2011几何综合题专项训练及答案.doc

几何综合题专项训练1(2010广西贵港)如图，扇形OAB的半径OAr，圆心角AOB90，点C是上异于A、B的动点，过点C作CDOA于点D，作CEOB于点E，点M在DE上，DM2EM，过点C的直线CP交OA的延长线于点P，且CPOCDE(1)求证：DMr；(2)求证：直线CP是扇形OAB所在圆的切线；(3)设yCD23CM2，当CPO60时，请求出y关于r的函数关系式2.已知：线段OAOB，点C为OB中点，D为线段OA上一点。连结AC，BD交于点P(1) 如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求的值；(2) 如图2，当OA=OB，且时，求tanBPC的值(3) 如图3，当ADAOOB=1n时，直接写出tanBPC的值 （图1） （图2） （图3）ABCDPOE2.解：(1) 延长AC至点E，使CE=CA，连接BE，C为OB中点， BCEOCA，BE=OA，E=OAC，BE/OA， APDEPB，=。又D为OA中点， OA=OB，=。=，=2。DCOPHAB (2) 延长AC至点H，使CH=CA，连结BH，C为OB中点， BCHOCA，CBH=O=90，BH=OA。由=， 设AD=t，OD=3t，则BH=OA=OB=4t。在RtBOD中， BD=5t，OA/BH，HBPADP， =4。BP=4PD=BD=4t，BH=BP。 tanBPC=tanH=。 (3) tanBPC=。3.已知AB是O的直径，C是O上一点，连接AC，过点C作CDAB于点D(1)当点E为DB上任意一点(点D、B除外)时，连接CE并延长交O于点F，AF与CD的延长线交于点G(如图)求证：AC2AGAF(2)李明证明(1)的结论后，又作了以下探究：当点E为AD上任意一点(点A、D除外)时，连接CE并延长交O于点F，连接AF并延长与CD的延长线在圆外交于点G，CG与O相交于点H(如图)连接FH后，他惊奇的发现GFHAFC根据这一条件，可证GFGAGHGC请你帮李明给出证明AAAABBBBCCCCDDDDOOOOEEEEFFFFGGGHGH图图图图(3)当点E为AB的延长线上或反向延长线上任意一点(点A、B除外)时，如图、所示，还有许多结论成立请你根据图或图再写出两个类似问题(1)、(2)的结论(两角、两弧、两线段相等或不相等的关系除外)(不要求证明)3(1)证明：延长CG交O于H，CDAB AB平分CH 弧CH弧AH ACHAFC又CAGFAC AGCACF 即AC2AGAF(2)CHAB 弧AC弧AH AFCACG 又AFCGFH ACGGFH 又GCGFHGCA GFGAGCCH(3)CD2ADDB AC2ADAB EFECEAEB AFGAADAB（4.如图，已知AB是O的直径，AC是O的弦，点D是ABC的中点，弦DEAB，垂足为F，DE交AC于点G.（1）图中有哪些相等的线段？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不写出推理过程）（2）若过点E作O的切线ME，交AC的延长线于点M（请补完整图形），试问：ME=MG是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（3）在满足第（2）问的条件下，已知AF=3，FB=，求AG与GM的比.第（1）的结论可直接利用5. （1）如图1，当ABC45时，求证：AEMD；（2）如图2，当ABC60时，则线段AE、MD之间的数量关系为： 。（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MPBM，连接CP，若AB7，AE，求tanACP的值6.如图1所示，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，DCB=75，以CD为一边的等边DCE的另一顶点E在腰AB上（1）求AED的度数；（2）求证：AB=BC；ABCDEF图2ABCDE图1（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，FBC=30求 的值 6.解：(1)BCD=75，ADBC ADC=105 由等边DCE可知：CDE =60，故ADE =45由ABBC，ADBC可得：DAB=90 ， AED=45(2)方法一：由(1)知：AED=45，AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上由DCE是等边三角形得：CD=CE，故点C也在线段DE的垂直平分线上AC就是线段DE的垂直平分线，即ACDE连接AC，AED =45，BAC=45，又ABBC BA=BC方法二：过D点作DFBC，交BC于点，可证得：DFCCBE 则DF=BC从而：AB=CB （3）FBC=30，ABF=60连接AF，BF、AD的延长线相交于点G，FBC=30，DCB=75，BFC=75，故BC=BF由(2)知：BA=BC，故BA=BF，ABF=60，AB=BF=FA，又ADBC，ABBC，FAG=G=30FG =FA= FB G=FBC=30，DFG=CFB，FB=FGBCFGDF DF=CF，即点F是线段CD的中点=1图2ABCDEF7.