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人教版数学必修一人教版数学必修一 第一章第一章 集合与函数的概念集合与函数的概念 重难点解析重难点解析 第一章 课文目录 1 1 集合 1 2 函数及其表示 1 3 函数的基本性质 重点重点 1 集合的基本概念与表示方法 子集与空集的概念 用 Venn 图表达集合间的关系 集合 的交集与并集的概念 集合的全集 补集的概念 2 理解函数的模型化思想 用合与对应的语言来刻画函数 3 区间的概念 求函数的定义域和值域 4 函数的三种表示方法 分段函数的概念 5 映射的概念 6 函数的单调性及其几何意义 7 函数的最大 小 值及其几何意义 8 函数的奇偶性及其几何意义 难点难点 1 运用集合的两种常用表示方法 列举法与描述法 正确表示一些简单的集合 弄清元 素与子集 属于与包含之间的区别 集合的交集与并集 是什么 为什么 怎样做 集合的全集 补集以及求集合中元素个数问题 2 符号 y f x 的含义 函数定义域和值域的区间表示 3 根据不同的需要选择恰当的方法表示函数 分段函数的表示及其图象 4 利用函数的单调性求函数的最大 小 值 6 利用函数的单调性定义判断 证明函数的单调性 7 判断函数的奇偶性的方法与格式 一 集合的含义与表示集合的含义与表示集合的含义与表示 1 集合的含义 集合的含义 1 含义 含义 一般地 我们把研究对象统称为元素元素 element 把一些元素组成的总体 叫做集合集合 set 简称为集集 说明 说明 在初中几何中 点 线 面都是原始的 不定义的概念 同样集合也是原始的 不定义的概念 只可描述 不可定义 2 表示方法 集合表示方法 集合通常用大括号 或大写的拉丁字母 A B C 表示 而元素元素用小 写的拉丁字母 a b c 表示 注意 注意 集合的元素具有确定性 互异性 无序性三个特征 确定性是指构成集合的元素具有明确的特征 而某一元素在集合 A 中或不在集合 A 中 二者必居其一 能够明确的区分 不能模棱两可 互异性是指集合中不同的字母表示不同的元素 而同一元素在集合中不能重复 无序性是指集合的构成与元素的顺序无关 构成集合的元素相同而仅排列的顺序不同 应认为是同一个集合 2 集合的表示方法 集合的表示方法 一 列举法 一 列举法 把集合中的元素一一列举出来 写在大括号里的方法 说明 说明 1 书写时 元素与元素之间用逗号分开 2 一般不必考虑元素之间的顺序 3 在表示数列之类的特殊集合时 通常仍按惯用的次序 4 在列出集合中所有元素不方便或不可能时 可以列出该集合的一部分元素 以提供某种规 律 其余元素以省略号代替 二 描述法 二 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 即把集合中元素的公共属性描 述出来 写在大括号里的方法 表示形式表示形式 A x p 其中竖线前 x 叫做此集合的代表元素 p 叫做元素 x 所具有的 公共属性 A x p 表示集合 A 是由所有具有性质 P 的那些元素 x 组成的 即若 x 具 有性质 p 则 xA 若 xA 则 x 具有性质 p 说明说明 1 有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示 2 应防止集合表示中的一些错误 3 文氏图 文氏图 集合的表示除了上述两种方法以外 还有文氏图法 叙述如下 画一条封闭的曲线 用它的内部来表示一个集合 如图所示 表示任意一个集合 A 表示 3 9 27 说明 说明 边界用直线还是曲线 用实线还是虚线都无关紧要 只要封闭并把有关元素 统统包含在里边就行 但不能理解成圈内每个点都是集合的元素 典型例题典型例题 例例 1 平方后仍等于原数的数集 解析 解析 x 0 1 xx 2 例例 2 比 2 大 3 的数的集合 解析 解析 x x 2 3 5 例例 3 不等式 x2 x 6 0 的整数解集 解析 解析 x Z x2 x 6 0 x Z 2 x 2 B x x 2 x x 3 x 2 x 3 例例 8 设 A x x 是等腰三角形 B x x 是直角三角形 求 A B 此题运用文氏图 其公共部分即为此题运用文氏图 其公共部分即为 A B 图图 1 7 解 A B x x 是等腰三角形 x x 是直角三角形 x x 是等腰直角三角形 例例 9 设 A 4 5 6 8 B 3 5 7 8 求 A B 运用文氏图解答该题运用文氏图解答该题 图图 1 8 解 A 4 5 6 8 B 3 5 7 8 则 A B 4 5 6 8 3 5 7 8 3 4 5 6 7 8 例例 10 设 A x x 是锐角三角形 B x x 是钝角三角形 求 A B 解 A B x x 是锐角三角形 x x 是钝角三角形 x x 是斜三角形 例例 11 设 A x 1 x 2 B x 1 x 3 求 A B 利用数轴 将利用数轴 将 A B 分别表示出来 则阴影部分即为所求分别表示出来 则阴影部分即为所求 图图 1 9 解 A B x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x0 y 1 与 y x0与 R 若未加以特别说明 函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数 x 的集 合 在实际中 还必须考虑 x 所代表的具体量的允许值范围 如 一个矩形的宽为 xm 长是宽的 2 倍 其面积为 y 2x2 此函数的定义域为 x 0 