统计学第四章.ppt

第四章平均指标与标志变异指标 第一节平均指标一 平均指标的概述定义 平均指标 统计平均数 是用以反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间 地点条件下所达到的一般水平的综合指标 是总体内各单位参差不齐的标志值的代表值 作用 1 平均指标可以消除因总体不同而带来的总体数量上的差异 从而使不同的总体可以对比 2 利用平均指标可以对比同一现象在不同时间的一般水平 反映这类现象发展变化的规律性 3 利用平均指标可以分析现象之间的依存关系 4 利用平均指标估计 推算其他有关指标 特点 1 平均指标必须应用于同质总体 2 平均指标是一种代表值 它是将总体标志总量在总体各单位之间数值差异抽象化 3 平均指标是说明现象在一定历史条件下的一般水平 4 计算平均指标应以大量观察法为基础 类型 数值平均数 算术平均数调和平均数几何平均数位置平均数 中位数众数 二 数值平均数 数值平均数是对统计数列的所有各项数据来计算的平均数 其计算按照 先求和再平均 的规则 它能够概括整个数列中所有各项数据的平均水平 并受数列中每一个标志值变动的影响 一 算术平均数 x 1 简单算术平均数 未分组的资料 例 生产小组5个工人的日产量分别为28 25 30 35 42件 则平均工人日产量 28 25 30 35 42 5 32 件 公式 2 加权算术平均数 已编制分配数列的情况下 1 单项式数列的算术平均数例 某机械厂工人日产零件数的分配数列 权数 加权 公式 例 某年我国80个产棉大县的分配数列如表 以组中值作为各组的代表值 假定各组标志值在组内分布是均匀的 公式 2 组距式加权算术平均数 正确选择权数 当从相对数或平均数求平均数时 选择权数的准则 最终的平均指标的涵义要符合原来相对指标 平均指标 本身的涵义 例 某管理局所属15个企业销售计划完成情况资料如下表 当各组的权数相同时 分组资料可以不考虑权数 而用简单算术平均数 3 算术平均数的数学性质 1 算术平均数与各个变量值的离差之和等于0 2 算术平均数与各个变量值的离差平方和为最小 二 调和平均数 H 调和平均数 又称倒数平均数 是标志值倒数的算术平均数的倒数 1 简单调和平均数 例 某工厂工人日产零件数资料 2 加权调和平均数 调和平均数的应用场合作为算术平均数的变形使用 权数m为各组的标志总量 即 例题 菜场上有1元钱起售的蔬菜 若某人早上用1元钱购买了一种蔬菜共3斤 每斤0 33元 中午降价时又用1元钱买了4斤 每斤0 25元 晚上削价处理又用1元钱买了5斤 每斤0 2元 试问 某人早中晚各用1元钱购买的蔬菜平均每斤多少钱 解 上述问题根据不同的资料可用两种方法计算蔬菜的平均价格 如已知早上买3斤 中午买4斤 晚上买5斤 又知价格分别为0 33元 斤 0 25元 斤 0 2元 斤 这时由于每次购买的斤数已知 就不能用加权调和平均方法 而要用加权算术平均方法计算其平均价格 若已知早上买1元钱 中午买1元钱 晚上也买1元钱 又知价格分别为0 33元 斤 0 25元 斤 0 2元 斤 这时由于每次购买的斤数未知 就不能用加权算术平均方法 而要用调和平均方法计算其平均价格 元 斤 这里 是以支出额为权数的加权调和平均数 根据不同资料 两种方法计算的结果完全相同 说明调和平均数与算术平均数之间有一种联系 调和平均数的权数即支出额 等于被平均的价格和购买蔬菜数量的乘积 支出额 单价购买的数量 假若被平均的变量存在上述关系 调和平均数可看作是算术平均数的变形 例 某管理局所属15个企业销售计划完成情况资料如下表 从相对数 或平均数 求平均数时 若已知的是相对数 或平均数 的分子指标时 用调和平均数计算 若已知的是相对数 或平均数 的分母指标时 用算术平均数计算 例 已知某地区甲 乙 丙三个乡粮食平均亩产和粮食总产量如表 求全区平均亩产 三 在运用加权调和平均数时 各组权数相等 