m1相碰过程中动量守恒。碰撞后，（m+m1）、m2、弹簧构成的系统机械能守恒、动量守恒。弹簧的最大压缩时，（m+m1）和m2的速度相同。解 子弹与m1在入射前后系统在水平方向上动量守恒得 (1)式中v10是子弹射入后m与m1的共同速度。碰撞后，（m+m1）、m2、弹簧构成的系统机械能守恒、动量守恒。弹簧的最大压缩时，（m+m1）和m2的速度相同，由系统动量守恒得 (2)由系统机械能守恒有 (3)整理以上三式得4-4 如图所示，一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量为m1及m2的物体（m1 m2）。开始时，m1静止在水平桌面上，抬高m2，使绳处于松弛状态。当m2自由下落h距离后，绳才被拉紧。试求绳刚被拉紧时，两物体的速度及m1所能上升的最大高度。分析 整个运动过程分三个阶段，第一阶段m2自由下落；第二阶段，绳子被拉紧瞬间，m1与m2组成系统的动量守恒；第三阶段，绳子拉紧后，物体m1与m2 共同减速运动，直至速度为零，m1上升至最大高度。解 有分析可知，整个运动过程可分成三个阶段。第一阶段m2自由下落。物体m2自由下落h距离时，正好绳子拉紧，此时m2的速度为，方向向下，大小为。 题4-4图/m2hm1第二阶段绳子被拉紧瞬间，m1与m2组成系统的动量守恒，设m1与m2的共同速度为V，则即 第三阶段绳子拉紧后，物体m2向下运动，m1向上运动，由于m1 m2，m1与m2 共同作减速运动，其加速度a为物体m1以初速度V上升，其加速度与速度方向相反，设m1上升的最大高度为H，则有即 4-5 一劲度系数为k的弹簧竖直安放在地面上，其顶端连接一静止的质量为M的物体。又有一质量为m的物体，从距离M顶端为h处自由下落，与M作完全非弹性碰撞。试证明：弹簧对地面的最大压力。分析 对整个运动过程需要分段考虑，第一阶段物体m自由下落过程；第二阶段物体m与物体M发生完全非弹性碰撞，这个过程物体m与物体M构成的系统动量守恒，物体m与物体M达到共同的速度；第三阶段物体m与物体M共同向下运动，当物体m、物体M速度为零时，弹簧达到最大压缩量，对地面的压力最大。这是一个变加速的运动，但整个过程物体m、物体M、弹簧与地球构成的系统机械能守恒，利用这一关系可以确定弹簧对地面的最大压力。解 物体m自由下落过程，有 (1)物体m与物体M完全非弹性碰撞过程，选泥块和水平板为系统，由于相互的冲力远大于系统受的外力，系统碰撞前后动量守恒，设碰后木板与泥块的共同速度为V，则有 (2)对于物体m与物体M向下运动过程，选物体m、物体M、弹簧及地球为系统，仅有保守力做功，所以系统的机械能守恒。设物体M原始位置为重力势能零点，此时弹簧的压缩量为x0，泥块落下后与平板共同向下的最大位移为x，应有 (3)又由平板最初的平衡条件可得 (4)由上述四式可得当弹簧达到最大压缩量时对地的作用力最大，则有 4-6 已知某双原子分子的原子间相互作用的势能函数为其中C1 , C2为常量，x为两个原子间距。此势能是将两个原子束缚在一起的力相联系的。试求：(1) 原子间作用力的函数式；(2) 原子间作用力为零的距离（即平衡间距）。解 保守力等于势能的负梯度，即原子间作用力的函数式为由得 4-7 质量为m的物体在力F = f0e kx i (式中f0 、k均为大于零的常量）作用下，由坐标原点沿x轴由静止出发，试求：(1) 此力对物体做功的最大值；(2) 物体获得的最大速度。分析 该题中虽然施以变力，但是作用在物体上的力的方向是不变的，按照功的矢量定义式求解。根据动能定理可知，力F对物体所作的功等于其动能的增量，此力对物体做功的最大时，物体获得的最大速度。解 由功的定义可得故 由动能定理得4-8在光滑的水平桌面上，水平放置一固定的半圆形屏障。有一质量为m的滑块以初速度v0沿切线方向进入屏障一端，如图所示。