如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证：ADGABE；（2）连接FC，观察并猜测FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上判断当点E由B向C运动时，FCN的大小是否总保持不变，若FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tanFCN的值；若FCN的大小发生改变，请举例说明NMBECDFG图（1）图（2）MBEACDFGNMBEACNDFG图（1）H25（本题满分13分）7.解：（1）四边形ABCD和四边形AEFG是正方形 AB=AD，AE=AG，BADEAG90BAEEADDAGEADBAEDAG BAEDAG （2）FCN45理由是：作FHMN于H AEFABE90 BAE +AEB90，FEH+AEB90 FEHBAE 又AE=EF，EHFEBA90EFHABE FHBE，EHABBC，CHBEFHFHC90，FCH45 8分MBEACNDFG图（2）H（3）当点E由B向C运动时，FCN的大小总保持不变，理由是：作FHMN于H 由已知可得EAGBADAEF90结合（1）（2）得FEHBAEDAG又G在射线CD上GDAEHFEBA90 EFHGAD，EFHABE 11分 EHADBCb，CHBE，在RtFEH中，tanFCN 当点E由B向C运动时，FCN的大小总保持不变，tanFCN8.是等边三角形，点是射线上的一个动点（点不与点重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交射线于点，连接（1）如图（a）所示，当点在线段上时 求证：；探究四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点在的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？（3）在（2）的情况下，当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并说明理由AGCDBFE图（a）ADCBFEG图（b）第25题图25（1）证明：和都是等边三角形，AGCDBFE图（a）第25题图1分又，3分法一：由得，又，5分又，四边形是平行四边形6分法二：证出，得5分由得得四边形是平行四边形6分（2）都成立8分ADCBFEG图（b）第25题图（3）当（或或或或）时，四边形是菱形9分理由：法一：由得，10分又，11分由得四边形是平行四边形，四边形是菱形12分法二：由得，9分又四边形是菱形，11分12分法三：四边形是平行四边形，9分，是等边三角形10分又，四边形是菱形，11分，12分9.如图10，O的弦ADBC,过点D的切线交BC的延长线于点E，ACDE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F.(1)求证：DF垂直平分AC；（2）求证：FCCE；（3）若弦AD5，AC8，求O的半径. 22.证明：（1）DE是O的切线，且DF过圆心ODFDE又ACDEDFACDF垂直平分AC2分（2）由（1）知：AG=GC又ADBCDAG=FCG又AGD=CGFAGDCGF（ASA）4分AD=FCADBC且ACDE四边形ACED是平行四边形AD=CEFC=CE5分（3）连结AO； AG=GC，AC=8cm，AG=4cm在RtAGD中，由勾股定理得 GD=AD2-AG2=52-42=3cm6分设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3在RtAOG中，由勾股定理得 AO2=OG2+AG2有：r2=(r-3)2+42解得 r=2568分O的半径为256cm.10.已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D，C重合)， MN为折痕，点M，N分别在边BC， AD上，连接AP，MP，AM， AP与MN相交于点FO过点M，C，P(1)请你在图1中作出O(不写作法，保留作图痕迹)；(2)与 是否相等？