就可以采用简单调和平均数 三 几何平均数 G 公式 1 简单几何平均数 2 加权几何平均数 例 某产品经过三个流水连续作业的车间加工生产而成 本月第一车间的产品合格率为90 第二车间的产品合格率为80 第三车间的产品合格率为70 则全厂的总合格率多少 这样平均合格率为 例 以复利计算利息 若以单利计算 可以看出 以复利计算利息时 n年后本利率的总量为n个 1 r 相乘 所以本利率的平均数用几何平均数计算 若以复利计算 例 设某笔为期20年的投资按复利计算收益 前10年的年利率为10 中间5年的利率为8 最后5年的年利率为6 求平均年利率 应用 在某些情况下 若总体总量是由标志值相乘得出 这时平均数就应该用几何平均数的方式来计算 与算术平均数不同 练习 1 三个工人加工某零件所需的时间分别为20 25 10分钟 问 1 各做10小时工 平均每零件加工时间 分 2 各完成10件零件 平均每零件加工时间 分 2 银行为吸收存款 逐年提高存款利率 5年各年分别为10 12 15 18 24 若本金为1000元 问 1 按算术平均数计算平均利率 第五年末的实际存款额是多少 2 按几何平均数计算平均利率 第五年末的实际存款额是多少 3 哪种计算方法比较合理 为什么 3 几何平均数的性质以G表示几何平均数 则几何平均数具有如下性质 1 等于的算术平均数 2 设和分别为和的几何平均数 则的几何平均数等于 的几何平均数等于 3 如果数据中含有0 则其几何平均数为0 四 三种平均数的关系 可以证明 对于任意一组大于0的数据 其调和平均数H 几何平均数G和算术平均数之间存在有如下关系 三者相等当且仅当 三 位置平均数 位置平均数亦称描述平均数 是反映数据结构特点的位置特征 与前述的 数值平均数 不同 位置平均数通常不是对统计数列的所有各项数据进行计算的结果 而是根据总体中处于特殊位置上的个别单位或者部分单位的标志值来确定的代表值 一 众数 总体中出现次数最多的变量值 1999年某市80个中型工业企业资料 假定众数组的标志值的分布是均匀的 1 未分组资料和单项式分组资料 出现次数最多的变量值 2 组距分组数列 二 中位数 定义 将总体各单位按其标志值大小顺序排列 处于中点位置单位的标志值 即为中位数 1 未分组资料和单项式分组当资料为未分组的原始资料时 先对数列按数值大小排序 确定中位数的位置 排序结果为 可采用 中位数位次 式中 n 标志值的项数 若标志值的项数为奇项 则居中位置对应的那个标志值就是中位数 例 1 7个人的成绩分别为 56 64 67 75 79 85 87分 则中位数为75分 2 若6个人的成绩分别为 64 67 75 79 85 87分 则中位数为 75 79 2分 即77分 中位数 3 某工厂工人的月工资分布数列如表 1 确定 中位数组 2 假定中位数组内分布是均匀的 计算出中位数来 2 组距分组数列 例 众数 中位数和算术平均数的联系 1 三者都是作为反映总体一般水平 或集中趋势 的平均指标 2 三者之间存在着一定的数量关系 A 在对称的正态分布条件下 算术平均数等于众数等于中位数 B 在非对称正态分布的情况下 众数 中位数和平均数三者的差别取决于偏斜的程度 偏斜的程度越大 它们之间的差别越大 当次数分配呈右偏 正偏 时 算术平均数受极大值的影响当次数分配呈左偏 负偏 时 算术平均数受极小值的影响中位数则总是介于众数和平均数之间 位置平均数与算术平均数的关系 皮尔生经验法则 分布在轻微偏斜的情况下 众数 中位数和算术平均数数量关系的经验公式为 互相推算 三 其他分位数 中位数是从中点将全部数据等分为两部分 与中位数类似的还有四分位数 quartile 十分位数 decile 和百分位数 percentile 它们分别是用3个点 9个点和99个点将数据4等分 10等分和100等分后各分位点上的值 第二节标志变异指标 一 标志变异指标概述 一 概念 标志变异指标是反映总体各单位标志值之间的差异程度的指标 