设滑块与屏障之间的摩擦系数为 m ，试证明当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所做功为. 题4-8图v0Nf分析 在滑块进入屏障后，除了受到重力和桌面对其支持力，水平方向上还要受到屏障对其支持力N 和屏障对其摩擦力f。但所有这些力中只有摩擦力作功，因此只要求出滑块从屏障的另一端滑出时的速度，根据动能定理就可以得出摩擦力做的功。证明 滑块m进入屏障后作圆周运动，水平方向受力如图4-8所示，它受到与速度方向相反的摩擦力f以及滑槽给予的支持力N。N是向心力， f是切向力，根据牛顿定律有 (1) (2)两式联立有即 分离变量后积分 可得 由动能定理得摩擦力做功4-9 如图所示，有一自动卸货料斗车，满载时的质量为m0 , 从与水平成倾角 =30斜面上的A点由静止下滑。设斜面对车的阻力为车重的0.25倍，料斗车下滑距离l时，与缓冲弹簧一道沿斜面运动。当料斗车使弹簧产生最大压缩形变时，车自动卸货卸货后车重为m，而后车借助弹簧的弹性力作用返回原位置A再次装货。试问：要完成这一过程，空载时与满载时车的质量之比应为多大？分析 整个自动卸货的过程中，料斗车先加速后减速再加速再减速，过程比较复杂。但整体把料斗车和料看做一个系统，根据功能原理可知，系统始末状态机械能的减少，用于克服摩擦力做功。根据这一关系就可以很快确定空载时与满载时车的质量之比，并且避开了卸货的过程中复杂分析。 题4-9图alAOx解 取弹簧被压缩到最大形变时的弹簧上端为坐标原点，沿斜面向上为x轴正方向，重力势能零点取在坐标原点处，如图所示系统在初态的机械能 系统在末态的机械能 根据功能原理，则有 即 将代入上式解得 4-10 设两个粒子之间的相互作用斥力按 f = k/r3 的规律变化，其中r为两粒子之间的距离，k为常量。试求两粒子相距为r时的势能表达式。（设粒子间相互作用力为零的地方势能为零）。解 粒子间相互作用力为零的地方势能为零，即两粒子间距离无穷远时势能为零，某点势能等于保守力由该点到零势能点的功4-11 有两颗中子星质量都是1030 kg ,半径都是20 km，相距1010 m 。若最初两者均静止，试问：(1) 当两中子星的距离减小到一半时，它们的速度各是多大？(2) 当两中子星就要碰上时，它们的速度又将各是多大？分析 对于两颗中子星距离减小过程中，只有万有引力作功，故系统机械能守恒。解 (1) 对于两中子星系统，机械能守恒，所以有可得 (2) 当两中子星就要碰上时，两星的距离为（220km），由机械能守恒有所以 题4-12图用图r1Mmr2RmReMe同步定点地球月亮4-12 把登月舱构件从地面先发射到地球同步轨道站，再由同步轨道站装配起来发射到月球表面上。如图所示，已知登月舱构件质量共计为m = 10.0103 kg,同步轨道半径r1 = 4.22107 m,地心到月心的距离 r2 = 39.0107 m, 地球半径Re = 6.37106 m ,月球半径Rm = 1.74106 m ,地球质量为Me = 5.971024 kg ,月球质量Mm = 7.351022 kg ,同时考虑到地球和月球的引力，试求上述两步发射中火箭推力各应作多少功。解 设登月舱在同步轨道上的位置正好处在月-地连心线上，考虑到舱在地月共同引力下，它的引力势能等于它在地球引力场中的势能和月球引力场中的势能之和。舱在地面上时，势能为舱在同步轨道上时，势能为舱在月球表面上时，势能为从地面到同步轨道推力做功从同步轨道到月球表面推力做功为 题4-13图r2r1霍曼轨道停泊轨道同步轨道AP4-13发射地球同步卫星要利用“霍曼轨道”，如图所示。设发射一颗质量为500 kg的地球同步卫星，先把它发射到高度为1400km的停泊轨道上，然后利用火箭推力使它沿停泊轨道的切线方向进入霍曼轨道。霍曼轨道远地点A即同步高度36000 km,在此高度上利用火箭推力使卫星进入同步轨道。