请你说明理由；(3)随着点P的运动，若O与AM相切于点M时，O又与AD相切于点H设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形(图2，3供参考) （11分）图1 图2 图323解：(1)如图； （1分）(2)与不相等 假设，则由相似三角形的性质，得MNDC (2分)D=90，DCAD，MNAD据题意得，A与P关于MN对称，MNAP据题意，P与D不重合，这与“过一点（A）只能作一条直线与已知直线（MN）垂直”矛盾 假设不成立不成立 （3分）(2) 解法2：与不相等理由如下：P， A关于MN对称，MN垂直平分APcosFAN= (2分)D=90， cosPAD=FAN=PAD，=P不与D重合，P在边DC上;ADAP;从而 (3分)(3)AM是O的切线，AMP=90，CMPAMB=90BAMAMB=90，CMP=BAMMN垂直平分，MA=MP，B=C=90， ABMMCD (4分)MC=AB=4， 设PD=x，则CP=4x，BM=PC=4x (5分)连结HO并延长交BC于J( 6分)AD是O的切线，JHD=90矩形HDCJ (7分)OJCP， MOJMPC， (8分)OJ:CP=MO:MP=1:2，OJ=(4x)，OH=MP=4OJ=(4x) (9分)MC2= MP2CP2，(4x)2(4x)2=16 (10分)解得:x=1即PD=1，PC=3，BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7由此画图(图形大致能示意即可) (11分)（3）解法2：连接HO，并延长HO交BC于J点，连接AO（4分） 由切线性质知，JHAD，BCAD，HJBC，OJMC，MJ=JC （5分）AM，AH与O相切于点M，H，AMO=AHO=90，OM=OH， AO=AO，RtAMORtAHO (6分)设AM=x，则 AM=AH=x，由切线性质得，AMPM，AMP=90，BMA+CMP=90BMA+BAM=90，BAM=CMP ，B=MCP=90，MN为AP的中垂线，AM=MPABMMCP (7分)四边形ABJH为矩形，得BJ=AH=x，(8分)RtABM中，BM=，MJ=JC，（9分）AB=MC4=2()， （10分）AD=BC=7，PC=3 由此画图(图形大致能示意即可)（11分） 11如图，RtABC内接于O，AC=BC，BAC的平分线AD与0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G (1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF；（3）若，求O的面积。 12.已知：ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F（1）如图l，若ABC为锐角三角形，且ABC45，过点F作FGBC，交直线AB于点G，求证：FGDCAD；（2）如图 2，若ABC135，过点F作FGBC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是 ；（3）在（2）的条件下，若AG，DC3，将一个45角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG，求线段PQ的长 13.如图12，已知：在中，直径点是上任意一点，过作弦点是上一点，连接交于连接AC、CF、BD、OD （1）求证：； （2）猜想：与的数量关系，并说明你的猜想；图12OABDCFHE （3）探究：当点位于何处时，并加以说明13.证明：（1）直径又 （2）答： 连接是直径，又（3）当（或）时，直径 的半径为214.在四边形中，且取的中点，连结（1）试判断三角形的形状；PDCBA（2）在线段上，是否存在点，使若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由14.PDCBAQEM2M1解：（1）在四边形中，四边形为直角梯形（或矩形）过点作，垂足为，又点是的中点，点是的中点，又，与是全等的等腰直角三角形，是等腰直角三角形（2）存在点使以为直径，为圆心作圆当时，四边形为矩形，圆与相切于点，此时，点与点重合，存在点，使得，此时当时，四边形为直角梯形，圆心到的距离小于圆的半径，圆与相交，上存在两点，使，过点作，在中，连结，则，在直角三角形中，同理可得：综上所述，在线段上存在点，使当时，有一点，；当时，有两点，15.如图，以BC为直径的O交CFB的边CF于点A，BM平分ABC交AC于点M，ADBC于点D，AD交BM于点N，MEBC于点E，AB2=AFAC，cosABD=，AD=12求证：ANMENM；求证：FB是O的切线；证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S15.