它反映总体变量的分布特征 变动范围或离散程度 二 作用 1 标志变异指标是衡量平均数代表性的尺度 2 标志变异指标反映社会经济现象变动的均匀性和稳定性 二 极差与分位差 一 极差又称 全距 在分组条件下 二 分位差分位差是对极差指标的一种改进 就是从变量数列中剔除了一部分极端值之后重新计算的类似于极差的指标 常用的分位数如四分位差 十分位差 百分位差等 1 四分位差计算四分位差的目的是排除部分极端值对变异指标的影响 公式 三 平均差 平均差是总体各单位标志值对算术平均数的绝对离差的算术平均数 1 公式 例 假定某车间两个小组工人的月工资 元 资料如甲 800 900 1000 1100 1200 乙 900 950 1000 1050 1100 又如 丙 1800 1900 2000 2100 2200 四 标准差 和方差 公式 将平均差公式中的绝对值符号换成平方 得到方差的公式 将方差开方便为标准差 仍用前面的例子 over 1900 对于分组资料 有加权公式 例 标准分数 是用于比较两个不同的标志值数列的离中程度 是离差与标准差的比值 是标志值比其算术平均数大于 或小于 几个标准差 当总体为或接近正态分布时 可差正态分布表确定其位次范围 即将原始分数X经过线性变换转变为标准分Z 反映各原始分的平均数为中心的相对位置 X O 任何原始分在总体中的位置 用Z倍的 来测定 计算标准分 三 方差的数学性质 1 标准差和方差具有 平移不变 的特性 2 将原变量乘以一个任意常数 则新变量的标准差和方差分别为原来的倍和倍 即有 3 如果两个变量和独立 它们的代数和的标准差就等于两个变量方差之和的方根 它们代数和方差就等于原变量的方差之和 即有 若为任意常数 则变量的标准差和方差与原变量相同 即有 组间方差反映组平均数对总平均数的方差 总方差表示总体各标志值对总平均数的方差 有 其中 组内方差反映组内部标志值对组平均数的方差 称为 方差的加法定理 可以计算 经验相关比指数 表示在总体变异中 有多少是由于分组因素引起的 4 在总体分组的情况下 变量的总方差可以分解为组内方差和组间方差两部分 例 1 计算各组的组平均数和组内方差和组内方差平均数 第一组 第二组 第三组 2 计算组间方差 3 验证 五 成数指标 又称为 是非 标志 交替标志 将总体分成具有某种性质和不具有某种性质两部分 我们所关心标志的称为 是 另一部分称为 非 设总体的n个单位中 具有某种特征的单位数是n1个 不具有某种特征的单位数是n0个 n1 n0 n 则有具有某种特征的单位的成数为 是非标志数量化 不具有某种特征的单位的成数为 例如 设某批电子元件100件产品 经检验有92件合格 8件不和格 则有 当p q 0 5时 0 1变量分布的方差有最大值 即0 25 六 变异系数 当水平不同或计量单位不同的总体之间比较离散程度时 不能直接用平均差 标准差 极差 等变异指标 而要用变异系数 平均差系数 标准差系数 极差系数等 其计算公式为 平均差系数的计算公式为 极差系数的计算公式 标准差系数的计算公式分别为 当水平不同或计量单位不同的总体之间比较离散程度时 不能直接用平均差 标准差 极差 等变异指标 而要用变异系数 平均差系数 标准差系数 极差系数等 例如 假定某车间两个小组工人的月工资 元 资料如下 甲 800 900 1000 1100 1200 乙 900 950 1000 1050 1100 又如 丙 1800 1900 2000 2100 2200 仍用前面的例子 标准差系数 over 第三节偏度与峰度 一 矩及测度 矩 又称为 动差 本是一个力学概念 表示作用力 力臂与其平衡点之间的数量关系 在统计学中 可以通过利用一系列的 矩 指标来描述分布的特征 前面所学的算术平均数 方差以及平均差等 都可以看成是矩的特例 二 偏度及测度 偏度是反映变量数列偏斜程度的指标 即指分布不对称的方向和程度 变量数列的单峰钟