试问：(1) 先后两次火箭推力给予卫星的能量各是多少？(2) 先后两次火箭推力使卫星的速率增加了多少？分析 卫星进入不同的轨道都要克服地球的引力做功，使自身的能量增加，增加的能量来源于火箭的推力。解 卫星在停泊轨道（圆形）运动时，设卫星在停泊轨道上的速率为，地球引力提供卫星运动的向心力，满足由此可得卫星在停泊轨道上的速率为卫星的动能为卫星的引力势能为故卫星在停泊轨道上的总能量卫星在霍曼轨道（椭圆）上的运动时，设卫星在霍曼轨道上近地点时速率为，远地点时的速率为，卫星所受引力指向地球，故卫星对地球角动量守恒，则 (1)在霍曼轨道上运动时，卫星与地球组成的系统机械能守恒，故 (2)联立 (1)(2)两式，得故 卫星在霍曼轨道上的总能量因此卫星进入霍曼轨道时火箭推力给予卫星的能量在同步轨道（圆形）上卫星的总能量卫星在同步轨道上的速率为卫星进入同步轨道时火箭推力给予卫星的能量卫星进入霍曼轨道时火箭推力使卫星增加的速率为卫星进入地球同步轨道时火箭推力使卫星增加的速率为 题4-14图MRm4-14 如图所示，一质量为m的小球，从质量为M的圆弧形槽中由静止滑下，设圆弧形槽的半径为R。忽略一切摩擦，求小球刚离开圆弧形槽时，小球和槽的速度各是多少？分析 在小球下滑过程中，小球、圆弧形槽与地球构成的系统中重力作功，系统机械能守恒。同时小球和圆弧形槽构成的系统水平方向上没有外力作用，故小球和圆弧形槽构成的系统水平方向上动量守恒。根据这两个守恒条件，可以不用考虑复杂的过程，直接得出小球刚离开圆弧形槽时，小球和槽的速度。解 设小球运动到槽底时，小球速度为v，槽的速度为V,根据小球、圆弧形槽与地球构成的系统机械能守恒得 (1)根据小球和圆弧形槽构成的系统水平方向上动量守恒得 (2)有以上两式得题4-15图0xy4-15 求一个半径为R的半圆形均匀薄板的质心。解 由质心的定义式可得4-16 在楼顶释放一质量m = 30g的石子后，1s末又自同一点释放另一质量为m = 50g的石子。求在前者释放后t ( t 1 ) s末，这两石子系统的质心速度和加速度。解 设楼顶为轴的原点，向下为正，时刻质心的位置为质心速度为质心加速度为4-17 一炮弹以初速度v0发射，反射角为q。在飞行的最高点炮弹炸裂成质量均为m的两部分，一部分在炸裂后竖直下落，另一部分则继续向前飞行。不计空气阻力，试求这两部分的着地点以及其质心的着地点。 题4-17图分析 由质心运动定理，炮弹爆炸前后总质量、加速度都没发生变化，所以其质心仍沿原路径飞行。根据抛体运动规律，炮弹在最高点的坐标和速度很容易求出。在最高点炮弹炸裂成两块时，由于竖直方向速度没有变化都为零，所以竖直方向上运动时间仍与原炮弹相同，而水平方向上动量守恒。爆炸后一部分竖直下落，故这部分碎片的速度为零，由动量守恒就可以确定第二部分碎片的速度，进而求出落地位置。解 炮弹炸裂成两部分后，根据质心运动定理，其质心仍沿原路径飞行，其射程不变，其射程为炮弹炸裂成两块时，由已知可得，根据水平方向上动量守恒，有所以 题4-18图mMh4-18 地面上竖直安放着一个劲度系数为k的弹簧，其顶端连接一静止的质量为M的物体，有个质量为m的物体，从距离顶端为h处自由落下，与M作完全非弹性碰撞，求证弹簧对地面的最大压力为分析 分为两个过程讨论，首先是小物体与弹簧顶端物体的碰撞过程，在这个过程中两物体组成的系统满足动量守恒，可确定它们的共同速度v。接着的过程是两物体共同向下运动，两物体与弹簧、地球构成的系统机械能守恒，当两物体的共同速度为零时，弹簧达到最大压缩量，此时弹簧对地面的压力最大。证明 物体m与物体M发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒可确定，盘子与物体获得共同速度v，则碰撞后以两物体与弹簧、地球构成的系统为研究对象，设碰撞前弹簧