人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结.doc

二次函数 相关概念及定义 二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数 二次函数的结构特征：1 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项 二次函数各种形式之间的变换 二次函数用配方法可化成：的形式，其中. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；. 二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的 ；时，随的 ；时，有最小值向下轴 二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上向下 二次函数的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上向下 二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上向下 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，越大开口反而越小。 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 总结起来 常数项 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 求抛物线的顶点、对称轴的方法 公式法：，顶点是，对称轴是直线. 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 用待定系数法求二次函数的解析式 一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. 顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 直线与抛物线的交点 轴与抛物线得交点为(0, ). 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). 抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离. 平行于轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. 一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：(同上) 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是 二次函数图象的平移 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”二次函数专项训练O-12-21-3-45y2xy1图7y一、与二次函数有关的填空题1如图7是二次函数y1ax2bxc和一次函数y2mxn的图象，观察图象写出y2y1时，x的取值范围_。O-12-21-3-45y2xy1图7y2如图7是二次函数y1ax2bxc和一次函数y2mxn的图象，观察图象写出y2y1时，x的取值范围_。二、与二次函数有关的选择题型1、对于一元二次方程0），下列说法：若，则方程一定有一根是若，则方程有两个相等的实际上数根若，则方程与轴必有交点若且，则方程的两实数根一定互为相反数其中正确的是（ ）A、 B、 C、 D、2、一元二次方程（a0）的两根为，下列说法：若原方程有一根为，则原方程两根必相等若原方程两根为，且，一元二次不等式的解集为或若原方程有一根为，则另一根为-1若，原方程两根为，则其中正确的是（ ）A、 B、只有 C、 D、3、对于抛物线与x轴的交点为A（-1，0）B（x2，0），则下列说法： 一元二次方程的两根为原抛物线与y轴交于C点，CDx轴交抛物线于D点，则CD=4点E（1，），点F（-5，）在原抛物线上，则抛物线与原抛物线关于x轴对称其中正确的是（ ）A、 B、 C、 D、4、对于抛物线y=x2+mx+n,下列说法：（1）当n=4时，不论m为何值时，抛物线一定过y轴上一定点（2）若抛物线与x轴有唯一公共点，则方程x2+mx+n=0有两个相等的实数根（3）若抛物线与x轴有两个交点A、B，与y轴交于C点，n=4，SABC=6，则解析式为y=x2-5x+4（4）若6m2+n=0，则方程x2+mx+n=0的两根分别是2m或-3m其中正确的是（ ）A、 B、只有 C、只有 D、5、对于抛物线y= ax2+bx+c（a0），下列说法：若顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根若抛物线经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0若a-b+c=2，则抛物线必过某一定点若2b=4a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0，必有一根为-2其中正确的是（ ）A、 B、 C、 D、6.对于一元二次方程，下列说法：时，方程一定有实数根；若、异号，则方程一定有实数根；时，方程一定有两个不相等的实数根；若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根。其中正确的是A、 B、只有 C、只有 D、只有三、二次函数应用题1、家家乐超市销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱45元。市场调查发现：若每箱以60元销售，平均每天可销售40箱，价格每降低1元，平均每天多销售20箱，但售价不能低于48元，设每箱降价x元（x为正整数）（1）写出平均每天销售y（箱）与x（元）之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）如何定价才能能使超市平均每天销售这种牛奶的利润最大？最大利润为多少？2、黄陂木兰山宾馆有50个房间可供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需每天每间支出20元的各种费用。（1）设每个房间每天的定价增加x元，（X是10的整数倍）已租住的房间数为y，写出y与x的函数关系式。（2）当每个房间每天的房价定为多少元时，宾馆每天的利润最大，最大利润是多少？3、某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足下表中的函数关系X（元/件）35404550Y（件）550500450400（1）已知每天的销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围。