而 不是 Rx 3 3 值域 值域是全体函数值所组成的集合 在大多数情况下 一旦定义域和对应法则确定 函 数的值域也随之确定 4 4 区间的概念 区间的概念 设 a b 是两个实数 且 a b 规定 1 满足不等式的实数的 x 集合叫做闭区间 表示为 bxa b a 2 满足不等式的实数的 x 集合叫做开区间 表示为 bxa b a 3 满足不等式的实数的 x 集合叫做半开半闭区间 表示为 bxa ba 4 满足不等式的实数的 x 集合叫做也叫半开半闭区间 表示为 bxa b a 说明 说明 对于 都称数 a 和数 b 为区间的端点 其中 a 为左 b a b a ba b a 端点 b 为右端点 称 b a 为区间长度 引入区间概念后 以实数为元素的集合就有三种表示方法 不等式表示法 3 xa xb x b 的实数 x 的 集合分别表示为 a a b b 2 2 函数的三种表示方法 函数的三种表示方法 1 1 解析法 解析法 将两个变量的函数关系 用一个等式表示 如等 222 321 2 6yxxSrCr St 优点 函数值 意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任 量间的关系 简明 全面地概括了变 2 2 列表法 列表法 列出表格表示两个变量的函数关系 如 平方表 三角函数表 利息表 列车时刻表 国民生产总值表等 优点 不需要计算 就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 3 3 图象法 图象法 用图象来表示两个变量的函数关系 如 优点 直观形象地表示自变量的变化 3 分段 分段函数函数 把函数的定义域分成几个区间 在各个区间内 函数的解析式不一样的 这样的函数称 为分段函数 如 是一个分段函数 分段函数表示的是一个 函数 而不是几个函数 分段函数只有一个图象 作图时只能作在同一坐标系中 不能将其 肢解 而把各段函数图象分别作到不同的坐标系中 分段表示分段表示 设 A B 是两个互不相交的实数集合 和是分别定义在集合 A 和集合 B 上 x x 的函数 则 Bx x Ax x x f 是定义在集合上的函数 这样的函数表示形式成为函数的分段表示函数的分段表示 简称为分段函分段函BA 数数 这里函数是分成两段来表示的 事实上 分段表示可以分成任意有限段或无限段 f 4 4 映射的定义 映射的定义 一般地 设 A B 是两个集合 如果按照某种对应法则 对于集合 A 中的任何一个元 素 在集合 B 中都有唯一的元素和它对应 那么这样的对应 包括集合 A B 及 A 到 B 的对 应法则 f 叫做集合 A 到集合 B 的映射 记作 f A B 一般地 一个映射 f A B 若满足 a 对于集合 A 的不同元素 在集合 B 中有不同的象 单射 b 集合 B 中每一个元素都有原象 满射 那么这个映射叫做 A 到 B 上的一一映射 注意 注意 1 一一映射是一种特殊的映射 A 到 B 是映射 B 到 A 也是映射 或从一一映射定义解 释 2 若在映射若在映射 f f A BA B 中 象的集合中 象的集合 C BC B 则映射不是一一映射 即 则映射不是一一映射 即 C BC B 是一一映射的是一一映射的 必要条件 必要条件 5 5 象 原象的概念 象 原象的概念 给定一个集合 A 到集合 B 的映射 且 a A b B 如果在对应法则 f 的作用下 元素 a 和元素 b 对应 则元素 b 叫做元素 a 在 f 下 的象 元素 a 叫做元素 b 在 f 下 的原 象 注意 注意 1 映射有三个要素 两个集合 一种对应法则 缺一不可 2 A B 可以是数集 也可以是点集或其它集合 这两个集合具有先后顺序 符号 f A B 表示 A 到 B 的映射 符号 f B A 表示 B 到 A 的映射 两者是不同的 3 集合 A 中的元素一定有象 并且象是唯一的 但两个 或两个以上 元素可以允许有 相同的象 典型例题典型例题 例例 12 已知 求 1 3 xxfy 2 f 1 af 2 xf 1 x f 解析 解析 912 2 3 f aaaaaf331 1 1 233 12 1 36232 xxxxf 1 1 1 1 1 3 3 xxx f 求函数定义域时 要注意两点 求函数定义域时 要注意两点 1 在实际问题中 函数的定义域要由实际问题的意 义确定 例如前面提到的圆的面积与半径之间的函数关系 由于圆的半径不Sr 2 rS 能为零和负数 所以 0 2 如果不考虑函数的实际意义 只研究用算 fD 式表达的函数 这时我们规定 函数的定义域是使函数表达式有意义时自变量所取的实数 值的全体 例例 13 求函数的定义域 4 1lg xxy 解析 解析 因为负数和零没有对数 所以 即 又 即 4 01 x1 x4 x0 x 故函数的定义域为 4 用区间表示为 4 1 x1 例例 14 求函数的定义域 x y 1 arcsin 解析解析 除不能为零外 且须 即 这个不等式已经把 0 除外 x 1 x 1x1x 所以函数的定义域是 1 1 例例 15 某种笔记本的单价是 5 元 买 x 个笔记本需要 y 元 试用函数的 1 2 3 4 5 x 三种表示法表示函数 yf x 解析 解析 这个函数的定义域是数集 用解析法可以将函数表示为 1 2 3 4 5 yf x 5yx 1 2 3 4 5 x 用列表法可以将函数表示为 yf x 笔记本数 x 12345 钱数 y 510152025 图象法略 说明 说明 