证明：BC是O的直径BAC=90o又EMBC，BM平分ABC，AM=ME，AMN=EMN又MN=MN，ANMENMAB2=AFAC又BAC=FAB=90oABFACBABF=C又FBC=ABC+FBA=90oFB是O的切线由得AN=EN，AM=EM，AMN=EMN，又ANME，ANM=EMN，AMN=ANM，AN=AM，AM=ME=EN=AN四边形AMEN是菱形cosABD=，ADB=90o设BD=3x，则AB=5x，由勾股定理而AD=12，x=3BD=9，AB=15MB平分AME，BE=AB=15DE=BE-BD=6NDME，BND=BME，又NBD=MBEBNDBME，则，设ME=x，则ND=12-x，解得x=，S=MEDE=6=4516.如图1，在中，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点（1）求证：；（2）当为边中点，时，如图2，求的值；BBAACOEDDECOF图1图2F（3）当为边中点，时，请直接写出的值BADECOFG16解：（1），；（2）解法一：作，交的延长线于，是边的中点，由（1）有，又，解法二：于，BADECOF设，则，由（1）知，设，在中，（3）17如图，A、P、B、C是O上的四点，APC =BPC = 60，AB与PC交于Q点（1）判断ABC的形状，并证明你的结论；（2）求证：；（3）若ABP = 15，ABC的面积为4，求PC的长18.在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿ABC向终点C运动，连接DM交AC于点N.（1）如图251，当点M在AB边上时，连接BN.求证：ABNADN；若ABC = 60，AM = 4，ABN =，求点M到AD的距离及tan的值；（2）如图252，若ABC = 90，记点M运动所经过的路程为x（6x12）.试问：x为何值时，ADN为等腰三角形.18.（1）证明：四边形ABCD是菱形 AB = AD，1 =2 又AN = AN ABN ADN 解：作MHDA交DA的延长线于点H，由ADBC，得MAH =ABC = 60， 在RtAMH中，MH = AMsin60 = 4sin60 = 2， 点M到AD的距离为2.易求AH=2，则DH=62=8. 在RtDMH中，tanMDH=，由知，MDH=ABN=. 故tan= （2）解：ABC=90，菱形ABCD是正方形 此时，CAD=45. 下面分三种情形： ）若ND=NA，则ADN=NAD=45. 此时，点M恰好与点B重合，得x=6； ）若DN=DA，则DNA=DAN=45. 此时，点M恰好与点C重合，得x=12； ）若AN=AD=6，则1=2，由ADBC，得1=4，又2=3，3=4，从而CM=CN，易求AC=6，CM=CN=ACAN=66，故x = 12CM=12（66）=186 综上所述：当x = 6或12 或186时，ADN是等腰三角形（说明：对于）、）分类只要考生能写出x=6，x=12就给2分）19如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作AEF = 90，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；（2）若mn时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由xOEBAyCFxOEBAyCFxOEBAyCF（3）若m = tn（t1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标19 （1） ABC =APC = 60，BAC =BPC = 60，FEQPCBAO ACB = 180ABCBAC = 60， ABC是等边三角形（2）如图，过B作BDPA交PC于D，则 BDP =APC = 60HRGMN又 AQP =BQD， AQPBQD， BPD =BDP = 60， PB = BD （3）设正ABC的高为h，则 h = BC sin 60 BC h = 4， 即BC BC sin 60 = 4，解得BC = 4连接OB，OC，OP，作OEBC于E由ABC是正三角形知BOC = 120，从而得OCE = 30， 由ABP = 15 得 PBC =ABC +ABP = 75，于是 POC = 2PBC = 150 PCO =（180150）2 = 15如图，作等腰直角RMN，在直角边RM上取点G，使GNM = 15，则RNG = 30，作GHRN，垂足为H设GH = 1，则 cosGNM = cos15 = MN 在RtGHN中，NH = GN cos30，GH = GN sin30于是 RH = GH，MN = RN sin45， cos15 =在图中，作OFPC于E， PC = 2FD = 2 OC cos15 =19（1）由题意得m = n时，AOBC是正方形如图，在OA上取点C，使AG = BE，则OG = OE EGO = 45，从而 AGE = 135由BF是外角平分线，得 EBF = 135， AGE =EBF AEF = 90