（2）当销售单价定为多少元时，公司销售该产品每天获得的利润最大？最大利润为多少？4、进价为每件40元的某商品，售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果每件的售价每下降1元，每星期可多卖出20件，但售价不能低于每件45元。设每件降价x元（x为正整数）。（1）设每星期的销售量为y件，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围（2）如何定价才能使每星期的利润最大？并求出每星期的最大利润。四、二次函数有关压轴题1、如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于C，其中点A在x轴负半轴，线段OA、OC的长（OAOC是方程的两根，且抛物线的对称轴是直线（1）求抛物线的解析式（2）过A点作直线交对称轴于E点，AECE，且E点到x轴的距离大于到y轴的距离，直线AE交抛物线于S点，点P是线段AS上的一个动点，设P点的横坐标为x，PA=，当P点运动时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。（3）如图2，在（1）的抛物线中，点M为其顶点，T、R为x轴上方抛物线上的两个动点，取点Q（），直线TQ交AM于H，RQ交BM于N，且TQN=AMB，当点T、R在抛物线上运动时，问：的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。2、如图1，已知抛物线y=a 经过原点，顶点坐标为（1，），抛物线与x轴另一个交点为A。（1）求抛物线的解析式；（2）点E（3，h）在抛物线上，过E点作直线交点作直线交轴于F，且FEO=45，点P是线段EF上一动点，过P点向x轴、y轴作垂线，垂足分别为K、H，设点P的坐标为（x,y），四边形PHOK的面积为S，求S与的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。（3）如图2，过O、E二点作O交x轴正半轴于N，交y轴负半轴于M，当O的大小发生变化时，问：3ON-OM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。3、如图1，直线y=mx+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，CEx轴交CAO的平分线于点E，抛物线经过点A、C、E，与x轴交于另一点B（1）求抛物线的解析式。（2）点P是线段AB上的一个动点，边CP，作CPF=CAO，交直线BE于F，设线段PB的长为x，线段BF的长为，当P点运动时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围，在同一坐标系中，该函数的图象与（1）的抛物线中y0的部分有何关系？（3）如图2，点G的坐标为（，0），过A点的直线交y轴于点N，与过G点的直线交于点P，C、D两点交于原点对称，DP的延长线交抛物线于点M，当k的取值发生变化时，问：tanAPM的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由。4、如图1，过原点的抛物线y=ax2-4ax与x轴交于另一点A，E（0，-3），EDx轴交抛物线与C、D，且OC=（1）求抛物线的解析式（2）点P在抛物线的对称轴上，且在直线CD的上方，若EPC=EOC，且点P到两坐标轴的距离不相等，EP交x轴于T，点H是线段PT上一动点，点H到y轴的距离为n，到x轴的距离为m，求m与n的函数关系式，并求自变量n的取值范围。（3）如图2，点S为抛物线的顶点，过O，S两点的圆的圆心O在y轴负半轴上，O交对称轴于另一点B，过O作FOG=OOB，将FOG绕O点在第一象限内旋转，使OF、OG分别交对称轴和直线OB于K，Q，问：BK-BQ的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。5、如图所示，在直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（-8，0），B点坐标为（2，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作P与x轴的负半轴交于点C，（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。（2）设（1）中的抛物线的顶点为M，试判断直线MC与P的位置关系，并说明理由。（3）过原点O作直线BC的平行线OG与直线MC相交于点G，连AG，求出点G的坐标，并证明AGMC。压轴题参考答案1、（1）y=x2-2x-3（2）作CG对称轴于G，对称轴交x轴于F，设EG=m，则EF=3-m，AF=2，CG=1，证CEGAFE，=，m1=1，m2=2（舍去），E（1，-2），直线AE的解析式为：y=-x-1 联立 得S（2，-3），证EF=AF=2，FAE=450，作PHx轴于H，则PH=AH=x+1，PA2=PH2+AH2，y=2(x+1)2=2x2+4x+2（-1x2）（3）作QEAM于E，QFBM于F，证QHE=QNF，QHEQNF，=，证MAB=MBA，QAEQBF，= =2、（1）y=x2-x（2）易求E（3，1），作OBOE交直线EF于B，作BCy轴于C，证OB=OE，OAEOBCB（-1，3），直线BE的解析式为：y=-x+，F（0，），S=xy=x(-x+)=-x2+x（0x3）（3）作EKOE交于K，证EON=MKE，ONE=OME，OENKEM，=tanOKE，作EGx轴于G，tanEOG=tanOKE，在RtOEG中，OE=，KE=3在RtOKE中，OK=10，KM=30N，30N-OM=KM-OM=KO=103、（1）y=-x2+x+4（2）由y=-x2+x+4知：y最大= ，AB=11易证：ACP=FPB，由抛物线对称性知CAO=FBP，故：APCBEP，=即=，y=(11-x)x=-x2+x(0 x11)(y最大=)该抛物线相当于把原抛物线向右平移了3个单位。（3）设PG交于y轴于Q，易求A（-3，0）、N（0，3K）、G（，0）、Q（0，）、D（0，-4）易证：=-，=-，=，OQGOAN证NPQ=QOG=900，OD2=OAOG，ADG=900，AD2=AOAG=APANAPDADN APD=ADN DPN=ADO APM=ADO tanAPM=tanADO=4、（1）y=x2-4x （2）设OC交EP于M，证OEMPCM，OPMECM，OCP=OEP，POC=PEC，POC+OCP=900，OPC=900（或当OPPC时，O、P、C、E四点共圆，满足条件，下同） 设对称轴交OA于N，交CD于F，