函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线 但有时也可以由一些孤立点或几段 线段组成 例例 16 作出下列函数的图象 1 2 21yxx lg 10 x y 分析 分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难 除去对其函数性质分析外 我们还应想到对已知解析式进行等价变形 解析 解析 1 当时 即时 2x 20 x 2 2 19 212 24 yxxxxx 当时 即时 2x 20 x 2 2 19 212 24 yxxxxx 即 2 2 19 2 24 19 2 24 xx y xx 这是分段函数 每段函数图象可根据二次函数图象作出 见图 6 2 当时 1x lg0 x lg 10 x y lg 10 x x 当时 01x lg0 x lg 10 x y lg 1 10 x x 所以 1 1 01 xx y x x 这是分段函数 每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出 见图 7 说明 说明 作不熟悉的函数图象 可以变形成基本函数再作图 但要注意变形过程是否等 价 要特别注意 x y 的变化范围 因此必须熟记基本函数的图象 例例 17 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定 1 乘坐汽车 5 公里以内 票价 2 元 2 5 公里以上 每增加 5 公里 票价增加 1 元 不足 5 公里按 5 公里计算 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为 1 公里 如果沿途 包括起点站和终点站 设 20 个汽车站 请根据题意 写出票价与里程之间的函数解析式 并画出函数的图象 分析 分析 本例是一个实际问题 有具体的实际意义 根据实际情况公共汽车到站才能停 车 所以行车里程只能取整数值 解析 解析 设票价为 y 元 里程为 x 公里 同根据题意 如果某空调汽车运行路线中设 20 个汽车站 包括起点站和终点站 那么汽车行驶的 里程约为 19 公里 所以自变量 x 的取值范围是 x N x 19 由空调汽车票价制定的规定 可得到以下函数解析式 5 4 3 2 y 1915 1510 105 50 x x x x Nx 根据这个函数解析式 可画出函数图象 如下图所示 O Ox x y y 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 5 51 10 01 15 51 19 9 五 函数的基本性质五 函数的基本性质五 函数的基本性质 1 1 单调性与最大 小 值 单调性与最大 小 值 1 1 一般地 设函数 一般地 设函数 f f x x 的定义域为的定义域为 I I 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 x2 当 x1x2时都有 f x1 f x2 那么就说 f x 在这个区间上是增函数 增函数 increasingincreasing functionfunction 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 x2 当 x1f x2 那么就是 f x 在这个区间上是减函数减函数 decreasing decreasing function function 2 2 如果函数 y f x 在某个区间是增函数或减函数 那么就说函说 y f x 在这一区间 具有 严格的 单调性 这一区间叫做 y f x 的单调区间 在单调区间上增函数的图象是 上升的 减函数的图象是下降的 注意 注意 A 函数的单调性也叫函数的增减性 B 注意区间上所取两点 x1 x2的任意性 C 函数的单调性是对某个区间而言的 它是一个局部概念 3 3 函数最大值与最小值的含义 函数最大值与最小值的含义 一般地 设函数的定义域为 如果存在实数满足 yf x IM 对于任意的 都有 xI f xM 存在 使得 0 xI 0 f xM 那么 我们称是函数是函数的最大值 的最大值 maximummaximum valuevalue M yf x 思考 思考 你能仿照函数最大值的定义 给出函数的最小值 最小值 minimumminimum valuevalue yf x 吗 4 4 二次函数在给定区间上的最值 二次函数在给定区间上的最值 对二次函数来说 若给定区间是 则当时 2 0 yaxbxc a 0a 函数有最小值是 当时 函数有最大值是 若给定区间是 2 4 4 acb a 0a 2 4 4 acb a a b 则必须先判断函数在这个区间上的单调性 然后再求最值 见下列例题 典型例题典型例题 例例 18 证明函数 f x 3x 2 在 R 上是增函数 证明 证明 设任意 x1 x2 R 且 x1 x2 则 f x1 f x2 3x1 2 3x2 2 3 x1 x2 由 x1 x2得 x1 x2 0 f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 f x 3x 2 在 R 上是增函数 分析 分析 判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤 a 设 x1 x2 给定区间 且 x10 既是奇函数又是偶函数 从函数奇偶性的定义可以看出 具有奇偶性的函数 首先其定义域关于原点对称 其次 f x f x 或 f x f